素養(yǎng)導向下的小學數(shù)學“尺規(guī)作圖教學策略研究

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”在“圖形與幾何\"領域明確指出，從第二學段開始，將“尺規(guī)作圖\"內容引進課程學習范疇。何謂“尺規(guī)作圖”？從字面意思可以理解為運用“直尺\"和\"圓規(guī)\"所展開的作圖行為。事實上，這樣的解釋還遠遠不夠，“尺規(guī)作圖”應指向于一種只使用無刻度的直尺和圓規(guī)，而且強調并非可以無數(shù)次地使用，而是有一定次數(shù)、只使用無刻度的直尺和圓規(guī)來解決各項平面幾何問題的直觀作圖方法。一直以來，小學階段的學生已經習慣于用測量的方法畫圖，“尺規(guī)作圖”的出現(xiàn)顯然是一種挑戰(zhàn)。下面，筆者嘗試以莆田市所開展的“尺規(guī)作圖”專題研討活動為例，從“真實情境驅動”“動手嘗試實踐”“多維角度表征”“給予思辨時空\"四個方面探索如何借助“尺規(guī)作圖”助推學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、真實情境驅動，實現(xiàn)方法與經驗互化

新課標指出：“嘗試在真實的情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，探索運用基本的數(shù)量關系，以及幾何直觀、邏輯推理和其他學科的知識、方法分析與解決問題，形成模型意識和初步的應用意識、創(chuàng)新意識”。隨著新課標使用的縱深推進，讓學生在真實生活情境中學習已成為小學數(shù)學教學中經常使用的教學方法。尤其是在“尺規(guī)作圖\"教學內容的學習上，若不嵌入一定的真實情境，容易讓學生產生枯燥乏味之感。設計真實情境，一方面能讓抽象的“尺規(guī)作圖”方法具象化，促使學生主動調用已有的生活和數(shù)學經驗，使他們在理解“尺規(guī)作圖\"方法時更深入，不再是機械的記憶步驟，而是和實際用途聯(lián)系起來，在經驗與方法的不斷互化中獲得新知。另一方面，真實情境驅動下的方法與經驗互化可以培養(yǎng)學生的幾何直觀思維和邏輯思維。

例如，在教學“用尺規(guī)作等長線段”一課時，教師在課堂上先創(chuàng)設了“鉛球投擲\"這樣一個真實的場景（如圖1），運用課件介紹了鉛球投擲比賽場地是由投擲圈、限制線、抵趾板（實質上這三者確定了圓心）和扇形輻射狀落地區(qū)域組成的，以投擲圈內緣至鉛球著地痕跡緣的距離為成績，越遠則成績越好。緊接著，教師出示學校“鉛球隊\"的標準投擲成績是“AB”（如圖2），洋洋、洲洲、平平這三人投擲成績分別是“0C”“0D”“0E”，那么這三人能進人校隊嗎？在這樣真實情境的驅動下，學生自主調用已有的經驗進行探索。有的學生利用有刻度的直尺進行精準測量；有的學生利用無刻度的直尺比畫；有的學生利用圓規(guī)分別將\"0C”\"0D\"\"OE\"與“AB\"進行三次對比；還有的學生直接以“0”為圓心，以“AB\"為半徑，直接一次在扇形輻射落地區(qū)上畫弧線，一次性得出結論。學生在交流中發(fā)現(xiàn)：運用直尺比長短太麻煩，而運用圓規(guī)作等長線段比長短簡便且更為直觀；尤其是最后一組學生將“AB”線段一次搬到落地區(qū)作等長線段的方法最佳。學生在真實情境驅動下，不斷經歷經驗與方法的互化，積累數(shù)學活動經驗，初步感受到運用圓規(guī)所畫出弧線上的每一點到圓規(guī)針尖的距離都相等，深人理解“用尺規(guī)作等長線段”的數(shù)學本質，也掌握其作圖方法與技能。

