雙材料含橢圓熱夾雜的平面應(yīng)變問(wèn)題解析解

中圖分類號(hào)：034 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1000-582X（2025）04-040-14

A closed-form solution to an elliptic cylindrical thermal inclusion in a bi-material under pne strain

LIU Jun'， Feodor M. Borodich'，LYU Ding2，JIN Xiaoqinglb

（. College of Aerospace Engineering； lb. State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing

University， Chongqing 40o044， P.R. China； 2.Department of Biomedical Engineering， Wayne State University， Detroit 48201， America）

Abstract： This article addresses the plane strain problem of a bi-material system containing an elliptical cylindrical thermal inclusion. Using Eshelby's inclusion analysis method， we derive closed-form analytical solutions forthe elastic field induced by the thermal inclusion.Inspired by Dundurs' parameters，we introduce a new material parameter （ranging from to 1） and five tensorially structured expressions to succinctly represent the analytical solution， facilitating its practical applications. For circular inclusion scenarios， the analytical solution simplifiessignificantly，and wederiveexplicit jumpconditions fordisplacement，strain，andstres at the bonded interface of thebi-material.Byadjusting theYoung's moduli and Poisson'sratios of thebi-material，the solution can reduce to cases of a full orhalf-plane containing a thermal ellptical inclusion.The accuracy of the proposed solution is validated through consistency with previously published analytical results and by matching numerical solutions from the literature， confirming the correctness and reliability of the derived analytical expressions.

Keywords： elliptic thermal inclusion； perfect bonded interface； bi-material； closed-form solution

雙材料問(wèn)題的研究在許多工程實(shí)際中有重要應(yīng)用，例如，芯片傳感器、壓電層和壓磁層3。雙材料的理論研究經(jīng)常使用Dundurs參數(shù)，即 a 和β。Dundurs指出，雙材料的應(yīng)力和應(yīng)變解可以通過(guò)Dundurs參數(shù)的組合來(lái)表示。將雙材料中含熱夾雜的解析解與Dundurs參數(shù)相結(jié)合，可以厘清解對(duì)材料參數(shù)的相關(guān)性、簡(jiǎn)化公式并促進(jìn)解析解的推廣[5]。

自從Eshelby取得突破性成果以來(lái)，關(guān)于材料中含夾雜物的各種問(wèn)題也得到了廣泛的研究。然而，大多數(shù)研究都集中在全空間的夾雜物上，相較之下，對(duì)具有更廣泛適用性的雙材料的研究相對(duì)較少。結(jié)合界面周圍彈性場(chǎng)的分布隨著結(jié)合條件的變化而變化，如果考慮到橢球體夾雜的影響，彈性場(chǎng)將變得更加復(fù)雜[0]。Mindlin等借助Galerkin矢量應(yīng)力函數(shù)，獲得了無(wú)限半空間內(nèi)含球形熱夾雜物的彈性場(chǎng)解析解。1965年，Dundurs等通過(guò)對(duì)已知半空間解的疊加，得到了由2個(gè)無(wú)摩擦接觸結(jié)合半空間中點(diǎn)力產(chǎn)生的彈性場(chǎng)解。

Chiu利用了伽遼金矢量法，得到了全空間長(zhǎng)方體夾雜應(yīng)力的三重傅里葉積分表達(dá)式，并根據(jù)胡克定律和幾何方程求出應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng)。基于鏡像法，將全空間與鏡像空間中的夾雜物分別產(chǎn)生的彈性場(chǎng)進(jìn)行疊加，再將對(duì)稱表面上的殘余應(yīng)力消除，即獲得半空間長(zhǎng)方體夾雜的應(yīng)力場(chǎng)和表面位移場(chǎng)。Ju等通過(guò)引人共焦虛擬橢球的外單位法向量，推導(dǎo)出了全空間橢球夾雜外場(chǎng)點(diǎn)的Eshelby張量。2022年，李璞等等利用數(shù)值等效夾雜算法與快速傅里葉變換求解了全空間內(nèi)夾雜物與刃型位錯(cuò)的交互能。謝東東研究了半平面矩形夾雜彈性場(chǎng)的基本單元解，通過(guò)結(jié)合疊加原理和FFT算法可求解出半平面含任意夾雜的數(shù)值解。即使是矩形夾雜解的二重積分結(jié)果也很復(fù)雜，為了更加簡(jiǎn)潔明了地呈現(xiàn)出最終的單元解，謝東東在推導(dǎo)半平面矩形夾雜基本單元解時(shí)引人了金曉清等 年提出的一種單元解的記號(hào)方法。

