考慮隨機漂移-擴散的非線性維納過程可靠性分析

中圖分類號：TB9;TH133.33

文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2025）06-0056-11

Nonlinear Wiener process degradation modeling considering random drift-diffusion

XIAO Meng1， SHEN Ao12， XU Zhibiaol， SHAN Susu1， XIN Mingjiang1 （1. School ofRail Transit， Wuyi University， Jiangmen 529020，China; 2. Tongcheng County Metrology Verification and Testing Institute， Xianning 437499， China）

Abstract： Individual difference in the process of degradation is one of the difficulties in degradation modeling and the main source of prediction uncertainty. The common random drift model considers the variability of degradation rate，butregards the diffusionparameter asa constant，and ignores the actual individual diferences in the degradation fluctuation，which is diffcult to adequately describe the heterogeneity in the degradation process，and thus affects the reliability evaluationofthe equipment.To solve this problem，a reliabilityanalysis method based on random drift-difusion Wiener process is proposed， which can consider the heterogeneity of degradation rate and degradation fluctuation at the same time，and can select the appropriate distribution according to the information in the actual degradation data，which improves the versatility and flexibility of modeling. Aiming at the increasing complexity of the proposed model， a Bayesian estimation algorithm based on Markov chain Monte Carlo（MCMC） method is proposed， which can estimate the model parameters at one time.The accuracy of the proposed algorithm is verified by data simulation experiments，and the efectiveness of the proposed model is verified by comparison experiments between turbofan engine data and laser data. Keywords：Wiener process;MCMC; reliability： heterogeneity

0 引言

在工業生產應用中，設備和系統的可靠性會隨著時間的推移而降低。一些正在服役的大型機械設備如果發生故障將會帶來嚴重的經濟損失甚至人員傷亡[1]。大量研究表明在設備發生故障前會表現出異常的信號特征，例如軸承的振動加速度增大[2-3]，以及鋰電池容量的減少[4-5]等。為了設備安全生產和預測性維護通常人為的設定失效閾值，一旦設備的性能指標超過了閾值則認為設備失效。同時為了預測故障時間并評估設備的可靠性，需要監測這些性能指標并進行建模。由于同一批產品的制造材料以及外部環境的不同，導致同一批產品中的不同個體的退化軌跡各不相同，而呈現明顯的個體差異。這種退化數據中蘊含的個體差異給退化建模帶來了困難，并會導致壽命預測中的不確定性[。常見的隨機漂移維納過程模型難以描述這種異質性，在眾多退化模型中維納過程有著直觀的物理解釋性和優良的數學性質，而廣泛應用于退化建模中[7]。一般的非線性維納過程退化模型為：

式中： X（t_k） ?t_k 時刻設備退化狀態；（204號 k —觀測次數；（204號 λ ——漂移參數，表征退化速率；（204號 μ（τ;θ） ——參數 θ 的時變非線性函數，用于描述設備退化狀態的非線性；B（t_k） ！ σ ———標準布朗運動、擴散參數，分別用來描述退化過程中的時變隨機波動及其波動程度。

不同函數形式 μ（τ;θ） 可以描述不同形式的退化過程。例如當 時退化為線性退化過程， 時可用來表示冪函數退化過程。在后續的研究當中采用冪函數的退化過程來表征非線性退化。

