回歸擬合NR函數及GPDR先驗的圖像霧濃度檢測

中圖分類號：TP391.9 文獻標志碼：A 文章編號：1000-582X（2025）04-115-12

Inspection of image fog Concentration using regression-fitting NR function and GPDR prior

WEN Limin*b， WANG Huifenga， JU Yongfenga （a.School of Electronic amp; Engineering； b. Experimental Teaching Center of Electronics and Electronics， Chang'an University， Xi'an 710064， P.R.China）

Abstract：Addressing the limitations of fog concentration inspection in image defogging，an algorithm based on the scatterplot prior of the generalized pixel diference-ratio（GPDR）and the Naka-Rushton（NR）fitting function was proposed.First，the GPDR prior for gray scaterplots in standard foggy image sets across various scenes was extracted.Next， the NR function，constrained by the prior， was introduced， and a lookup table of parameters （n，k） corresponding to fog concentration levels was established by calculating the parameters （n，k） of NR function for standard image sets. Regression analysis was then used to calculate the parameters for real foggy images， and the comprehensive correlation coefficient between （n，k） and was calculated. Parameters （n，k） with correlation coeffcients exceeding a set threshold were considered indicative of the fog concentration level. Simulations show that the algorithm accurately reflect changes in fog concentration across images with varying densities.Additionally，correlation coefficients between the algorithm's results and PM2.5 measurements reached up to 0.95，both within the same andacrossdiffrent scenes.This shows thatthealgorithm can be effectively used for fog concentration rating in visual field.Horizontal comparison tests show that the inspection accuracy of the proposed algorithm can reach up to 4.8% ， making it suitable for field fog concentration detection. Keywords： fog concentration； LIVE library； GPDR； Naka-Rushton function； inspection

霧是生活中常見的自然現象，其存在會影響人們的生產和生活，通常這種影響是負面的，需要減緩或消除。中國是霧的多發區，特別是在南方很多山區，霧給人們生活帶來的隱患到了不容忽視的地步\"。因此，研究如何預警和預報霧是當前亟待解決的問題。然而預警和預報的前提是正確評定霧濃度的等級，目前有多種用于霧濃度等級評定方法，如基于激光、紅外技術檢測等[但該類方法是通過研究傳播介質布朗運動對激光或紅外光路的遮斷或衰減特性來實現，通常在較長物距且需要主動發射或接收裝置才能實現，適合特定場合，因此，研究基于機器視覺或圖像處理的霧濃度檢測具有現實意義。

目前國內外很多學者從事基于機器視覺或圖像處理技術霧濃度檢測研究，并取得了豐碩成果，Miital等是較早開展相關研究的學者，其主要是采用歸一化亮度系數法（mean subtracted contrast normalized，MSCN）實現圖像對比度的評定，雖然該方法只是針對圖像對比度評價，并未與視場霧濃度檢測聯系起來，但為霧濃度檢測評價提供了參考依據。溫立民等采用對比度、信息建立多維向量，通過求解空間馬氏距離的方法映射視場霧濃度，取得較好效果，但檢測精度略顯不足。Cui等利用暗盒方法，通過控制盒內水蒸氣（代替霧）濃度，采集視場圖像并研究影響霧濃度的參數因素，但其測試是在限定背景參數的條件下獲得，不具有一般性。李春明等通過統計霧濃度與圖像色度、亮度和飽和度之間的關系，建立回歸方程并求解視場霧濃度指數，雖然該方法在特定環境下的霧濃度檢測具有較高精度，但因對濃度、色度、亮度及飽和度之間的統計具有片面性，使其在應用上不具有通用性。Guo等基于暗原色先驗方法建立邊緣信息索引并利用索引值解算霧濃度參數，雖在中低濃度檢測中取得較好效果，但因其是采用暗原色先驗方法實現霧濃度檢測，難以避免該方法的弊端，即在高濃度或高亮背景下失效。Ling等將暗原色先驗、統計離差、隨機深林等作為霧圖像相關統計參量，構建線性組合方程求解視場霧濃度。Jiang等研究了視場景深與圖像色彩、色度等參數之間的關系，通過回歸分析實現霧濃度計算，雖取得一定效果，但需要大量能反映現場景深的參考霧圖。因此，研究提出基于標準圖像庫的廣義灰度差-比（generalized pixel diffrence-ratio，GPDR）先驗，建立基于 Naka-Rushton（NR）函數的3段擬合曲線，計算標準圖像散點GPDR值的擬合NR函數參數 （n，k） 與真實圖像擬合 的相關系數，建立參數 （n，k） 與霧濃度對應查找表和聞值門限，通過遍歷查找表并判斷綜合相關系數是否高于門限來確定視場霧濃度等級。經相同場景不同濃度霧圖像測試，證明圖像集擬合Naka-Rushton函數 （n，k） 與真實霧圖像 高度相關，可以作為視場霧濃度等級評定。

