等價關系學習進階的理論研究及教學探討

一、等價關系的內涵與本質

早期代數是指將代數思維引人小學數學教學中，而不是將代數提前，在小學階段就正式開始學習代數相關課程。相較于傳統代數課程，早期代數課程更能促進學生對于代數領域相關知識的理解與掌握，為代數思維的建立奠定必要的基礎。2代數思維指向學生理解代數核心概念的能力，包括五個核心領域：一般化算術，等價關系、表達式、等式和不等式，函數思維，變量，比例推理。[2-4]其中，等價關系是從算術思維向代數思維過渡的關鍵之一，是培養學生早期代數思維的關鍵載體。[5]

在數學中，等號作為表示相等關系的符號，是學生最早接觸的數學符號之一，也是學生發展代數思維能力的基礎。等號具有運算性意義和關系性意義兩種意義。在代數思維中尤為強調的是等號的關系性意義。關系性意義包含相等和等價關系，其中，相等的本質最終聚焦于等價關系，表示兩邊的數量一樣多（式子左右兩邊相等）。在關系性意義指向下，等號不僅僅是一個操作性符號，更是一個關系性符號，表示兩邊的量或表達式的等價性、同一性[。而在義務教育第一學段（一至二年級），大部分學生會將等號理解為操作性符號，即理解的是等號的運算性意義，通常將其視為一個操作定義，也就是“給出答案”或“總數”。例如，對于 8 + 4 = + 5 ，部分學生會在空白處填入12或17（ 8 + 4 = 1 2 或 8 + 4 + 5 = 1 7 ，對等號具有強烈的運算性理解，缺乏關系性理解［7]，這給后續學習代數造成了困難。究其原因，是當下早期代數教學過程中并未強調其代數本質，即關系性意義，進而導致學生對其產生錯誤理解。

學習進階被視為課程標準、課程以及教學與評價的有效依據，明晰核心概念的學習進階，能更好地闡明課程、教學以及學生學習之間的聯系。因而，研究等價關系的學習進階能促進學生對等價關系的理解，為提升代數思維奠定必要的基礎。

二、等價關系的學習進階

（一）等價關系學習進階研究框架

對于早期代數學習進階，Blanton研究團隊提出關鍵的研究框架[2][4][8]，主要包括五部分內容一一課程框架、課程進階、教學序列、評估以及學生思維進階水平，五部分內容層層遞進，相互關聯（如圖1）。

Blanton研究團隊將“一般化”作為早期代數思維的核心，并指出早期代數注重在小學階段對數學結構和關系進行概括、表征、論證和推理。同時，以等價關系為核心開展實驗設計研究。等價關系是早期代數的核心領域之一，其中，不可或缺的核心概念便是等號（“=”），用于表示兩個量或數學表達式的等價關系。在等號概念的代數學習中，需要將‘ ’理解為關系性符

號，而不是操作性符號。

不同學段的學生處于不同的認知發展水平階段，對于等號概念與等價關系的理解也存在差異，如三年級學生才開始發展對等號的關系理解?；诘忍柛拍钆c等價關系，結合學科核心素養及學情分析（知識基礎和心理認知特點等），可以設定具體的教學目標，如識別等號的不同含義，包括表示量之間的關系，解釋不同形式下的方程式，利用等號的關系解決缺失值問題等。在設定目標后，需要厘清教學重難點并設計可行且有創造性的教學任務序列（見表1），利用平衡模型（圖2為泛平衡模型①，圖3為數字平衡模型 ② ）開展早期代數的課堂教學。同時，設置并實施階段性的教學評估，考查處于不同階段的學生的思維進階水平，進而有效優化教學任務序列。

① 泛平衡模型：在視覺上判斷是否平衡，無具體數值。例如，給定兩個不透明的袋子，里面放著未知數量的等重量小塑料熊，學生需要利用泛平衡模型來判斷兩個袋中的小塑料熊數量是否相等，以“ a = a ”的形式來表示等量之間的關系。