雙材料中存在的熱夾雜往往會(huì)改變其機(jī)械性能，從而影響整體的可靠性和疲勞壽命。因此，推導(dǎo)雙材料含熱夾雜的解析解可以從微觀力學(xué)角度理解此類材料的潛在失效機(jī)制，并為優(yōu)化相應(yīng)的材料性能提供理論基礎(chǔ)[2。早期的學(xué)者們研究并推導(dǎo)了在2個(gè)完全結(jié)合或無(wú)摩擦接觸結(jié)合半空間中由熱膨脹引起的彈性場(chǎng)的解[21-3，這些解相較于Mindlin推導(dǎo)出的半空間基本解更為復(fù)雜。Yu等推導(dǎo)了2個(gè)完全結(jié)合半空間的Galerkin矢量應(yīng)力函數(shù)，并使用勢(shì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化位移和應(yīng)力的隱式表達(dá)式。另外，Walpole推導(dǎo)出了雙材料中均勻夾雜物產(chǎn)生的彈性場(chǎng)的隱式解析解。

2016年，Wang等推導(dǎo)出了2個(gè)完全結(jié)合半空間之一中含有基本立方體夾雜的彈性場(chǎng)的解析解，Yu等[推導(dǎo)出了2個(gè)無(wú)摩擦結(jié)合半空間之一中含基本立方體夾雜物的彈性場(chǎng)的解析解。Li等27-28已經(jīng)得到了在2個(gè)不完全結(jié)合半空間中由均勻立方體夾雜引起的彈性場(chǎng)的解析解。最近，Lyu等推導(dǎo)出了由2個(gè)完全結(jié)合的半空間之一中含橢球熱夾雜引起的彈性場(chǎng)應(yīng)力、應(yīng)變和位移的解析解。目前，關(guān)于雙材料中由夾雜引起的彈性場(chǎng)解析解主要是集中在三維條件下研究的，相應(yīng)解析解表達(dá)式比較復(fù)雜，也不便于應(yīng)用。對(duì)于雙材料的熱夾雜物問(wèn)題，現(xiàn)有文獻(xiàn)并沒(méi)有針對(duì)平面應(yīng)變情況下相關(guān)解析解的報(bào)道。事實(shí)上，平面應(yīng)變條件下的解析解能夠以封閉形式給出，更加便于應(yīng)用，同時(shí)也具有重要的理論意義。

筆者在平面應(yīng)變條件下，推導(dǎo)出了雙材料中位移、應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)的顯式解析解。同時(shí)，通過(guò)引人取值范圍為-1～1的新型材料參數(shù)和5個(gè)類張量表達(dá)式，能以更為緊湊統(tǒng)一的形式表示最終的解析解，也為深入探索雙材料的力學(xué)性能與材料組合參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系提供了重要的理論支撐。

1雙材料中含橢球熱夾雜的解析解

2 雙材料中含橢圓熱夾雜的解析解

3分析解析解及其在特定案例中的應(yīng)用

討論了4個(gè)相關(guān)主題，第1個(gè)主題介紹了雙材料含圓形熱夾雜的解析解；第2個(gè)主題報(bào)告了在雙材料結(jié)合界面處的跳躍條件；在第3小節(jié)中，通過(guò)將雙材料的彈性模量之比設(shè)置為1、0或無(wú)窮大，研究了雙材料的3種特定組合（即全平面、半平面和剛性基體）；第4個(gè)主題使用參數(shù)算例來(lái)研究雙材料的材料參數(shù)組合對(duì)彈性場(chǎng)解的影響。

