三角形中位線定理及其應(yīng)用舉隅

將中位線定理與三角形的角平分線、中線或垂線的定義、性質(zhì)相結(jié)合，或者與等邊三角形、平行四邊形、矩形的性質(zhì)等相結(jié)合，既可確定兩條直線的位置關(guān)系，如平行關(guān)系，也可在三角形、四邊形中證明兩條線段的數(shù)量關(guān)系，如倍分關(guān)系，或計(jì)算線段的最值，還可與相似三角形結(jié)合計(jì)算面積的比值，等等.中位線定理的學(xué)習(xí)和運(yùn)用有利于學(xué)生獲得“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本生活經(jīng)驗(yàn)和基本思想方法）和發(fā)展“四能”（運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力），從而豐富和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教育部2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）明確要求：“探索并證明三角形的中位線定理.\"1]足見學(xué)習(xí)中位線定理的必要性和重要意義.現(xiàn)擬與大家分享對(duì)此定理的探索及應(yīng)用舉例.

1三角形的中位線及中位線定理的意義

三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫作這個(gè)三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

2三角形中位線定理的證明

已知：如圖1，在△ABC中，點(diǎn) 分別是邊 A B，A C 的中點(diǎn).求證：DE// B C ，且 D E= .

證明：如圖2，延長(zhǎng) D E ，使E F=D E .因?yàn)?E 是 A C 的中點(diǎn)，所以 A E=C E 在 Δ A D E 和 Δ C F E 中， ，∠ A E D=∠ C E F ，所以可得 ，

，所以 A D=C F ∠ A D F=∠ F 因?yàn)?D 是 A B 的中點(diǎn)，所以 A D=B D ，所以 B D=C F 由 ∠ A D F=∠ F ，知 A B//C F ，即 B D//C F 所以四邊形DBCF是平行四邊形，從而 D F=

B C，D F//B C. 又因?yàn)? ，所以 由 D F//B C ，知 D E//B C ·所以

3構(gòu)造三角形中位線解決幾何問題舉例

3.1添加“第三邊”構(gòu)造中位線，確定最大值

案例1如圖3，在四邊形ABCD中， 4，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是邊 B C 和 D C 上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn) F 不與端點(diǎn) c 重合）.若點(diǎn) G，H 分別是線段 A F 和E F 的中點(diǎn)，則線段 G H 的最大值為

分析：如圖4，由點(diǎn) G，H 分別是線段 A F 和 E F 的中點(diǎn)，容易想到連接 A E ，即 Δ A E F 的第三邊，則 G H 是 Δ A E F 的中位線.

解析：如圖4所示，連接 A E ，在Δ A E F 中，由點(diǎn) G，H 分別是線段

A F 和 E E 的中點(diǎn)，知 G H 是 Δ A E F 的中位線，所以G H//A E ， 因?yàn)?E，F(xiàn) 分別是邊BC和D C 邊上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn) F 不與端點(diǎn) c 重合），當(dāng)點(diǎn) E 與點(diǎn) c 重合時(shí) A E 最長(zhǎng)，此時(shí) G H 最長(zhǎng).

在 RtΔ A B E 中， A B=3，B E=B C=4 ，由勾股定理易得 ，于是知最長(zhǎng) G H 的最大值為 1 ，

點(diǎn)撥：重視“遇到中點(diǎn)或中線，首選添加‘第三邊’，從而構(gòu)造中位線”，為確定最值創(chuàng)造條件.

3.2利用圖形性質(zhì)發(fā)掘中位線，證相等關(guān)系

案例2如圖 5，D 是 ∠ A B C 的邊 ∣ A B 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， B E ，BF分別平分 ∠ A B C 和 ∠ C B D ， C E⊥

B E，C F⊥ B F ，連接 E F 交 B C 于點(diǎn) O ，交 A C 于點(diǎn) D .求證：A B=2D O .

