高中物理有關(guān)磁場的四個“動態(tài)圓”模型問題歸納

隨著課程改革的不斷推進，在高考物理試題中，對科學(xué)思維能力的考查已成為檢驗物理學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.帶電粒子在磁場中的運動問題是高中物理的重點，也是高考必考點.解答這類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出符合題意的臨界軌跡圓弧，基本方法是找圓心、畫圓、求半徑、定時間，再根據(jù)幾何關(guān)系求解.帶電粒子在磁場中的“動態(tài)圓\"問題是高考的難點，非常具有代表性.下面對四類“動態(tài)圓”模型問題進行歸納，通過例題分析和方法總結(jié)，為考生提供高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)，以提升學(xué)生復(fù)習(xí)效率.

1“放縮圓”

“放縮圓”法是指通過對帶電粒子在磁場中運動軌跡大小的“放縮\"探究臨界條件，從而解決問題的方法.在一定條件下，當(dāng)粒子源發(fā)射出的帶電粒子速度方向保持一致，而大小不同時，這些帶電粒子在進入勻強磁場后，會沿著不同的軌跡做勻速圓周運動.初速度方向一定、大小不同的粒子，初速度 越大，運動半徑越大.如圖1所示，所有粒子的運動軌跡圓心都在垂直初速度方向的直線 上.同理，以入射點 P 為定點，將半徑按照一定的比例進行放縮，可得到一系列軌跡圓.

如圖2所示，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為 B ，寬度為 d ，邊界為CD和EF.一電子從 C D 邊界外側(cè)以速率 垂直射入勻強磁場，入射方向與 C D 邊界夾角為0.已知電子的質(zhì)量為 m 、電荷量為 e ，為使電子能從磁場的另一側(cè) E F 射出，則：

（1）電子的速率 至少多大？

（2）若 θ 可取任意值， 的最小值是多少？此時 最小軌跡半徑是多少？

（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)人射速率 很小時，電子會在磁場中沿一段圓弧運動后再從CD一側(cè)射出.速率越大，軌跡半徑越大.根據(jù)軌跡圓的“放縮圓\"法，當(dāng)軌跡的邊界與 E F 相切時，電子恰好不能從 E F 射出，如圖3所示.電子恰好射出時，由幾何關(guān)系得 r + r c o s θ = d ，又 解得 m（1+cosθ），故電子要射出磁場，速率至少應(yīng)為

（2）由上述分析可知，當(dāng) 時，即當(dāng)粒子沿 D C 方向射入磁場時，速度最小，為 此時軌跡半徑最小，為

本題是通過“放縮圓”法解決問題的典型例題.已知粒子入射點和速度方向，不確定速度大小時，可以考慮應(yīng)用“放縮圓”法.在利用“放縮圓”法解決臨界問題時，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件畫出粒子運動的軌跡圓，從小半徑到大半徑，當(dāng)畫出若干條不同的軌跡圓時，即可很快找到幾何關(guān)系，進而列方程解決問題.

2 “旋轉(zhuǎn)圓\"

“旋轉(zhuǎn)圓\"法是指通過分析帶電粒子在磁場中運動的等大軌跡圓的“旋轉(zhuǎn)”探究臨界條件，從而解決問題的方法.當(dāng)粒子源發(fā)射出的帶電粒子速度大小不變，但方向不同時，這些粒子在進入勻強磁場后做勻速圓周運動的軌跡圓半徑相同.以一個粒子為研究對象，把一個軌跡圓像硬幣一樣滾動，出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)效果.如圖4所示，粒子源在 P 點射出初速度大小相等、方向不同的帶電粒子，粒子做勻速圓周運動，所有軌跡圓的圓心均位于以 P 點為圓心的圓周上.當(dāng)磁場存在邊界時，可按照\"旋轉(zhuǎn)圓\"法找出臨界關(guān)系（如圖5）.

例2如圖6所示，豎直平面內(nèi)有一 平面直角坐標(biāo)系，第一、四象限中存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小記為 B （ B 未知）.坐標(biāo)原點 O 處有一放射源，放射源可以源源不斷地向第一、四象限 180°范圍內(nèi)均勻地輻射出質(zhì)量為 、電荷量為 q 的正離子.在 y 軸上固定一能吸收離子的收集板 M N ， M 點坐標(biāo)為 （ 0 ， a ） ， N 點坐標(biāo)為 （ 0 ， 2 a ） ，當(dāng)輻射的離子速率為 時離子打在收集板上的位置最遠(yuǎn)到 N 點，最近到 M 點.不計離子的重力及離子間的相互作用的影響，求：

（1）恰好打到 M 點的離子在磁場中運動的時間；（2）能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例（1）由題意可知，沿 x 軸正方向射出的離子，

經(jīng)半圓到達(dá) N 點，由此可得 r = a ，可知通過M 點的離子有兩個出射方向，如圖7-甲所示，一個軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為 ，即 ，另一個軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為 ，即 .離子做勻速圓周運動，則周期 即 解得

（2）如圖7-乙所示，由動態(tài)圓分析結(jié)果可知，能打到收集板上的離子分布在速度方向與 軸正方向成

角的范圍內(nèi)，因為放射源均勻打出離子，所以打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例為 ：

當(dāng)粒子入射點、速度大小確定，速度方向不確定時，可以考慮用“旋轉(zhuǎn)圓”法求解.因帶電粒子做勻速圓周運動的軌跡圓等大，初學(xué)者可利用硬幣或者圓紙片進行旋轉(zhuǎn)尋找?guī)缀侮P(guān)系，同時也要注意這類“旋轉(zhuǎn)圓”的最遠(yuǎn)和最近一般是不滿足對稱性的，要根據(jù)圓的相切關(guān)系找到解題條件.