在維納退化模型中常見的假設，將λ服從正態分布，而將 σ 設定為常數以表征個體的異質性[。然而在實際退化的過程中， σ 也呈現明顯的個體差異，忽略 σ 中的異質性，將會影響建模性能[8]。例如，在加速退化壽命實驗中的不同水平下，實驗樣本的擴散參數也會發生變化，為了解釋這一實驗現象YE等[在常見的退化模型假設中進行了創新，將λ和 σ 視作確定的比例關系。在文獻[6]與文獻[9]中都假設λ服從正態分布，但利用正態分布對非均勻的λ存在著一定的缺點。第一個不足在于，通常在同一批設備當中，往往都是正值或者負值，但根據正態分布的性質，其在全值域都取值[10]。此外正態分布具有對稱性，當λ服從一個偏峰分布時，基于λ服從正態分布的假設將會影響預測的準確性[11]。WANG等[12]假設漂移參數服從廣義逆高斯分布（GeneralizedInverseGaussian，GIG）以及與 σ 為確定的比例關系，克服了服從正態分布假設的包含負值域和對稱分布的不足。雖然ZHAI等[13]通過單獨擬合激光退化數據集[14]中的各路徑，發現λ與σ 存在正相關，但是并非完全正相關。本文利用類似的方法對砷化鎵激光器數據集進行了相同實驗，估計的個體參數λ和 σ 散點圖如圖1所示。從圖1可以看出， λ 與 σ 并不是完全正相關，也無法通過合適的比例系數來描述λ與 σ 之間的相關性。因此， λ 與 σ 為比例關系的假設，可能會降低模型預測的準確性。

鑒于以上問題，本文提出一種考慮隨機漂移-擴散的非線性維納過程退化分析方法。與確定比例關系模型不同的是，本文 σ 的隨機性與 λ 不相關。從文獻[10當中可分析，對于不同的數據集退化速率與退化波動可能服從不同的分布。對此，本文通過最大似然來選擇兩個隨機參數的分布，這種考慮有助于提升建模通用性和靈活性。當然考慮 σ 的隨機性，增加了模型的復雜程度，針對所提模型的復雜度增加，提出一種基于MCMC方法的模型參數貝葉斯估計算法。通過數據仿真實驗驗證了所提算法的準確性，利用渦扇發動機、激光數據比較實驗，驗證了所提模型的有效性。

1模型描述

根據引言的描述，將式（1）中 λ 和 σ 當作隨機參數，以描述雙隨機參數所導致的退化異質性。假設λ～π（α_λ，β_λ），σ～π（α_σ，β_σ） ，其中 π（?） 為未知分布。令總體參數 ?={α_λ，β_λ，α_σ，β_σ，θ} ，假設有 N 條退化軌跡，則退化軌跡的個體退化參數 {λ_i，σ_i} 為來自總體分布p（λ，σ|?） 的獨立同分布，即可定義為：

{λ_i，σ_i}～_i.i.d.p（λ，σ|?），i=1，2，…，N

基于上述的描述，令本文模型為 M0 。為了體現所提模型的優越性，設定三組對比模型，來比較模型的擬合性能以及預測性能。將文獻[12]所提的與 σ 成比例的模型定義為M1，即 λ=κσ 。將λ設定為隨機參數， σ 為固定參數，設定為M2。將文獻[6]所提模型定義為M3，即 λ 服從正態分布以及 σ 為固定參數。

給定由式（1定義的退化過程，基于首達時間（firsthittingtime，FHT）[15]的概念，設備的壽命 T 可表示為：

T=inf{t_kgt;0，X（t_k）?w}

其中 w 為失效閾值，基于式（1）在給定 λ 和 σ 的情況下，壽命T的邊緣概率密度可以表示為：

其中 ，由于本文考慮了 λ 與 σ 的隨機性，故對 λ 和 σ 求雙重積分，壽命 T 的邊緣概率密度可定義為：

因式 （5）中涉及多維積分運算，一般情況下很難得到解析解。采用蒙特卡羅積分的方法近似求解，從先驗分布 p（λ，σ|?） 中抽取 K 組樣本 （λ^（1），σ^（1）），… （λ^（m），σ^（m）） ，則式（5）可近似為：

根據式（6）壽命 T 的累計概率密度可近似為：

2 貝葉斯參數估計

概率模型參數的估計問題可通過極大似然方法或貝葉斯方法來實現，具體選擇涉及模型復雜度，樣本情況以及基于估計參數的后續統計推理等因素。相比于極大似然方法，貝葉斯方法能直接提供參數的后驗分布，有利于分析參數估計的不確定性和后續在線觀測數據融合[16]。