分析：結(jié)合題意容易知道∠ C F B ， ∠ C E B ， ∠ E B F 都是直角，從而可證四邊形EBFC是矩形；由矩形對(duì)角線的性質(zhì)可知 O 是 B C 的中點(diǎn)，可證 E F 平行 A B ，于是可證 D 為 A C 的中點(diǎn)，因此可知 O D 是 Δ A B C 的中位線，從而證明 A B=2D O

證明：因?yàn)?D 是 ∠ A B C 的邊 A B 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，所以 .因?yàn)?B E，B F 分別平分 ∠ A B C 和 ∠ C B D ，所以 ，所以可得 ∠ E B F=∠ E B C+∠ C B F= 因?yàn)?C E⊥ B E，C F⊥ B F ，所以

所以 ，所以四邊形 C E B F 是矩形.因?yàn)?C O=B O E O=F O 且 B C= E F ，所以 C O=B O=E O ，所以 ∠ O E B=∠ O B E .又因?yàn)?∠ A B E=∠ O B E ，所以 ∠ O E B=∠ A B E ，所以O(shè) E//A B ，則 D 是 A C 的中點(diǎn)，所以 D O 是 Δ A B C 的中位線，則有 ，即 A B=2D O

點(diǎn)撥：熟悉有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形和矩形的對(duì)角線相等且互相平分，是此題證明的基礎(chǔ)；正確運(yùn)用“過三角形一邊中點(diǎn)，平行于另一邊的直線平分第三邊”是說明 D 是 A C 的中點(diǎn)進(jìn)而發(fā)現(xiàn) D O 是Δ A B C 的中位線的關(guān)鍵.

3.3延長(zhǎng)線段發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)得到中位線，計(jì)算線段長(zhǎng)

案例3如圖6所示，在Δ A C B 中， C E，C D 分別是∠ A C B 的平分線和 A B 邊上的中線， A F⊥ C E 于點(diǎn) F ，A C=7 ， B C=14 ，求 F D 的長(zhǎng).

分析：如圖7，因?yàn)?C E 是 ∠ A C B 的平分線，所以∠ A C F 與 ∠ G C F 相等.設(shè)A F 的延長(zhǎng)線與 B C 交于點(diǎn)G ，因?yàn)?A F⊥ C E 于點(diǎn) F ，則∠ A F C 等于 ∠ G F C .結(jié)合 C F 是公共邊，易證 ，從而可知， F 是 A G 的中點(diǎn)，于是知 D F 是 Δ A B G 的中位線，從而可知F D 的長(zhǎng)等于 B G 的一半.

解析：如圖7，延長(zhǎng) A F 交 B C 于點(diǎn) G .因?yàn)?C E 是∠ A C B 的平分線，所以 ∠ A C F=∠ G C F .因?yàn)?A F⊥

C E 于點(diǎn) F ，則

。在△AFC和△GFC中， 所以。△AFCS△GFC（ASA）.

所以 A F=G F A C=G C=7. 因?yàn)?B C=14 ，所以B G=B C-G C=7

因?yàn)?C D 是 邊上的中線，所以 D 是 的中點(diǎn)，所以 F D 是 Δ A B G 的中位線，所以

點(diǎn)撥：顯然利用 A F 垂直三角形的角平分線是確定 F 是 A G 的中點(diǎn)的基礎(chǔ)，巧用中線的性質(zhì)，是發(fā)現(xiàn)F D 是中位線的關(guān)鍵.

3.4挖掘隱含條件確定中位線，求面積的比值

案例4如圖8，在 Δ K L M 中， K N=L N ， K O：=：M O ，N P//K M ，若 ，試求 S四邊形KNPO的值.

分析：由題意可知， N O ，N P 都是 Δ K L M 的中位線，四邊形NPOK是平行四邊形，可證 Δ K N O～Δ K L M ，進(jìn)而可得比值.

解析：因?yàn)?K N=L N ， K O=M O ，所以 N O 是

Δ K L M 的中位線，則 N O//L M ， ，進(jìn)一步容易

證明 Δ K N O∽Δ K L M ，則 .

因?yàn)?N 是 K L 的中點(diǎn)， N P//K M ，所以 L P= M P ，即 P 是 L M 的中點(diǎn).所以 P N，P O 都是是Δ K L M 的中位線，則 P N//K O，P O//K N ，所以四邊形NPOK是平行四邊形.

易證 ，所以 ，因此

點(diǎn)撥：挖掘隱含條件確定中位線，中位線是確定相似比值的基礎(chǔ)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化和代換思想是求面積比值不可或缺的思想方法.

最后，我們應(yīng)該牢記中位線定理是新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)過的重要定理，務(wù)必要從探究和應(yīng)用兩個(gè)角度把此定理學(xué)扎實(shí)，讓這顆幾何世界中的璀璨明珠照亮我們的數(shù)學(xué)教育之路[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]邵新虎.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)解題模型[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2019.