1基于標準圖像庫灰度差-比散點先驗

1.1 影響圖像對比度的因素

通常霧的濃度是反映在圖像的對比度和信息上，對比度和信息隨著霧濃度增高而降低。霧濃度大小不僅與視場中傳播的介質有關，還與光照條件有關，傳播介質是勻質的還是非勻質的，光照條件是各向同性還是各向異性都會影響霧濃度的大小[-13]。要通過圖像實現視場霧濃度檢測，首先要研究對比度和信息隨霧的變化規律，這需要以獲得具有不同屬性的有霧和無霧圖像樣本為前提，而現實中獲得各種不同性質、不同光照條件的圖像較為困難，本文在標準圖像數據庫（LIVE）中選取參考圖像作為測試樣本，建立參照標準實現霧濃度檢測。當前通用標準圖像庫有LIVE、FRIDA和 。其中，LIVE庫擁有豐富的資源，收集了各種圖片資源，僅有霧圖像就分為各向同性、各向異性介質和光照等不同條件下圖像，適合各種圖像處理和機器視覺應用，具有權威性。

1.2基于標準有霧和無霧圖像的GPDR先驗

研究選取4組標準圖像集（記為I）如圖1（a）～（d）所示，每組圖像集場景和光照條件相同或相近，每個場景包括有霧（下排）和無霧圖像（上排），圖1（a）為霧和光照都是各向異性， PM2.5=35 μg/m³"；圖1（b）為霧是各向異性，光照是各向同性， PM2.5=67μg/m³ ；圖1（c）為霧是各向同性，光照為各向異性， PM2.5=80 μg/m³ 圖1（d）為霧和光照均為各向同性， PM2.5=120μg/m³ 。每個場景有霧和無霧圖像各100張，其霧濃度（a） lt; （以每組標準圖像的 值為準）。圖 1（e）～（h） 分別為（a）～（d）對應的散點圖，散點圖以圖像灰度級[0，255]作為 x 軸，以同場景有霧圖像與無霧圖像歸一化廣義灰度差-比（GPDR）作為y軸（廣義灰度差-比為有霧圖像灰度值與對應的無霧圖像灰度值的差與廣義有霧圖像灰度值之比，其中廣義有霧圖像灰度值為有霧圖像灰度與天空光的差值），藍色曲線為100幅圖像對應的散點分布，紅色直線表示過渡階段對應的線性區域。由圖 1 （e）～（h）知，無論是各向同性還是各向異性的霧圖，其GPDR都呈S形曲線，即在低灰度區其值較低且緩慢上升，呈現下凹型態；在高灰度區卻是呈現緩慢上凸形態（如圖紅色箭頭所示），且隨著霧濃度的增大，下凹和上凸越明顯。中間段為近似的線性，隨著霧濃度的增加，線性度越明顯，通常下凹與上凸之間存在過渡點，且過渡點的斜率隨著霧濃度的增加呈上升趨勢（如圖 。