3.1雙材料含圓形熱夾雜的所有封閉解

圓形熱夾雜的所有解可以通過(guò)結(jié)合公式（33）與公式 （23）～（30） 獲得，這些解的形式仍然與第2節(jié)中橢圓夾雜解析解的形式相同，但5個(gè)類張量表達(dá)式發(fā)生了相應(yīng)的變化。這些類張量表達(dá)式便于編程驗(yàn)證最終解，通過(guò)編程驗(yàn)證，在全平面中含圓形夾雜的解析解在數(shù)值上與已發(fā)表文獻(xiàn)中的解相同[33]。此驗(yàn)證也證明了本文所呈現(xiàn)解析解的正確性。

3.2 結(jié)合界面處的跳躍條件

3.3當(dāng)前解析解與已知解析解之間的對(duì)比分析和比較驗(yàn)證

通過(guò)改變雙材料的彈性模量比為1，0和無(wú)窮大，研究了雙材料的3種特定組合，即全平面、半平面和剛性基體。提出了3個(gè)基準(zhǔn)示例，以比較和分析當(dāng)前的解析解與相應(yīng)文獻(xiàn)中已發(fā)表的解析解[332]。在這3個(gè)示例中，橢圓熱夾雜嵌入在半平面 I 中，以（0，3）為中心，橢圓的2個(gè)半軸的長(zhǎng)度分別為3.0和2.0。表1提供了有關(guān)橢圓夾雜物的其他幾何信息。

表2列出了在3種條件下雙材料的材料參數(shù)。在3種情況下，半平面I的楊氏模量定義為 320GPa 。在全平面、半平面和剛性基體情況下，半平面 I I 的楊氏模量分別定義為 。在這3種情況下，除第2種情況下平半面Ⅱ的泊松比為0外，其余泊松比為0.3。在編程驗(yàn)證過(guò)程中，為了保證數(shù)值解的高精度，使用FORTRAN語(yǔ)言對(duì)最終解析解進(jìn)行雙精度編程。先前發(fā)表文獻(xiàn)中的解析解被用于驗(yàn)證本文研究中獲得的解析解的正確性。

3.3.1 全平面

從上述5個(gè)方程中可以得出，全平面中含橢圓熱夾雜的正應(yīng)力之和在橢圓內(nèi)是恒定的，而在橢圓外消失。這一結(jié)果與1999年 論文中得出的結(jié)論一致。此外，本文研究表明，上述結(jié)論也適用于全平面橢圓

熱夾雜正應(yīng)變的關(guān)系。此外，2方向的正應(yīng)力是1方向的正應(yīng)力和3方向的正應(yīng)力的總和。

3.3.2半平面

設(shè)置 和 （即 ），將雙材料問(wèn)題轉(zhuǎn)換為半平面問(wèn)題。將 代入公式 （23）～（30） ，得出半平面橢圓夾雜的解析解，其中，結(jié)合界面可以被視為沒(méi)有任何牽引力的自由表面。將推導(dǎo)出的半平面橢圓夾雜的解析解與Lyu等推導(dǎo)出的橢球夾雜的解析解進(jìn)行比較。將橢球的3個(gè)半軸分別設(shè)為 和 ，并進(jìn)行數(shù)值模擬。結(jié)果表明，橢圓夾雜與橢球夾雜的數(shù)值解基本一致。如圖3（b）～（d）所示，在橢圓夾雜內(nèi)，2方向和3方向上的位移與坐標(biāo)呈線性關(guān)系，而其余點(diǎn)的位移與坐標(biāo)呈非線性關(guān)系。半平面 I I 中的正應(yīng)變之和為0，應(yīng)力值均為0。在橢圓夾雜物中，正應(yīng)力和正應(yīng)變都不是恒定的，而剪切應(yīng)力和剪切應(yīng)變均為0。在完全界面處，由于材料參數(shù)的變化，應(yīng)力和應(yīng)變均有跳變。

3.3.3 剛性基底

當(dāng) 視為無(wú)窮大時(shí)，將橢圓熱夾雜物嵌人與剛性基底完全結(jié)合的半平面中， 的值為 將 （即 代入公式 （23）～（30） ，得出橢圓熱夾雜的所有解析解。值得注意的是，在半平面 I I 中，所有位移和應(yīng)變均為0，而應(yīng)力不一定為0。半平面 I 和 I I 的楊氏模量分別設(shè)置為 320GPa 和 320000GPa 。觀測(cè)線的數(shù)值解結(jié)果如圖4（b）～（d）所示，所有位移 和 在雙材料的結(jié)合界面處都是連續(xù)的，而其余的應(yīng)變和應(yīng)力分量在完美界面處跳躍。在橢圓夾雜物界面處，所有位移 和 都是連續(xù)的，而其余的應(yīng)變和應(yīng)力分量會(huì)發(fā)生跳躍。在橢圓夾雜物內(nèi)，剪切應(yīng)力和剪切應(yīng)變?yōu)榱悖龖?yīng)力和正應(yīng)變非恒定。