3“平移圓”

“平移圓\"法是指通過將帶電粒子在磁場中運動的等大軌跡圓“平移”來探究臨界條件，從而解決問題的方法.如圖8所示，當(dāng)粒子速度大小、方向確定，但入射點在同一直線上不同點時，可以根據(jù)圓的“平移”，結(jié)合粒子做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，再通過邊界關(guān)系尋找?guī)缀侮P(guān)系解決問題.

例3 如圖9所示，在x O y 平面的一、四象限內(nèi)有一圓心為 O 、半徑為 R 的半圓形勻強磁場，線狀粒子源從 y 軸左側(cè)平行于 x 軸正方向不斷射出質(zhì)量為 ！電荷量為 q 、速度大小為 的帶正電粒子.磁場的磁感應(yīng)強度大小為 方向垂直平面 向里.不考慮粒子間的相互作用，不計粒子受到的重力.所有從不同位置進人磁場的粒子，在磁場中的最長運動時間為（ ）.

根據(jù)題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運動，有 ，解得 r = 2 R .如圖10所示，當(dāng)粒子在磁場中的運動軌跡對應(yīng)的圓心角最大時，粒子在磁場中運動的時間最長，由sin α = lE可知，要使圓心角α最大， 應(yīng)最長，經(jīng)分析可知，當(dāng)粒子從 y 軸上的 點射入、從 x 軸上的 點射出磁場時，粒子在磁場

中運動的時間最長，有sin 解得 6，則從 點射入磁場的粒子在磁場中運動的時間最長，且tm ，解得 故選項C正確.（2號

本題采用“平移圓”法解決問題，其適用于帶電粒子的速度大小和方向都確定，射入磁場的入射點在一條直線上的情況，此時粒子在磁場中的軌跡圓的圓心也在一條直線上.在應(yīng)用“平移圓”法解決問題時，需注意繪制出若干條軌跡，通過仔細(xì)觀察這些軌跡之間的幾何關(guān)系，準(zhǔn)確找到它們的交點以及相關(guān)的夾角，再根據(jù)這些關(guān)鍵點和角度解決問題.

4“磁聚焦”

“磁聚焦”是指從一點射出的帶電粒子經(jīng)過勻強磁場后，匯集在一個“焦點”上的現(xiàn)象.如圖11所示，粒子源P點發(fā)射的所有粒子速度大小均為u=qBR， ，這些粒子進入半徑為 R 的圓形磁場區(qū)域，均沿平行于P Q 方向射出；同理，如粒子沿平行于 P Q 方向射入半徑為 R 的圓形磁場，則所有粒子將匯集在 Q 上， Q 為磁聚焦點.這里也可看成等大軌跡圓繞著 P 點或 Q 點“旋轉(zhuǎn)”，根據(jù)這些特殊關(guān)系和對稱性，找到幾何關(guān)系，從而解決問題.產(chǎn)生該現(xiàn)象的前提條件是軌跡圓半徑和磁場圓半徑相等.

例4電子質(zhì)量為m、電荷量為 e ，從坐標(biāo)原點 O 處沿 x O y 平面射入第一象限，射人時速度方向不同，速度大小均為 ，如圖12所示.現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于 x O y 平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為 B ，若這些電子穿過該磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，且熒光屏與 y 軸平行，求：

（1）熒光屏上光斑的長度；

（2）所加磁場的最小面積.（1）如圖13所示，初速度沿 x 軸正方向的電子，沿弧OA運動到 P 點， P 點則為熒光屏上光斑的最高點；初速度沿 y 軸正方向的電子，沿弧 O C 運動到 Q 點， Q 點則為熒光屏上光斑的最低點.電子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得 ，解得 ，光斑長度 中

（2）所加磁場的最小范圍是以 為圓心、 R 為半徑的圓的一部分，如圖13中陰影部分，其面積大小

當(dāng)圓形磁場半徑與帶電粒子在磁場中運動軌跡圓半徑大小相同時，可考慮結(jié)合“磁聚焦”解題.本題的解題關(guān)鍵是畫出軌跡圓，找到磁場面積最小情況，再求出面積大小.

以上四類“動態(tài)圓\"模型問題，都是帶電粒子在磁場中運動的難點，均需要根據(jù)臨界條件找到幾何關(guān)系.在高考備考中，如果能熟練運用這些模型和方法，并深入理解每一種模型的特點，就能夠輕松化解帶電粒子在磁場中運動的難題.總之，帶電粒子在磁場中運動問題在高考中非常重要，只要多總結(jié)、多歸納，就一定能在高考備考中事半功倍，有效提升復(fù)習(xí)效率.

本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2024年度專項課題“基于DISLab與數(shù)字化資源在高中物理實驗教學(xué)中的應(yīng)用研究”（編號：2024ZJY1063）階段性成果.

（完）