從以上分析可以得到一個關于散點圖先驗：霧的濃度與S型的散點圖一一對應，即一定形狀的S型散點圖對應一定的視場霧濃度。因此，根據此散點圖先驗，可通過改變凹凸及線性度等參數確定一個S型函數，表征視場霧濃度大小。為此研究引入Naka-Rushton函數來表征這種S型散點形狀，確定對應標準圖像的霧濃度。

對于真實的圖像1（j），同樣可繪制有霧圖像與無霧圖像間GPDR值S型曲線，如圖1（i）所示。根據標準圖像集獲得的S型函數可確定一個濃度的參照標準，比如某參數下確定的S型函數對應 PM2.5=50 μg/m³，如果真實霧圖對應的S曲線與之匹配程度達到一定級別時，則認為此時的真實霧圖的濃度即為 PM2.5=50 μg/m³。

1.3廣義灰度差-比先驗證明

廣義灰度差-比的先驗是通過統計200幅標準圖像得出的先驗規律，對該先驗證明其具有一般性。在圖像去霧領域中，應用較為廣泛的為Narasimhan、Nayar等提出的大氣散射模型，如下所示

其中： I（x，λ） 為采集器采集到的有霧圖像；為人射光波長； 為同場景下的無霧圖像； 為天空光，對于攝像頭采集到的圖像，天空光可用最大像素值或最高 10% 的像素均值代替，對于式（1）可認為 為已知常數； β（x，λ） 為傳播介質的衰減系數； d（x） 為視場景深函數； k 為常數。對式（1）整理得

進一步有

若定義式（3）等號左邊為灰度差-比函數，則由式（3）等號右邊可知，該函數等價于過原點的超越函數（或稱類指數函數），該函數與指數函數類似，這是散點圖出現類線性的原因。而式（3）與指數函數不同的是隨著x 的增大而不是無限增大，是有界函數。證明如下：由文獻[14]知

衰減系數是波長與景深的函數，衰減系數與景深成反比，則有

因此式（3）等號右邊 為有界函數，廣義灰度差-比函數為S型函數。若令

其中 I（d（x）） 即為廣義像素灰度差-比函數，可表示為有霧圖像灰度 I（x，λ） 與無霧圖像灰度 的差比與廣義有霧圖像灰度差 （等價于有霧圖像灰度與常數之差，稱為廣義灰度）。因為式（3）是個超越方程，所以筆者采用擬合分析方法計算霧濃度，即首先建立廣義灰度散點圖，選取合適的參數點建立擬合函數。因為圖像灰度值與景深存在正相關，所以圖1以圖像灰度值為橫軸，廣義像素灰度-比為縱軸建立散點圖。由于衰減系數的冪指數是景深的函數，致使在景深較小（灰度較低）時曲線出現不同程度的下凹，在景深較大（灰度較高）時出現不同程度的上凸。

2 改進的Naka-Rushton函數擬合

2.1 基本Naka-Rushton擬合函數

從分析可知，S型散點圖為100幅圖像在灰度級上的GPDR分布，由于這種散點圖分布呈現如圖1（e）～（h）粗線條軌跡，而研究是采用回歸分析法擬合曲線，在每個灰度級上選擇的回代樣本將影響最終擬合結果，不同的回代樣本點將擬合出不同曲線，本文以每個灰度級GPDR均值作為回代樣本，擬合NR函數表征視場霧濃度的S型曲線，計算霧濃度等級。而擬合曲線的選擇，需要滿足以下約束條件：

1）擬合曲線需整體呈現S形狀，并存在大范圍的近似線性區域；

2）中間線性區過渡點可調整，且過渡點的切線斜率可調整；

3）在低值區域函數值很小或近似為0且呈現下凹特性，在高值區域近似滿幅且呈現上凸特性。

引人Naka-Rushton（NR）擬合函數如圖2所示，一是因為NR函數曲線圖形為S型；二是因為該函數滿足上述3條約束。如圖2（a）所示，該函數可分為3段區間，即低值區，線性區和滿幅區。低值區幅值可近似為0，在這段區域內，是靠近采集設備區域；滿幅值區間是灰度值最高的區間，是無窮遠端或天空光區域（滿足約束條件3））；函數存在大范圍線性區，且線性區范圍和斜率可根據需要調整（滿足約束條件1），2））。基于上述2點原因，采用NR函數擬合標準圖集GPDR散點圖估計視場霧濃度。