為方便表述，全部的退化狀態為 x_i=[x_i，1，x_i，2，… x_i，niJ^T ，由式（1）中給出的條件高斯性質，在給定模型參數 {λ_i，σ_i，θ} 條件下，退化狀態增量 Δx_i，k= x_i，k-x_i，k-1 服從正態分布：

其中 Δt_i，k=t_i，k-t_i，k-1 表示相鄰觀測之間的間隔時間，k=1，2，…，n_i 。根據Wiener過程的獨立增量性質和退化觀測的條件獨立假設，對于第i個設備的退化數據，其完全似然函數表達式為：

因 N 個設備的退化觀測數據 {x₁，x₂，…，x_N} 是獨立樣本，則模型全部未知參數 P={λ_i，σ_i，?} 的后驗分布為：

式（10）表示的聯合后驗分布較為復雜，難以通過積分方法得到參數 ? 的邊緣后驗分布。在后續的研究當中借助MCMC方法來隨機模擬其邊緣后驗分布。

先驗分布設置是貝葉斯分析的重要步驟，根據上一節的模型描述對于個體參數 λ_i 和 σ_i 都服從未知分布，對此先要確定其服從的分布。本文給出了4種不含非負值域以及偏峰的備選分布，分別為伽瑪、對數正態、韋布爾和指數分布，根據最大似然對備選分布的組合進行選擇。進一步指定參數 ? 的先驗分布為：

其中C為半柯西分布，其概率密度函數為：

式中： m 分布峰值位置的位置參數;

b ——最大值一半處的一半寬度的尺度參數。

在貝葉斯當中參數集{n，ξ，max，baχ，mβ，bβ，maσ，b_ασ，m_βσ，b_βσ} 可視為 ? 的先驗分布中的超參數。超參數通常是基于先驗知識或是以弱信息先驗形式予以設置。由式（1）、（2）和（11）構成分層貝葉斯退化過程模型可概括為圖2。陰影節點表示可觀測變量，虛線圈節點代表超參數，其他節點為未知參數或變量，有向邊代表節點間的統計相依關系，圓角矩形框表示對參數或變量的獨立觀測數目。

MCMC方法通過構造一條以聯合后驗分布p（?|x₁，x₂，…，x_N） 為平穩分布的遍歷馬爾科夫鏈?_j，j=1，2，… ，并從中模擬出后驗分布的隨機樣本。由于MCMC方法對后驗分布期望的近似具有相合性和漸近性正態等優良性質，使其成為對后驗分布總體的合理近似[17]。

在MCMC方法當中Gibbs采樣[18]和MetropolisHasting算法[19]最為常用，但兩種算法都存在著局限性。從圖2可見，本文的模型參數具有較強的耦合性，然而Gibbs采樣將會割裂這種性質，進而影響參數估計的準確性。此外Metropolis-Hasting算法的抽樣效率將會影響模型參數估計的運行時間。對此本文采用HMC（HamiltonianMonteCarlo，HMC）算法框架來進行后驗分布的隨機抽樣。HMC是基于漢密爾頓抽樣的MCMC方法，其原理模擬動力學當中的跳點法 （leap frogmethod）更新位置參數[20]。基于HMC算法計算模型參數的迭代運算步驟如下。

第一步：根據聯合后驗分布在漢密爾頓動力系統下的勢能，即

第二步：設置蛙跳算法迭代過程的次數L（l=1，2，…，L） 以及步長 δ ，確定馬爾科夫鏈的長度為 A 以及預熱長度S，確定參數的初始值 ?⁰= {λ_i⁰，σ_i⁰，α_λ⁰，β_λ⁰，α_α⁰，β_α⁰，θ⁰}_c