本文關(guān)于結(jié)合雙材料含橢圓形熱夾雜的解與Lyu等[給出的結(jié)果完全一致，并且與先前學(xué)者的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[34]有較好的吻合度。

3.4 參數(shù)研究

橢圓夾雜物的幾何參數(shù)如表1所示。在參數(shù)研究中，半平面I的材料參數(shù)保持不變（即 GPa， 0.3），半平面 I I 和 I 之間的剪切模量比（即 分別等于 0.2、0.5、2"和5。表3列出了2個(gè)半平面的材料參數(shù)。圖5和圖6呈現(xiàn)了剪切模量比分別為0.2和5時(shí)的彈性場(chǎng)的解。

在點(diǎn) 和 處存在

同時(shí)， 和 在上述2點(diǎn)處是連續(xù)的，因此， 和 在這2點(diǎn)處是連續(xù)的。

從圖（2）～（6）可以看出，在完美界面上（即 ），除全平面算例外， 和 是連續(xù)的，而 和 是跳躍的。這與3.2節(jié)中結(jié)合界面處的跳躍條件相呼應(yīng)。

圖7呈現(xiàn)了4個(gè)不同剪切模量比情況下應(yīng)力張量跡的值。從圖7中發(fā)現(xiàn)，在橢圓夾雜外，當(dāng)剪切模量比 T 小于1時(shí)，應(yīng)力張量跡的值大于零；當(dāng)剪切模量比 T 大于1時(shí)，應(yīng)力張量跡的值小于零。這意味著在熱膨脹情況下，當(dāng)橢圓夾雜位于較軟的相中時(shí)，結(jié)合界面會(huì)吸引它，但如果橢圓夾雜嵌入較硬的相中，結(jié)合界面則會(huì)排斥它。應(yīng)力張量跡的值在半平面 I I 中始終等于0，在橢圓夾雜內(nèi)部始終小于0。

4結(jié)束語(yǔ)

在平面應(yīng)變體系的公式中，推導(dǎo)出了各向同性雙材料中含橢圓熱夾雜引起的彈性場(chǎng)的顯式解析解。然而，二維和三維解析解都存在同樣的問(wèn)題，即橢圓夾雜外部點(diǎn)的解析解非常復(fù)雜。為了解決這一問(wèn)題，利用假想的共焦橢圓和單位外法向量，使解析解得以更緊湊地表達(dá)。受到Dundurs參數(shù)的啟發(fā)，定義了1個(gè)新的材料參數(shù)y（取值范圍為-1＼～1），將涉及3個(gè)材料參數(shù)的解析解簡(jiǎn)化到僅與2個(gè)材料參數(shù)相關(guān)。通過(guò)提取解析解中的許多相同表達(dá)式，最終，二維橢圓熱夾雜的所有解析解都以更加統(tǒng)一簡(jiǎn)潔的形式表達(dá)，從而極大地簡(jiǎn)化了最終的解析解并減少了后續(xù)編程驗(yàn)證時(shí)的工作量。

為了從機(jī)理上理解雙材料解析解在結(jié)合界面處的連續(xù)性，還討論了雙材料中含橢圓熱夾雜物引起的彈性場(chǎng)在結(jié)合界面處的跳躍條件。為了確保解析解的正確性，通過(guò)調(diào)整楊氏模量和泊松比，將當(dāng)前解與已發(fā)表的全平面和半平面中的解析解進(jìn)行比較并驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明，當(dāng)前解與相應(yīng)的全平面和半平面中的解析解高度一致，表明推導(dǎo)出的解析解是正確的。在全平面中，橢圓熱夾雜內(nèi)的正應(yīng)力值和正應(yīng)變值保持不變，在橢圓熱夾雜外正應(yīng)力之和與正應(yīng)變之和均等于0，2方向的正應(yīng)力值等于1方向的正應(yīng)力值和3方向的正應(yīng)力值的總和。最后，給出了在剛性基底情況下，雙材料含橢圓熱夾雜解析解的示例圖。在這3種情況下，橢圓熱夾雜內(nèi)的剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力始終等于0。