Naka-Rushton（NR）函數形如

式中： 為NR函數參數， 為NR函數上界； k 可實現對凹凸過渡點的調整； n 為速降因子，用于調整凹凸的幅度。當用NR函數擬合散點圖時，不同霧濃度可計算出不同的 n，k 值。如果通過回歸分析法計算出 ，也就確定了當前霧圖像對應的視場霧濃度大小，即一個 （n，k） 對應一個視場濃度，不同 （n，k） 對應不同的霧濃度（如圖2（b）所示），圖 2（b）x"軸為圖像灰度級， y 軸為歸一化廣義灰度差-比（GPDR），其中的藍、黑、綠、紅色曲線表示在保持 k 為定值時，改變 n 值為2.5，3，5，7時的NR曲線，由圖可知隨著 n 值的增大，曲線的過渡區域增加，上凸和下凹的幅度增大。

若將式（7）等號兩邊同除 ，有

變形后

將等號兩邊取對數

式（10）中， 分別為散點圖中灰度樣本值，該樣本值可從散點圖中直接獲得，若將樣本值代入式（10）即可估計出參數 。

2.2 Naka-Rushton擬合函數的改進

根據式（1）估計出的 （n，k） 值對應的擬合NR函數與散點區在局部上有時會存在較大偏差，主要表現在2個方面： ① 當灰度 xk 時呈現上凸特性。因為， x 是在灰度[0，255]范圍內變化，導致曲線下凹和上凸的變化趨勢過快，這不符合視場霧濃度的變化規律； ② 如果 取圖像像素的最大差值，將導致GPDR值整體偏高，需要對Naka-Rushton函數作以改進。對于問題 ① ，改進如下

改進方法如式（11）所示，將整個灰度區域[0，255]分為3段區間，分別為：低值區 近似線性區 和高值區 ，如式（11）所示在低值區將分母中的 x 變為 x/2 ；在近似線性區保持不變；在高值區將 x 變為2倍。經此改進后在低值區的下凹和高值區的上凸變緩，更符合灰度散點的變化規律。

對于問題 ② ，需要對 根據下式進行補償。

式（12）中： 為圖像的最大GPDR值點； ε 為補償量，該值需根據當前散點圖所處的灰度級范圍確定，補償經驗公式如下

式（13）中： x 為灰度； ε 為補償量，則改進后NR函數為

當確定修正量ε后，可根據式（12）計算最終 ，并將 代人公式（14），可實現 參數估計。

圖3為改進前后的對比測試結果，紅色線為濃度 PM2.5=135 μg/m³的散點圖，綠色線為改進前擬合生成的NR函數，由圖3可知擬合函數GPDR值在低值區下凹處幅值過低，而在高值區上凸處幅值過高，導致這2段擬合誤差較大。改進后的擬合曲線為藍色線，由圖3可知，紅色線和藍色線基本重合，表明擬合曲線與散點圖具有較高的重合度，消除了下回處幅值過低和上凸處過高的不足。因此，經過改進的NR函數，符合S型散點圖擬合約束要求。

3NR函數霧濃度的參數估計

由Naka-Rushton函數擬合GPDR均值散點圖曲線原理可知，擬合的關鍵是如何確定參數 （n，k） 。由式（14）和參數 （n，k） 通過回歸分析法估計出來，即在標準圖像散點中選取關鍵點坐標代入式（14）中，估計參數 （n，k） 。具體步驟如下，流程如圖4所示。

1）計算每個灰度級對應的標準散點的GPDR均值 ， x 為灰度級， 為灰度級對應的GPDR均值。遍歷整個灰度級范圍，找到中最大均值 ，將此最大均值按公式（12）（13）進行補償，得到最大估計

