滲透素養培養 融合課程思政

高中課程中的概率內容，按知識發生發展的邏輯順序分為兩章，分別在必修和選擇性必修中學習。條件概率顧名思義是指在一個事件A已經發生的條件下另一個事件B發生的概率，已知事件A發生，試驗的樣本點屬于A，因此A成為新的樣本空間，所以條件概率P（BIA）本質上是在縮減的樣本空間A上事件AB的概率。

全概率公式是概率論中一個基本而重要的公式，其基本思想是利用一組兩兩互斥的事件，將一個復雜事件表示為兩兩互斥事件的和事件，再由概率的加法公式和乘法公式求這個復雜事件的概率，全概率的本質即將樣本空間分解成若干個子空間，利用全概率公式計算概率，體現了分解與綜合、化難為易的轉化思想。

一、融入課程思政要素

該單元課程體現的思政要素包括：全局觀念、風險意識、積極信息。具體如下：

全局觀念：全概率公式考慮所有可能事件的重要性，培養學生的全局觀念，使他們面對問題時能夠全面考慮各種因素，避免片面和局部的看法。風險意識：全概率公式涉及對不同事件發生概率的計算，這可以幫助學生樹立風險意識，從而更加理性和謹慎地對待問題。積極信息：該單元文字信息較多，要重視學生對信息的再整理能力，進一步引導學生思考：每個人每天都要接收大量的信息，有正面的有負面的，如何取舍信息、整理信息，才能有助于個人成長和發展，從而引導學生積極陽光地對待學習生活，這是教育活動高效開展的必要前提。

二、教法學法學情分析

從教師角度考慮，備課無非是備好要講的內容、備好學生的學情，在教學中要將內容講準確、講簡單。

（一）講準確

講準確就是把數學概念的本質講透徹、講到位，該單元的核心概念有條件概率、全概率。在這些核心概念中，學生對條件概率的理解有些困難，我們可將難點分解，從概念理解、審題、計算等多種不同角度帶領學生一步步理解到位。

從概念理解角度看，由于具體問題中的許多條件概率問題與我們的直覺相悖，往往很難迅速得到正確的答案，這也是概率問題不同于其他數學問題的地方，因此學生在學習條件概率概念時可能會產生困惑，對于條件概率定義的理解會存在偏差。其實，條件概率的本質來自樣本空間的改變，究其根源就是全集思想，全集變了，研究問題的前提條件變了，那么結果就很可能發生變化，概率的分母由 n（ Ω ） 變為n（A），學生從韋恩圖可清晰地感受到樣本空間從 Ω 到A的變化。

獨立性是概率論中極其重要的概念，獨立性的概念可以用條件概率描述，但在實際操作中兩個隨機事件的獨立性的判斷往往是基于學生的經驗，所以學生容易忽視獨立性與條件概率之間的關系；學生還可能存在混淆兩個事件相互獨立與兩個事件互斥的概念，并由此引發概率公式運用錯誤，尤其當 P （ A ）gt;0 時，當且僅當事件A與B相互獨立時，有P（BIA）=P（B）。

從審題角度看，條件概率的題目中有著明顯的語言標志，可以從文字中讀出是否是條件的概率，如教材第44頁問題，第一問“選到男生的概率是多少”，很顯然樣本空間是45名學生，第二問\"如果已知選到的是團員，那么選到男生的概率是多少”，這個“如果已知選到的是團員”就是條件概率的語言標志，此時樣本空間是30名團員。

如教材第46頁例1：在5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回。求第1次抽到代數題且第2次抽到幾何題的概率；在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率。第二個問題中“在第一次抽到代數題的條件下”是明顯的條件概率語言標志，通過語言標志就能清楚地辨析出這是條件概率，而不是兩個事件同時發生的概率?！霸诘?次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題\"的概率就是事件A發生的條件下，事件B發生的概率。

從計算角度看，我們可以借助公式，解出條件概率。由于條件概率計算可以通過縮小樣本空間轉化為非條件概率的計算，所以從樣本空間角度考慮可直接得出結論。同時，全概率也可以培養學生的風險意識，全概率公式涉及對不同事件發生概率的計算，這可以幫助學生樹立風險意識，從而更加理性和謹慎地對待問題，體現了課程思政的顯著特點。

因此，透過現象看本質，條件概率和全概率的本質都是樣本空間的改變，條件概率縮小了樣本空間，全概率將樣本空間分成了若干個子空間，從而引導學生用更易于理解的方式理解概念，用更簡潔的方法求概率的值。把數學運算的算理講透徹、算法講清楚，從而提升學生數學運算、數學抽象的核心素養。

（二）講簡單

復雜問題簡單化，這一直是數學所追求的。很多學生都會覺得數學難學，因此只有把數學講簡單，才能讓學生易學、易記、易懂、易會。

例如：有關全概率的計算，教材第50頁例5：有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為 6 % ，第2、3臺加工的次品率均為 5 % ，加工出來的零件混放在一起。已知第1、2、3臺車床加工的零件數分別占總數的 2 5 % . 3 0 % ） 45 % 。任取一個零件，計算它是次品的概率；如果取到的零件是次品，計算它是第i （ i=1 ， 2 ， 3 ） 臺車床加工的概率。

題目的解題過程出現了大量的字母，學生會覺得很抽象、混亂、不好理解。我們可以借助圖像說明，次品可能來自三個車床中的任意一個，也就是先把樣本空間分成三部分 ，再討論每一部分某事件發生的概率，這樣學生在頭腦里就有形象清晰的認知，再將其用數學符號語言表達出來。這樣學生接受起來就會容易一些，最終達到使學生既要理解解答過程的來龍去脈，又要會用數學符號語言準確表達的目標。同時全概率也有助于培養學生的全局觀念，全概率公式考慮所有可能事件的重要性，使他們面對問題時能夠全面考慮各種因素，避免片面和局部的看法，從而體現了課程思政。

本章還要注重引導學生重新整理信息：概率題目文字較多，信息量大，學生需要利用圖表等方式重新整理信息，才能更加便于計算和理解題意。例如：1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，先隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，則從2號箱中取出紅球的概率是多少？本題短短兩行的題干，卻提到了12處數字，條件繁雜，如果用韋恩圖表達，就清楚多了，我們可借此進一步發揮，引導學生思考。

對某些子空間的理解學生也存在疑問。比如教材第45頁問題2：假定生男孩和生女孩是等可能的，現考慮有兩個小孩的家庭，隨機選擇一個家庭，那么該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？如果已經知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又是多大？“已知這個家庭有女孩”是條件概率的語言標志，其樣本空間A是“已知這個家庭有女孩”，包括三個樣本點：男女、女男、女女。也就是說已知這個家庭有女孩包括了兩個女孩的情況。

再如：有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取出兩瓶，若取出的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率是多少？樣本空間是“取出的兩瓶中有一瓶是藍色”，其實里面也包括了兩瓶都是藍色的情況，這是學生不好理解的地方。樣本空間與問題“另一瓶是紅色或黑色”相當于子集關系，所以審題時要結合數學題的語境、數學專業詞匯的意義理解字里行間的含義。

在該單元的學習過程中，學生需要用數學的眼光看待隨機事件的概率，能用概率的一般概念解釋具體現象，并通過條件概率和獨立性等數學概念分析復雜問題，探索全概率的思想內核，尋找解決復雜問題的方法，學習過程中蘊含著數學抽象、邏輯推理和數學運算素養，教師的教學可以引領學生層層突破難點，滲透思想方法及課程思政。

（焦佳）