二、動手嘗試實踐，助推操作與思維互融

《義務教育課程方案（2022年版）》明確提出要強化學科實踐，在各個學科的學習進程中，要注重讓學生親身參與活動全過程，從而促使學生能主動地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。傳統(tǒng)的數(shù)學作圖教學，教師往往會先介紹一種標準的作圖方法，然后讓學生“照葫蘆畫飄”。顯然，這樣“照搬式\"的作圖教學是不利于助推學生思維發(fā)展的。而“尺規(guī)作圖”是一種比較抽象的技能，其每一步都有其邏輯依據(jù)，像用圓規(guī)畫圓、用直尺畫線段等操作，學生只有親自動手才能真正明白工具的使用方法和作圖要求。其中，教師要謹防“活動了身體，而休息了大腦”的動手實踐，需要讓學生在“動中思”“思中動”，助推操作與思維互融，引導學生在動手實踐時，邊操作、邊思考為什么要這樣作圖，以及這一步與前一步有什么聯(lián)系。“尺規(guī)作圖”為學生提供了嘗試不同作圖方法的機會，讓學生盡可能多地發(fā)現(xiàn)一些不同的、新的作圖思路，有效激發(fā)了學生的創(chuàng)新思維，讓他們不再局限于傳統(tǒng)的思維模式，而是敢于探索和創(chuàng)新。

例如，一位教師在執(zhí)教“用尺規(guī)作等長線段”一課時，在\"運用\"環(huán)節(jié)中設計了這樣一道情境題（如下頁圖3）：周末，小莆和小田相約去南湖公園玩，小莆從活動廣場直接走到南山廣化寺，小田從活動廣場繞到音樂噴泉，再到南山廣化寺。教師還未出示問題，全班學生就一致認為小莆所走的路比小田更近。于是，教師巧妙引導：“數(shù)學是嚴謹?shù)模垡娢幢卣鎸崳覀兊糜欣碛袚?jù)。下面，請同學們拿出課前學習單，運用無刻度直尺和圓規(guī)一起畫一畫，并在小組內交流你的想法”。于是，學生開始動手操作。在匯報交流環(huán)節(jié)，學生出現(xiàn)了不同的畫法（如圖4），且都能進行有序地表達。顯然，從學生的作品與表達中，可以很明顯地感受到他們在動手操作過程中，能夠一邊操作一邊啟動空間想象力將三角形的其他兩條斜邊都搬到底邊上來，利用之前的學習經驗“重疊法\"進行比較。在表達想法時，便能很好地進行有理有據(jù)的推理，其中一名學生說道：“我發(fā)現(xiàn)圓規(guī)不但是一種畫圖的工具，也是一種測量長短的工具。\"學生的這種歸納性語言，使得其數(shù)學思維品質實現(xiàn)看得見的進階。

三、多維角度表征，做到直觀與抽象互譯

數(shù)學是一門較為抽象的學科，學生學習數(shù)學需要經歷從感性認識到理性認識的過程。一直以來，筆者致力于打通數(shù)學知識抽象與學生思維直觀之間的壁壘，“尺規(guī)作圖”運用得好，則能在一定程度上讓學生對于抽象數(shù)學知識可視、可感、可知，把復雜、枯燥、抽象的數(shù)學問題變得直觀形象。在教學時，教師可以借助圖形表征、語言表征、符號表征等多維表征，將抽象的數(shù)學知識直觀化，讓看不見的思維可視化，實現(xiàn)直觀與抽象互譯，不但助推學生正確建構對數(shù)學概念本質的理解，而且有效地提升學生的數(shù)學思維。

例如，一位教師在上“用尺規(guī)再探等腰三角形”一課時，目標是突破學生一直以來對“等腰三角形\"這一概念只停留于底邊（水平位置）、兩腰是左右分立的認知定勢。教師先是布置學生課前自主完成預習單任務“以線段AB為一條邊，共可畫出個等腰三角形，請運用無刻度直尺和圓規(guī)畫出來”。然后，教師通過驅動式任務讓學生運用圖形表征等腰三角形，在具身操作作圖中感受等腰三角形的多種不同形象，從而對“等腰三角形”概念有更深刻的建構，剔除了所有非本質屬性（倒的、歪的、斜的），而掌握了最為本質的屬性，即“三角形中，只要有兩條邊相等，就是等腰三角形”。課上，教師又讓學生進行語言表征，分別說說“怎么畫”“為什么這么畫”“還可以怎樣畫”等。當有學生說可以畫出10個等腰三角形時，其他學生馬上表示反對，并上臺在該學生畫的基礎上繼續(xù)往下畫，從而讓其智慧在碰撞中再次對“等腰三角形\"有更深刻的建構。有的學生先是以線段AB為底邊，然后運用圓規(guī)分別畫出三角形的兩條相等腰，可以畫無數(shù)個三角形；有的學生則是以線段AB為腰，運用圓規(guī)以A為圓心畫弧，發(fā)現(xiàn)弧線上的任意確定一點，再連接該點與B，就是一個等腰三角形，所以可以畫無數(shù)個等腰三角形；有的學生自然地想到可以運用符號表征等腰三角形，即“ ΔABC ”。這樣的教學，先是通過圖形表征，讓抽象的幾何概念直觀化，再借助語言表征，將直觀圖形提煉到抽象幾何概念，最后以符號表征，將直觀圖形內化為數(shù)學語言，實現(xiàn)了抽象與直觀的來回轉化、互譯，不但讓學生真正理解幾何概念，也發(fā)展了幾何直觀這一數(shù)學核心素養(yǎng)。