第三步：從標準正態分布 ΔN（0，1） 生成隨機數確定動量變量 P⁰

第四步：根據第二步的初始值以及步長為 δ 進行蛙跳算法迭代 L 次，更新得到狀態 ?^* 和 P^* ○

第五步：計算接受概率：

其中， K（P） 為動能對應函數， K（P）=P²/2 0

第六步：從均勻分布 U（0，1） 產生隨機數 ζ ，若ζlt;φ ，接受備選狀態作為下次循環的初始值，否則舍棄，重復第三步到第六步，直至 A 次。即可得到一系列參數值 ?_j 組成的馬爾科夫鏈。

第七步：舍棄預熱期的抽樣，運用蒙特卡羅方法計算參數的后驗估計。

HMC算法的流程圖如圖3所示，在本文后續的研究當中使用Rstan軟件包來實現HMC算法[21-22]。

基于此，本文的方法結構圖如圖4所示。

3實驗研究

為驗證本文隨機退化建模方法的合理性，本節先通過一組仿真退化數據來評價參數估計算法的準確性。再利用渦扇發動機退化數據和激光器退化數據來對比分析本文模型M0以及參照模型M1、M2和M3的數據擬合與預測性能。

3.1 人工仿真實驗

通過一組仿真數據來進行研究，首先通過人工指定模型參數，并隨機生成不同規模的退化狀態序列。然后，使用HMC算法對參數進行估計。通過將參數估計與真實值進行比較，來評估算法性能[23]。

過30，因此可設定的超參數為：

假設 λ～G（α_λ，β_λ） 和 σ～G（α_σ，β_σ） 。式中G（·）為伽瑪分布， α_σ 為形狀參數， β_σ 為尺度參數。指定模型參數 ? 為：

α_λ=5，β_λ=2，α_σ=1，β_σ=0.2，θ=3

隨機生成具有相同觀測次數和相同觀測時間間隔的三組不同規模 N=20，30，50 的退化狀態及其觀測數據，其中觀測次數均為 n_i=100 ，觀測時間步長為 Δt_i，k=0.01s 。 N=50 組的仿真退化數據觀測序列軌跡如圖5所示。通過觀察退化軌跡，最大值不超

在此次實驗當中的迭代次數為10000，其中5000步迭代為馬爾科夫鏈的預熱，實際的后驗估計為后5000步。模型參數 ? 的后驗抽樣診斷情況如圖6所示。圖6給出了 ? 在10000次迭代抽樣的樣本軌跡，均值遍歷和自相關圖。

由圖6可見，在前5000次預熱抽樣后，模型參數 ? 的抽樣自相關函數（autocorrelationfunction，ACF逐漸接近于0，并且遍歷均值以及抽樣軌跡都處于平穩狀態。由此可以判斷馬爾科夫鏈收斂，重復此實驗500次，然后取每次實驗當中的后5000次抽樣。實驗的統計結果如表1所示。

從表1的估計結果來看，不同樣本規模下參數估計的 95% 置信區間（confidence interval，CI） 內都包含了真實值，因此驗證了模型參數估計算法的準確性。隨著樣本數量的增加，參數估計效果得到了總體提升。本小節的仿真實驗代碼和數據可從網頁（github.com/superAaaaaaa/simulation-code）下載。

3.2 渦扇發動機數據實驗

此小節應用了NASA提供的渦扇發動機退化數據集[24]。該數據集是使用美國宇航局陸軍研究實驗室開發的商業模塊化航空推進系統進行的，從系統輸出中選擇21個特征來表征發動機的退化過程。該數據集描述了工程場景中渦扇發動機在不同工況和故障模式的退化特征，并被廣泛應用[25-27]。

