一道與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的反比例函數(shù)題的變式

1試題與解答

例題已知點(diǎn) A 是反比例函數(shù) 的圖象上的一個動點(diǎn)，連接 O A ，若將線段 O A 繞點(diǎn) O 順時針旋轉(zhuǎn) 得到線段 O B ，則點(diǎn) B 所在反比例函數(shù)圖象的函數(shù)表達(dá)式是（ ）.

A.y=3x（xgt;0）B.y=-6x（xlt;0）

分析：設(shè) A（m，n） ，如圖1，過點(diǎn)A 作 A C⊥ x 軸于點(diǎn) c ，過點(diǎn) B 作B D⊥ x 軸于點(diǎn) D ，則 A C=n，O C= m ，由全等三角形的性質(zhì)得 A C= O D=n，C O=B D=m ，于是得到結(jié)論.

解：設(shè) A（m，n） ，如圖1，過點(diǎn) A 作 A C⊥ x 軸于點(diǎn) c ，過點(diǎn) B 作 B D⊥ x 軸于點(diǎn) D 易得 A C=n O C=m ，所以

由 ，得

∠ C A O+∠ A O C=∠ A O C+∠ B O D.

所以 ∠ C A O=∠ B O D

在 Δ A C O 與 中，

所以△ACO△ODB（AAS）.

于是 A C=O D=n ， C O=B D=m

所以 B（n，-m） ，

根據(jù)點(diǎn) A 在函數(shù) 的圖象上，可得 m n=3 、則 n（-m）=-3 .

所以點(diǎn) B 所在圖象的反比例函數(shù)表達(dá)式為 y=

故選：C.

點(diǎn)評：將旋轉(zhuǎn)與反比例函數(shù)圖象結(jié)合，考查形式新穎，有一定的綜合性.需解題者運(yùn)用三角形全等作出輔助線，結(jié)合幾何與函數(shù)的基本知識解答.

2變式

變式1如圖2，點(diǎn) A（1，m） 是反比例函數(shù) 圖象上的一點(diǎn).

（1）連接 O A ，將線段 O A 繞點(diǎn)O 順時針旋轉(zhuǎn) ，點(diǎn) A 的對應(yīng)點(diǎn) B 落在反比例函數(shù) 的圖象上，求 k 的值；

（2）經(jīng)過點(diǎn) A，B 的直線 y=ax+b 與反比例函數(shù) 的圖象的另一支交于點(diǎn) ，當(dāng) a x+ 時，請直接寫出 x 的取值范圍，

分析：（1）如圖3，由直角與旋轉(zhuǎn)的條件，分別過點(diǎn) A，B 作 x 軸的垂線 A M，B N ，可證得 Δ A O M" ，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k 的幾何意義，即可求得 k 值.

（2）求得點(diǎn) B 的坐標(biāo)，根據(jù) A ，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以及 x 取同一值圖象的高低比較即可求得范圍.

解：（1）作 A M⊥ x 軸于點(diǎn) M，B N⊥ x 軸于點(diǎn) N 易得 又 ，則 ∠ O A M=∠ B O N 所以 ，由點(diǎn) A（1，m） 是反比例函數(shù) 圖象上

的一點(diǎn)，得 ，所以 A（1，3） 所以 ，則 而 klt;0 ，所以 k=-3 （2）由 A（1，3） ，得 O M=1，A M=3 由 ，可得 B N=O M=1，O N=

A M=3 ，所以 B（3，-1） 又 ，當(dāng) 即 a x+b≥k/x時，觀察圖象，可得 x 的取值范圍是 x≤-1/2或x≤3

點(diǎn)評：將“例1”改變部分條件，本質(zhì)還是考查平面幾何與函數(shù)基礎(chǔ)知識，再與一次函數(shù)圖象結(jié)合，增加了試題難度，考查數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

變式2如圖4，一次函數(shù) y= m x 與反比例函數(shù) 圖象交于點(diǎn) A（1，3） ，把 O A 繞 o 點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 的對應(yīng)點(diǎn) B 恰好落在反比例函數(shù) 的圖象上.

（1）求 k 的值.

（2）直接寫出滿足不等式 的 x 的 范圍.

（3）把直線 O A 向右平移，與反比例函數(shù) （xgt;0） 和 分別交于 N，M 兩點(diǎn)，問線段MN的長能否等于 ？若能，直接寫出向右平移的距離；若不能，請說明理由.

分析：（1）由直角與旋轉(zhuǎn)的條件，過點(diǎn) A，B 作坐標(biāo)軸的垂線 A C，B D ，證 Δ C O A？Δ D O B ，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義，可求得 k 值.

（2）利用正比例函數(shù)與反比例圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)， x 取同一值圖象的高低比較可求得范圍.

（3）根據(jù)勾股定理求得 ，又MN長等于 ，只需將 Δ A O C 平移，使 O A 與NM重合，再根據(jù)點(diǎn) M，N 分別在兩條反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)兩點(diǎn)間距離建立方程，進(jìn)而求解.

解：（1）如圖5，過點(diǎn) A 作 A C⊥ y 軸于點(diǎn) c ，過點(diǎn) B 作 B D⊥ x 軸于點(diǎn) D ，則

把 O A 繞 O 點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 得 ，則 O A=O B 又 ，所以∠ C O A+∠ A O D=∠ O B D+∠ A O D 于是 ∠ C O A=∠ D O B 故 Δ C O A≌Δ D O B（ AAS）.

又因?yàn)?A（1，3） ，則 O D=O C=3，B D=A C=1 所以 B（3，-1）

將點(diǎn) B（3，-1） 代入 ，得 k=-3 （2）易知 A（1，3） 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 （-1，-3） ，則 與 y=m x 的另一個交點(diǎn)為 （-1，-3）

根據(jù)函數(shù)圖象可知，不等式 的 x 的范圍為 xlt;-1 或 0

（3）由點(diǎn) A（1，3） 在一次函數(shù) y=m x 上，得 m=3 所以直線 O A 的解析式為 y=3x

由 A（1，3） ，得

當(dāng) 時，如圖6所示，將 Δ A O C 平移至 Δ M N E ，則 M E=A C=1，N E=O C=3. 設(shè) ，則 由點(diǎn) N 在 上，得

解得 或 又 n-1gt;0 ，所以 則 所以

設(shè)將直線 O A . y=3x 向右平移 m（mgt;0） 個單位長度，則平移后解析式為 y=3（x-m）

將點(diǎn) M 代入上式，得

解得 ，

故向右平移的距離為 個單位長度.

點(diǎn)評：將“例題”的線段改變成正比例函數(shù)圖象，其本質(zhì)與“例題”一致，但為后兩問的情境設(shè)置提供了較好的素材鋪墊.第（2）問，要特別注意第三象限的取值范圍.第（3）問，設(shè)置成將正比例函數(shù)圖象平移，被兩反比例函數(shù)圖象截得的線段長能否等于一特定的長度.解題時要從這個特定的長度入手分析，這也是解題的突破口.

旋轉(zhuǎn)是重要的圖形變換，反比例函數(shù)是函數(shù)里的重要類型，它們都是初中數(shù)學(xué)核心板塊的重要知識與內(nèi)容.兩者結(jié)合，既考查了平面幾何的圖形性質(zhì)、幾何直觀與邏輯推理，又考查了模型觀念、應(yīng)用意識、運(yùn)算能力.在平時的學(xué)習(xí)中，我們要從簡單問題中挖掘題目的內(nèi)涵，對題目進(jìn)行變式，不斷變換與豐富題目的知識背景，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力，不斷豐富學(xué)生分析問題、解決問題的經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).