② 數字平衡模型：在天平平衡的前提下，根據具體數值來表示等量關系。例如，左邊在刻度“5”上放一個物品，右邊則也在刻度“5”上放一個物品，天平平衡，對應的等式就是‘ ；右邊在刻度“1”和“4”，或者“2”和“3”分別放一個物品，天平平衡，對應的等式就是‘ 或“ 5 = 2 + 3 ”。（上述提到的物品皆等重量）

（二）等價關系學習進階水平劃分

1.教學評估與問卷設計

Blanton研究團隊利用橫向實施教學、第一次縱向實施教學（兩年測試）與第二次縱向實施教學（三年正式）實踐，開展等價關系實驗設計研究。其中，橫向實施教學是指基于文獻分析提煉初始等價關系教學序列，針對三至五年級學生設置對照組與實驗組，不同年級實驗組同時展開基于等價關系教學序列的課堂教學，對照組則進行常規教學，并進行教學評估。第一次縱向實施教學（兩年測試）是指選取橫向實施教學中的原三年級學生實驗組，進行第二年（現四年級）基于等價關系教學序列的課堂教學，在過程中根據課堂表現，對教學序列進行改進與完善。第二次縱向實施教學（三年正式）選定同一學校新一批三年級學生，連續三年進行基于完善后的等價關系教學序列的課堂教學，設置相應的對照組，并基于實驗研究數據展開定量分析，通過系列評估項目考查學生具體所處的等價關系進階水平。

在評估項目的設計上，Matthews研究團隊選擇了等號的定義、真假等式題（如 3 + 5 = 5 + 3 ，對還是錯？）、開放方程求解［如 8 + 4 = （ ） + 5 ，不限制做法]、高級關系推理題［如 8 + 4 = （ ） + 5 ，要求不可以通過先計算 8 + 4 = 1 2 ，再計算出 （ 7 ） + 5 ，需要通過觀察等號兩邊數字的關系得到結果］作為問卷題型，通過課堂教學對比實驗與項目評估進行等價關系學習進階水平劃分。[6][10]其中，評估項目涵蓋了典型等式以及非典型等式[（結合Falkner等[12]、McNeil等[13]、楊淞茗等[14]對非典型等式進行列舉，具體如表2所示）。Blanton研究團隊則選擇了缺失值項目、真假項目作為問卷題型，與Matthews研究團隊類似。

2.學習進階水平劃分

Matthews研究團隊通過課堂教學對比實驗與項目評估將等價關系學習進階劃分為四個進階水平（見表3），呈現了學生對等號的理解從運算性逐漸過渡到關系性。

Blanton研究團隊通過對比實踐研究結果，將三年級學生等價關系學習進階劃分為三個進階水平（見表4），其水平表述僅涉及非典型等式。

其中，由于學生在關系性理解中的理由表述具有更細的分類，因此Blanton研究團隊又將“計算”和“結構”的關系性理解進行了細分（見表5）。

此外，Molina研究團隊在教學實驗中研究了學生解決缺失值等式的思維方式，發現學生對等號的理解存在三個階段，即指示階段、動作階段和等價階段（見表6）。[15]

綜合已有研究結果，以Blanton研究團隊的水平劃分為基礎，吸收Matthews和Molina研究團隊的成果，筆者將學生等價關系學習進階具體劃分為七個進階水平（見表7、表8）。

三、等價關系的教學建議

（一）巧設教學序列，聚焦等價關系

首先，明確學生在等價關系上的困境一一將等號表示為計算的過程以及運算的開始，將其視為運算符號，賦予操作定義，缺乏關系性理解。其次，基于學生問題以及大概念、核心概念、年級期望目標與教學目標，厘清教學重難點，設計以等價關系為核心的教學序列，并開展早期代數的課堂教學。最后，通過橫向實施教學與縱向實施教學等方式對等價關系教學序列進行改進與完善，促進學生對等價關系的正確理解與掌握。