仔細(xì)推導(dǎo)并研究了雙材料結(jié)合界面處的跳躍條件。在對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行研究時(shí)表明，在熱膨脹情況下，當(dāng)夾雜物位于較軟的半平面時(shí)，結(jié)合界面會(huì)吸引橢圓夾雜物，而當(dāng)夾雜物嵌入較硬的相時(shí)，結(jié)合界面會(huì)排斥橢圓夾雜物。

參考文獻(xiàn)

[1]HuS M.Stres-related problems in silicon technology[J].JournalofApplied Physics，1991，70（6）：R5-R80.

[2]LiP，Jin FExcitationandpropagationofshearhorizontalwavesinapiezelectriclayerimperfectlybondedtoametalo elastic substrate[J].Acta Mechanica， 2015， 226（2）： 267-284.

［3]LiuJXWangYHWang BLPropagationofshearhorizontalsurfacewaves inalayeredpiezoelectrichalf-spacewithan imperfec interface[J]IEEETransactionsonUltrasonics，F(xiàn)eroelectrics，andFrequencyControl57（8）：71879.

[4]ChenDH，HironobuN，Toshio.Effectofelasticnstantsonstressinmulti-hasesunderplaneeformation[]Engineering Fracture Mechanics， 1994， 48（3）： 347-357.

[5]HillsDAKellPADaiDNetalolutioofcrackprolems：thedistributeddislocationtechnique[]ouafAplied Mechanics， 1998， 65（2）： 548.

[6]EshelbyJD.Thedeterminationoftheelasticfieldof anelipsoidalinclusionandrelatedproblems[]Proceedingsofthe Royal Society of London Series A， 1957， 241（1226）： 376-396.

[7]Li S F， Wang G.Introduction to micromechanics and nanomechanics[M].Singapore： World Scientific， 2008.

[8] Mura T. Micromechanics of defects in solids[M]. Dordrecht： Springer Netherlands， 1982.

[9]MirsayarMM，ShiX，ZollngerDG.Evaluationofinterfacialbond strengthbetweenPortlandcementconcreteandasphalt concrete layers using bi-material SCB test specimen[J]. Engineering Solid Mechanics， 2017： 293-306.

[10]YuHWang ZJWangQAnalyticalsolutionsfortheelasticfieldscusedbyeigenstrainsintwofrictionlessyjoedhalfspaces[J]. International Journal of Solids and Structures， 2016， 100： 74-94.

[11]MindlihengDherelastictessiemfiiteslid[]uaofAplidyscs1（9）.

[12]DundursJHetenyiM.Transmisionofforcebetweentwosemi-infinite solids[]JournalofAppliedMechanics，1965， 32（3）： 671.

[13]ChiuYPOnthestressfieldduetoinitialstrains inacuboidsuroundedbyaninfiniteelasticspace[]JouralofApplied Mechanics，1977， 44（4）： 587-590.

[14]ChiuYPOnthestressfieldandsurfacedeformationinahalfspacewithacubodalzoneinwhichinitialstrainsareunifo[]. Journal of Applied Mechanics， 1978， 45（2）： 302-306.

[15]JuJWSunLZAnvelfolatioforeexteriorpotEshelby'sensoofanlipsodaliclusion[]JouaofAplied Mechanics， 1999， 66（2）： 570.