2）在步驟1）均值坐標 中確定關鍵坐標樣本點。因為研究采用回歸分析法估計參數 （n，k） ，則選擇代入公式（14）的散點坐標十分重要，如果坐標樣本點選擇不合適，估計的參數 （n，k） 偏差大，則擬合出的Naka-Rushton函數就不能正確反映視場散點規律，因此，散點樣本坐標應該在下凹處、上凸處和過渡點處選取。

3）將步驟1）2）確定的 和散點均值坐標 分別代人公式（14）計算 （n，k） ，進一步計算標準圖像集散點擬合NR函數。不同濃度的圖集散點對應不同的擬合函數和 （n，k） ，即霧濃度等級與 （n，k） 一一對應，如果將每個濃度所對應的 （n，k） 通過上述方法全部估計出來，可建立一個查找表（如表1所示，表1只給出部分（n，k） 值），以這個查找表作為尺度衡量真實有霧圖像的霧濃度。表1是在標準圖像集中選取一定數量的霧圖，并將霧圖按PM2.5值等間隔分組，間隔值約為0.5，分別計算出每組的 （n，k） 值，建立PM2.5與 （n，k） 查找表。

4）查找表建立后，可以將查找表作為標尺衡量真實圖像霧濃度，步驟如下：

a.參照步驟1）建立真實圖像（記為 有霧和無霧圖像GPDR散點圖如圖1（i）（j）所示b.采用回歸分析法計算 的Naka-Rushton擬合曲線，并計算相應的參數估計，記為 ：

c.分別計算標準圖像集 （n，k） 和真實圖像參數 的相關系數

式（15）（16）中， 為 n 和 k 各自的相關系數，cov 為協方差， 和 為標準差；d.計算綜合相關系數 ρ

式（17）中 為權重系數，因為在Naka-Rushton函數中，決定曲線形狀的參數 n 起的作用要大些，所以經實驗測試 ；

e.建立遍歷參照表1搜索進程，搜索綜合相關系數 ρ 大于門限的 （n，k）

f.查找表1確定當前霧濃度指數。

4仿真實驗

4.1 實驗條件

研究實驗仿真上位機平臺為CPUIntel酷睿i7內存16G，獨立顯卡，64位MicrosoftWindows7；測軟件：Matlab2016。選取的測試圖像為標準LIVE圖像和實際隨機采集的霧圖，圖像大小從 400×300～1024×768 不等。

4.2霧濃度與NR函數相關性測試

為驗證基于NR函數擬合能否用于視場霧濃度計算，需要對標準圖像NR函數擬合的 （n，k） 與真實圖像擬合 進行相關性測試。研究選擇某地連續14d采集的相同場景不同霧濃度圖像作為測試樣本，將這14幅采集樣本按PM2.5值由低到高的順序排列（如圖5所示）[7-18。以氣象預報的PM2.5濃度歸一化值為橫坐標，將圖像按PM2.5由小到大的順序排列，從左至右從上到下編號1～14。因為視場霧濃度大小在圖像上體現在對比度上，以對比度歸一化值作為縱坐標。對比度計算公式°為

式（18）中： ，即相鄰元素幅度差值； 為幅度差值為 δ 的概率；

和 為行列最大。

測試數據如表2所示， PM2.5 和測試結果都是歸一化值，若以PM2.5為 x 軸，對比度值為y軸做散點圖，如圖6所示。14d的 和測試結果整體上呈現線性，經計算二者的綜合相關系數可達0.95，說明散點斜率與視場濃度高度相關，因此，算法可以作為視場霧濃度的度量。

4.3不同場景不同濃度霧測試

為測試算法在不同場景下的檢測效果，隨機選取了8組不同濃度的場景圖像（如圖7所示），包括無霧（上排）和有霧（下排）圖像，采用研究算法對有霧和無霧圖像分別進行計算。從左至右按有霧濃度由小到大順序排列，分別編號為場景序號1～8，測試濃度（PM2.5）如表3所示。圖8中為不同濃度不同場景對比曲線，圖 8：x 軸為場景序號，y軸為PM2.5。無霧圖像的測試結果通常較低，濃度值大都在70以下，按PM2.5空氣質量標準都在優和良，這一點從無霧圖像也能反映出來，圖像質量清晰；而有霧圖像測試值則隨著對比度減小（霧濃度增大）呈遞增趨勢，因此，實驗證明算法對不同濃度、不同場景同樣適用。