為了反映發動機的退化過程，采用多傳感器數據融合方式來構建健康系數（healthindicator，HI）。使用FD002訓練集作為此次實驗的樣本，此訓練集共有260臺渦扇發動機的信號特征，從中選取200臺作為神經網絡的訓練，然后將剩下的60臺作為神經網絡的測試數據集，其中測試數據集為下文當中研究的對象。首先通過式（18）構建目標 值，然后將200臺訓練集的特征作為輸入，目標HI值為輸出，訓練神經網絡的參數[25]。有關神經網絡特征提取的結構見圖7，參數以及超參數見表2。

AIC=-2log-LF+2l

BIC的表達式為：

BIC=-2log-LF+llnn

t_k?T_i5%

其中log-LF（log-likelihood）為對數似然，由Rstan軟件包輸出的lp獲得； n 為數據量，l為模型參數的數目。AIC和BIC準則通過參數數目懲罰項來防止建模的過參數化，以平衡模型復雜度與擬合性能，其取值越小代表模型性能越優。

與人工仿真實驗不同的是，在實際數據實驗當中縮小了 b 的取值，這樣有利于抽樣的效率。對于MO的超參數設置如下：

其中 T_i 為第i個發動機的全壽命周期，由于神經網絡輸出的 曲線存在著較大的波動，這將影響到剩余壽命預測的精度，因此通常采用移動平均法來解決這個問題。其平滑方式如式（18）所示。

其中 s 為滑動窗口的長度，在此次實驗當中 s=15 。為了讓所構建的 HI_kⁱ 更具有真實性，將平滑后的 HI_kⁱ 進行歸一化處理，即 t_k=0 時 HI_kⁱ 為 0 。不失一般性，將200臺渦扇發動機當中末端 HI_kⁱ 最小值的前（s+1）/2 項作為失效閾值，即 w=0.627 。圖8為所構建的 HI_kⁱ 訓練集以及測試集。

為比較四種模型對渦扇發動機退化數據的擬合性能，采用赤池信息準則（Akaikeinformationcriterion，AIC）和貝葉斯信息準則（Bayesianinformationcriterion，BIC）作為性能測度，AIC的表達式為：

在M1當中， κ 的先驗分布為 κ～C（m_κ，b_κ） ，超參數設置如下

在M2當中， σ 的先驗分布為 σ～C（m_σ，b_σ） ，超參數設置如下

在M3當中， λ 的先驗分布為 λ～N（α_λ，β_λ²） 。在貝葉斯分析中，常將Normal-Gamma分布作為正態分布的均值和精度參數的共軛先驗，及將伽瑪分布作為正態分布的精度參數的共軛先驗[28]。故M3超先驗分布以及先驗分布設置為 ，超參數設置如下：

η=0，ξ=1，m_αλ=0，b_αλ=1，

m_βλ=m_σ=2，b_βλ=b_σ=0.1

采用所構建的渦扇發動機 HI_kⁱ 為實際退化數據，分別用模型M1、M2、M3和本文模型M0進行退化過程建模。首先根據備選分布進行模型先驗分布的選擇，估計的結果如表3所示。

從表3估計的結果，對數正態分布的似然最大，對此將λ與 σ 的先驗分布設置為對數正態。根據選擇的結果對模型參數進行估計，四種模型的結果如表4所示。

由表4可見，比較對數似然、赤池信息準則和貝葉斯信息準則，模型M0對該實際退化數據的擬合性能優于模型M1、M2和M3。同時比較表4中M1和M0的 {α_λ，β_λ，θ} 參數估計差異可見，是否考慮退化波動的隨機性會對所建模型產生較大的影響。這種影響會進而導致式（6和式（7）對失效預測的性能差異。

依據式（6和式（7）以及表4中估計的結果可得出4個模型的概率密度曲線，以及累計概率密度曲線，如圖9和圖10所示。值得注意的是，在圖10中的經驗累計概率密度為60組實驗樣本首次達到閾值的循環次數。由圖9可見對于不同的模型假設，其概率密度曲線還是有差異的，差異較小的M0和M2的原因可能在于，構建的渦扇發動機 HI_kⁱ 的擴散系數差異不大。導致概率密度曲線和累計概率密度曲線并沒有太大的差異，但從表4的擬合程度上來分析，其擬合程度要優于M2。