（二）巧用平衡模型，促進等價理解

借助可視化的教學工具促進第一學段學生對等價關系的理解，是建立起早期代數思維的重要方式?！捌降取迸c“平衡”相關聯，平衡則涵蓋了兩個層面一一泛平衡和數字平衡。因此，可以將平衡概念與等價關系聯系起來，利用泛平衡模型與數字平衡模型促進學生對數學等價關系的思考。

（三）巧構評估項目，衡量進階水平

為衡量等價關系的課堂教學效果，同時考查學生所處的進階水平，可以設計針對不同年級（一至三年級）學生的評估項目，基于等價關系學習進階水平劃分標準及評估項目的具體情況，考查學生對等價關系的理解程度與所處進階水平。

參考文獻：

[1]KAPUTJJ，CARRAHERDW，BLANTONML.Algebraintheearlygrades[M].Philadelphia：LawrenceErlbaum Assoc Inc，2007.

[2]FONGERNL，STEPHENSA，BLANTONM，etal. Developing a learning progression for curriculum，instruction， and student learning：an example from mathematics education [J].Cognition and instruction，2018（1）：30-55.

[3]BLANTONM，BRIZUELABM，GARDINERAM，etal.Alearningtrajectoryin6-year-olds’thinkingaboutgeneralizingfunctionalrelationships[J].Journalforresearchinmathematics education，2015（5）：511-558.

[4]BLANTONM，STEPHENSA，KNUTHE，etal.Thedevelopment ofchildren’salgebraicthinking：the impact ofacomprehensive early algebra interventionin third grade[J].Joural forresearchinmathematics education，2O15（1），39-87.

[5]KNUTHEJ，STEPHENS AC，MCNEILNM，et al.Does understanding the equal sign matter？ Evidence from solvingequations ［J].Journal for research inmathematics education，2006（4），297-312.

[6]MATTHEWSP，JOHNSON BR，MCELDOONK，et al.Measure for measure： what combining diverse measures revealsaboutchildren’sunderstanding of the equal signas an indicator ofmathematical equality［J].Journal forresearch inmathematicseducation，2012（3），220-254.

[7］孫興華，馬云鵬，陳娜娜.小學低年級學生等號概念的理解及教學探討[J].數學教育學報，2023（2）：37-43.

[8]BLANTON M，STROUD R，STEPHENSA，et al.Doesearlyalgebramatter？Theeffectivenessofanearlyalgebra interventionin grades3to5 [J].Americaneducationalresearchjournal，2019 （5）：1-43.

[9]孫思雨，許添舒，孔企平.基于潛在類別分析的小學生早期代數思維水平研究[J].數學教育學報，2022（1）：52-58.

[10]STEPHENSA，TORRESRV，SUNGY，etal.From “You have to have three numbers and a plus sign”to“It’s the exactsamething”：K-1 studentslearnto thinkrelationallyabout equations［J].Journal of mathematical behavior，2O21（6）： 1-11.

[11]MCNEILNM，GRANDAUL，KNUTHEJ，etal. Middle-school students’understanding of the equal sign： the books they read can’thelp ［J].Cognition and instruction，2006 （3）：367-385.

[12]FALKNERKP，LEVIL，CARPENTERTP.Children’sunderstanding of equality：a foundation for algebra [J]. Teaching children mathematics，1999 （4）：232-236.

[13]MCNEILNM，ALIBALIMW.Knowledgechange asafunctionofmathematicsexperience：allcontextsarenotcreatedequal[J].Journal ofcognition and development，2Oo5 （2）：285-306.

[14」楊淞茗，關欣.深化等號意義理解發展初步代數思維［J].吉林教育（綜合版），2023（4）：33-35.

[15]MOLINA M，AMBROSE R.From an operational to a relational conception of the equal sign. Third graders’developing algebraic thinking [J].Focus on learning problemsin mathematics，2008（1）：61-80.

（責任編輯：羅小熒）