四、給予思辨時空，達到猜想與推理互促

新課標在“課程實施”中明確指出：“教材應為學生提供豐富的問題情境、充分的思考空間，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等數(shù)學活動過程，幫助學生感悟基本思想，積累基本活動經驗。\"其中，猜想、推理是學生學習數(shù)學重要的思維方式，猜想是推理的前提，推理是驗證猜想的重要手段。由此，在“尺規(guī)作圖\"教學中，教師可以運用問題驅動學生展開猜想，并促使學生在操作中通過推理方式，在不斷地思辨中驗證猜想的正確性，并不斷產生新的猜想，展開新的推理，達到猜想與推理不斷地互化、互促，助推學生的幾何直觀和推理意識的發(fā)展。

例如，一位教師在教學“‘尺規(guī)作圖'再探三角形三邊關系”一課時，先是讓學生運用尺規(guī)自主選擇所指定長度的線段畫三角形，促使學生在畫三角形的過程中初步感受到并不是任意三條線段都能成功地畫出三角形。然后，教師運用問題驅動：“大家運用尺規(guī)畫三角形時會碰到什么問題呢？”有的學生說出“有的三組線段可以畫出三角形，而有的三組線段不能畫出三角形”；有的學生猜想：“怎樣的三條線段可以畫出三角形呢？\"在學生急于求證的欲望下，教師及時給予驗證路徑，出示探索任務（如圖5）。

下面哪組線段可以圍成一個三角形？為什么？

當學生動手操作之后，便開始辯論起來，有的學生認為第一組的線段可以圍成三角形，邊說邊進行了有理有據(jù)的操作。有的學生說道：“第一組線段不用那么麻煩去畫，只要看線段的長度就可以直接判斷出是可以圍成三角形的”。有的學生說：“最短的兩條邊加起來的和大于第三條邊，所以能直接判斷出是可以圍成三角形的。不像第二組線段，大家看 a+a 小于 ，所以根本不能圍成三角形的”。有的學生馬上恍然大悟說道：“像第三組是 a+b 等于 ，所以也是不能圍成三角形”。有的學生緊接道：“所以，可以得出，只有當 a+b 大于 ∣c∣ ，也就是其中兩條邊的和大于第三條邊時，才可以圍成三角形”。教師適時板書學生通過相互思辨得出的結論，并借助信息技術展示其“尺規(guī)作圖\"過程（如圖6），促使學生經歷了猜想得以推理驗證的全過程。這時，又有學生提出新的猜想：“這個結論不太對，如果兩條邊之和大于第三條邊就可以，那么第二組的線段 a+c 大于a ，但依然不能圍成三角形”。另一名學生應和道：“第三組中如果用 c+a ，也是大于b ，但也是不能圍成三角形的”。于是，“到底什么情況下，兩邊的和大于第三條邊，確定能圍成三角形”的新猜想又驅動學生進入新的思索之中。在小組的充分觀察與思辨之后，學生終于得出了“當任意兩條邊的和大于第三條最長邊時，這樣的三條線段就能圍成三角形”的結論。在探索數(shù)學結論的進程中，學生在猜想與推理間不斷地切換與印證，高品質地發(fā)展了幾何直觀與數(shù)學推理意識。

總之，新課標增加“尺規(guī)作圖”的內容，既符合數(shù)學的本質要求，又順應了學生的思維發(fā)展規(guī)律。它不僅能夠讓學生感受數(shù)學的嚴謹性，還能促使學生在切實體驗中發(fā)展幾何直觀和思維能力。在小學數(shù)學教學中，教師應致力于探索\"尺規(guī)作圖\"教學新路徑，從真實情境驅動、動手嘗試實踐、多維角度表征、給予思辨時空四個方面出發(fā)，致力于實現(xiàn)方法與經驗互化、助推操作與思維互融、做到直觀與抽象互譯、達到猜想與推理互促，從而有效地助推學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]劉加霞，潘麗云.尺規(guī)作圖的歷史溯源、育人價值及教學建議[J.小學教學（數(shù)學版），2022（7/8）.

（責任編輯：楊強）