4.4 橫向比較

當前，采用圖像處理的方法實現霧濃度檢測的途徑是基于圖像對比度的評價，為更好地評估算法有效性，將對比度評價較好的成果與研究作對比。目前用于對比度或霧濃度評價效果較好的有MSCN、文獻[9]和[15]，文獻[9]是基于自然統計特性實現霧濃度檢測，文獻[15]是基于空間距離計算視場霧濃度。為比較時具有共同的衡量尺度，采用圖像的MOS（mean opinion scores）值3作為參照標準。MOS法是對比度評價中普遍采用的圖像主觀評價法，其值能較為準確反映圖像對比度大小，因此，以MOS值作為標準尺度。由于MSCN和文獻[15]針對的是圖像對比度，在比較時統一化為對比度。

眾所周知，不同背景、不同紋理信息對于霧濃度檢測結果會產生影響，為消除干擾，保證測試一致性，選用同場景、同光照、同大小不同濃度的霧圖作為測試樣本，將測試樣本從左到右從上到下按濃度由小到大的順序排列1～14#（如圖9所示），分別采用文獻[9，15]、MSCN及研究方法進行計算，測試結果如圖10（a）所示。圖10（a）中： x 軸為測試樣本序號；y軸為測試對比度值；黑色十字星型曲線為標準MOS測試結果；紅色星型曲線為文獻[15]測試結果；紫色曲虛線為MSCN的測試結果；藍色點劃畫線為文獻[9]的測試結果；綠色叉實線為測試結果。從圖10（a）可知MSCN和文獻[15]相比于MOS測試結果相差較大，整個測試時間段內對比度值都小于MOS方法，表明MSCN與文獻[15]對比度評價結果相比文獻[9]和研究結果要差些；比較研究與文獻[9]，從整體上看研究波動小些，文獻[9]波動范圍較大，如1～10幅圖，偏離MOS值較大，特別是第10幅達到最大，因此，研究測試結果要優于文獻[9]。

圖10（b）為文獻[9]與研究測量誤差對比， x 軸為樣本序號，y軸為對比誤差。為保證一致性，測試樣本與文獻[9]相同，測試結果為連續14d某地PM2.5值（以當天天氣預報為準）。其中：紅色星線為文獻[9]的誤差；綠色的叉實線為研究的測試誤差。由圖10（b）可知，文獻[9]與研究誤差都隨著濃度增而有所增加，但各點的誤差文獻[9]要高于研究結果。在濃度最大時誤差也達到最大，研究結果只有 4.8% ，而文獻[9]誤差達 10% ，因此，無論是從檢測效果上還是誤差上對比，研究都要優于其他方法。

5結論

研究提出無霧圖像集與有霧圖像集灰度差-比散點先驗原理，引人NR函數擬合散點圖，建立霧濃度查找表，實現視場霧濃度等級評定。仿真實驗表明：研究算法測試結果與視場濃度高度相關，相關系數達0.95，通過同場景、不同濃度，不同場景、不同濃度樣本測試，及與現有的測試效果較好的MSCN、文獻[9]等對比，誤差小于 5% ，結果表明所提算法能夠用于視場霧濃度檢測。

研究采用的是基于圖像散點斜率先驗作為對比度測量，采用有參圖像統計估計，使檢測誤差較大，特別是在高濃度檢測中測試精度不能滿足要求，在惡劣氣象環境中（如雨、雪），檢測精度也會受到影響。另外本算法存在的另一個不足是需要同場景的有霧和無霧圖像才能解算，上述不足需要進一步研究。

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（編輯侯湘）