[16]李璞，朱凱，侯佳卉，等.非均質(zhì)材料與位錯(cuò)交互能的數(shù)值等效夾雜算法[J].工程力學(xué)，2022，39（7）：10-18. LiP， ZhuK，Hou JH，et al.Anumericalequivalent inclusion methodfor determining the interaction energy between inhomogeneities and dislocations[J]. Engineering Mechanics， 2022， 39（7）： 10-18. （in Chinese）

[17]謝東東.半平面含任意本征應(yīng)變分量夾雜問(wèn)題的基本單元解研究[D].重慶：重慶大學(xué)，2022. XieDD.OntheelementarysolutionofEshelby'sinclusion witharbitraryeigenstraincomponents inanelastichalf-plane[D]. Chongqing： Chongqing University， 2022.（in Chinese）

[18］金曉清，牛飛飛，張睿，等.均布激勵(lì)基本單元解析解的一種記號(hào)方法[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，50（8）：1221-1227. JinXQ，NiuFF，Zhang R，etal.Anotationforelementarysolutiontouniformlydistributedexcitationoverarectangular/ cuboidal domain[J].Journal of Shanghai Jiao Tong University， 2016， 50（8）：1221-1227.（in Chinese）

[19]Liu Z，F(xiàn)ang M，ShiL，GuYChen Z，ZhuWCharacteristicsofcrackingfailureinmicrobumpjointsfor3Dchip-chip interconnections under drop impact[J]. Micromachines， 2022，13： 281.

[20]Wang HT，Wang GZ，XuanFZetal.Anexperimentalinvestigationoflocalfactureresistance andcrackgrowth pathsina dissimilar metal welded joint[J]. Materials amp; Design， 2013， 44： 179-189.

[21]AderogbaKOneigenstresses insmthlysolderedsolids[]Internationalournalof Enginering Science，198119（5）： 729-736.

[22]DundursJGuellDL.Centerofdilatationandthermalstressesinjoinedelastichalf-space[MDevelopmentsiTheoetical and Applied Mechanics. Oxford： Pergamon Press， 1965： 199-211.

[23]GuellDL，Dundurs J.Furtherresultsoncenterofdilatationandresidual stresses in joinedelastichalf-spaces[M]/ Developments in Theoretical and Applied Mechanics. Amsterdam： Elsevier， 1967： 105-115.

[24]YuHYSandaySCElastifeldsinjonedalf-spacesduetucleiofstrain[]roceedingsoftheRoaSocietyofon. Series A： Mathematical and Physical Sciences， 1991， 434（1892）： 503-519.

[25]WalpoleLJ.Aninclusioninoneoftwojoinedisotropicelastichalf-spaces[J]IMAJournalofAppliedMathematics，1997， 59（2）：193-209.

[26]Wang ZJYuHWangQAnalyticalsolutionsforelasticfieldsausedbyeigenstrainsintwojoinedandperfectlybodedhalfspaces and related problems[J]. International Journal of Plasticity， 20l6， 76： 1-28.

[27]LiDLWangZJWangQExplicitanalyticalsolutinsforelasticfieldsintomperfectlyndedhalf-spaceswithal inclusion[J]. International Journal of Engineering Science， 2019， 135： 1-16.

[28]LiDLWangZJYuHetal.Elasticfieldscausedbyeigenstrainsintwojoinedhalf-spaceswithaninterfaceofoupled imperfectionsdislocatio-likeandforce-likeonditions[]teatioalJoualofEngineeingScence6：.

[29]LyuD，Jiang ZZZhuKetal.Theexplicitelasticfieldfortwoperfectlyondedhalf-spaceswithanelipsoidaltheral inclusion[J].International Journal of Mechanical Sciences， 2022， 236： 107745.

[30]JinXQKeerLMWangQAclosed-fomslutiofortheEshelbensorandtheelasticfieldutsdeanelipticclidrical inclusion[J].Journal of Applied Mechanics， 201l，78（3）： 031009.

[31]JinXQZhangXNLiPetalOnthedisplacementofadimensioalEshelbyclusnofelipticclindricaae[] Journal of Applied Mechanics， 2017， 84（7）： 074501.

[32]LyuD，ZhangXNLiPetal.Expliitanalyticalsolutionsforthecompletelasticfieldroducedbyanelipsidalel inclusion in a semi-infinite space[J]. Journal of Applied Mechanics， 2018， 85（5）： 051005.

[33]RuCQAnalytic solutionforEshelby'sproblemofaninclusionofarbitraryshape ina planeorhalf-plane[]Jounalof Applied Mechanics，1999， 66（2）： 315-322.

[34]YuHYWeiYN，ChiangFPLoadransfer atimperfect interfaces：dislocation-likemodel[]InternationalJoualof Engineering Science， 2002， 40（14）： 1647-1662.

（編輯鄭潔）