由圖10對比M0和M1可見，M0基本完全處于 95% 的執行區間當中，相對于M1在經驗失效時間的分布擬合得更優。同理對比M0和M3其擬合精度也優于M3。從表4、圖9和圖10當中對比M2和M3。M2的擬合效果和預測效果要優于M3，因此也能夠證明文獻[12]當中所提出的模型假設是成立的，同時為了突顯考慮負值域與不考慮負值域的差異，由圖9和圖10分別給出了M3的兩種情況。從結果上看，不考慮負值域的M3對于退化數據的預測效果更好。

3.3 激光數據實驗

為了驗證所提模型的普適性，此小節應用了一組激光器的退化數據。激光器的工作電流隨運行時間增大而逐漸變大，反映了激光器的性能退化程度。該實際退化數據包括15個激光器的工作電流隨運行時間變化的百分率數據，其中觀測時間間隔為250h ，觀測時長為 4000h 。全部激光器的退化觀測軌跡如圖11所示。該退化數據集來自穩定工況下激光器的老化試驗，并廣泛應用于設備可靠性和剩余壽命預測研究領域[8-9，1-13，23]。文獻[14]假設激光器的失效閾值為10，（即工作電流增加 10% 時失效）。此實驗亦選用同樣的失效閾值，即 w=10 。

延用3.2節的先驗分布選擇，即 λ 與 σ 的先驗分布為對數正態。分別用4種模型進行激光器的退化過程建模。4種模型的估計結果如表5所示。從表5的估計結果看，所提模型具有更好的擬合性能。

根據參數估計結果，代入到式（6）和（7）中。4種模型的概率密度曲線還有累計概率密度曲線如圖12和13所示。

由圖12可見， λ 選擇正態分布其模型的概率密度曲線與 λ 選擇對數正態分布的概率密度曲線有著明顯的差異，并且從表5上可知模型M3并沒有M2擬合性能優。因此驗證了對于不同的數據集λ可能服從不同的分布。

圖13中所有模型的累計概率密度曲線都位于 95% 置信邊界之內，因此驗證了算法估計的有效性。

4結束語

由于實際退化過程的復雜性和隨機性，來自同類型設備中不同個體的退化過程呈現顯著的異質性。其中λ和 σ 的變異是導致這種個體差異的原因之一。雖然已有研究驗證了與 σ 成比例關系能夠描述這種異質性，但本文通過估計激光數據集的個體參數發現，比例關系模型并不能充分的描述個體之間的差異。對此，本文提出了一種考慮隨機漂移-擴散的非線性維納過程可靠性分析方法。仿真數據、渦扇發動機退化數據和激光退化數據實驗結果驗證了該方法的可行性和有效性。主要結論如下：

1）所提模型同時考慮了λ和 σ 的變異情形，能夠進一步表達和量化多元異質性的影響。相比于只考慮λ異質因素的模型，它更加通用。

2）基于分層先驗結構，通過HMC算法實現了模型的參數估計。該算法能有效地實現具有多個隨機參數的復雜模型的統計推理。仿真數據實驗證明了該算法的有效性。

3）渦扇發動機以及激光器數據實驗表明，相對于確定比例系數模型以及單隨機模型，所提模型具有更好的擬合性能和預測精度。

4）對于不同的數據集，λ和 σ 可能服從不同的分布，依據最大似然來選擇合適的分布.使得相對于一般的退化模型，它更加具有靈活性。

觀測誤差是影響模型的擬合性能以及預測精度的一種重要因素，在后續的研究當中引入觀測誤差，將會更進一步提升模型的性能。通過實驗模擬或工程現場收集更多的退化數據，提升所提模型的工程適用性也是本文后續研究方向。

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（編輯：譚玉龍）