羅茨轉子共軛輪廓構造的創新途徑與方法

關鍵詞：羅茨轉子；共軛輪廓構造；嚙合距和嚙合角；多項式函數；創新途徑與方法 中圖分類號：TH325；TH137.3；TH166 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.006

0 引言

由兩個完全相同的凸轉子構成的非接觸轉子副，被稱為（羅茨）轉子和（羅茨）轉子副，是轉子泵中的重要旋轉部件，應用非常廣泛。羅茨轉子輪廓構造，尤其是共軛輪廓段的構造質量，對產品的流量與脈動2-3]、壓縮與排送[4、效率與可靠性、平衡與穩定性以及降噪減振等具有重要影響。其中，轉子副（非接觸式容積副）由軸向串聯的同步齒輪副（接觸式動力副）來驅動，與驅動齒輪分為工作面和非工作面、重合度大于 、傳動角不能過小和易加工[1]等需要不同，轉子面均為工作面，重合度等于1，且轉子輪廓的選用相對自由，從而為其設計構造提供了更大的創新空間[1]。目前，國內外在轉子輪廓構造的設計理論[12]、參數優化[13和流域模擬[4等方面開展了大量的研究工作，涉及的共軛曲線類型幾乎涵蓋了各類曲線，例如漸開線[15]、圓弧[1、擺線]、直線[18、二次曲線[19，甚至三角函數曲線[20]。但這些研究成果大多聚焦于現有已知曲線類型下的輪廓構造機制及其性能分析。在通過創新共軛輪廓曲線，以滿足產品運行的特定性能需求方面，除了對已知曲線進行各種組合應用外，關于非組合類創新曲線的報道極為少見。基于羅茨轉子的外共軛原理，李玉龍等2基于轉子副上由節點到嚙合點的共軛矢徑（其長度、方位角分別為嚙合距、嚙合角），構建出羅茨轉子共軛輪廓的普適方程。本文進一步通過嚙合距和嚙合角，探索出一套既適用于已知、更適用于現行未知共軛輪廓曲線的創新途徑與方法，從而為共軛輪廓的拓展研究提供參考和方向。

1轉子共軛輪廓的量綱一構造方程

將轉子副某一嚙合位置下的節點和嚙合點轉化到主、從轉子的動平面上，則節點的軌跡分別為主、從轉子上的兩個節圓，共軛矢徑末端即嚙合點的軌跡分別為主轉子節圓外（內）、從轉子節圓內（外）的共軛輪廓曲線。以節圓外共軛輪廓為圓弧的3葉轉子為例，其節點、嚙合點、嚙合距、嚙合角間的構造關系如圖1所示。

其中， o 為轉子中心； 、 分別為節圓外、內共軛輪廓； a ， p 、 分別為其上的中點、頂點、基點； 、 的中心角均為 φ = 0 . 5 π / N ，且 ， N 為轉子葉數，且 N?2 ; R 為節圓半徑； 分別為 、 上的嚙合點，對應的節點分別為 、 ρ 為嚙合距。

若主轉子嚙合點 或 與從轉子合點 或 能共軛外嚙合，則 和 必須均等于節圓轉角 θ ，嚙合距 、 均等于 ρ ，嚙合角均等于 。

在圖1所示的XOY坐標系中，由節點 的坐標（ ， R cos θ ）、 （ - R sin θ ， R cos θ ） ，或量綱一坐標（ sin θ ， cos θ ）、 ，得輪廓點 的量綱一坐標 ，則外共軛輪廓 、內共軛輪廓 的量綱一普適方程分別為

2共軛輪廓曲線構造的創新途徑

共軛輪廓的構造質量直接影響產品的性能發揮，所以，構造時需綜合考慮共軛輪廓對旋轉力的產生、能量轉換、流體動力學、強度剛度以及平衡穩定性等的影響，以確保轉子能夠滿足產品性能的特定要求。從共軛輪廓構造與產品特定性能的因果關系上看，共軛輪廓構造為“因”，產品特定性能為“果”。

而從嚙合距和嚙合角與共軛輪廓構造的關系上看，由式（1）＼～式（2）可知，量綱一嚙合距 ρ （ θ ） / R 和嚙合角 α （ θ ） 函數表達式的確定，是共軛輪廓普適方程求解的關鍵，即 ρ （ θ ） / R 和 α （ θ ） 表達式的不同定義是生成共軛輪廓曲線不同“形狀”和“量綱一大小”的根本原因。此時， ρ （ θ ） / R 和 α （ θ ） 的函數表達式為“因”，共軛輪廓的“形狀”和“量綱一大小”為“果”。其中，“量綱一大小”常用轉子的形狀系數 ε 來描述， ε = 1 + ρ （ φ ） / R可以認為，嚙合距和嚙合角、共軛輪廓、特定性能之間存在著由共軛矢徑的嚙合距和嚙合角一“因”，到同一轉子上節圓內、外的共軛輪廓一“載體”，到轉子泵的特定性能一“果”的內在邏輯關系。由此提出了通過嚙合距和嚙合角函數表達式定義的創新，以共軛輪廓為載體實現產品特定性能的創新途徑。

3嚙合距和嚙合角的內在耦合關系

圖2所示為節圓內、外共軛輪廓間的微變化關系。圖2中， 為 、 上的另一輪廓點，對應的節點分別為 ，則 和 必須均等于θ+dθ （dθ為 θ 的微轉角）；嚙合距 、 均等于ρ+dρ （dp為 ρ 的微變化量）；嚙合角均等于 α + dα （ dα 為 α 的微變化量）； 、 分別為 在 、 上的垂足[23]

由此，在 或 構成的微直角三角形中，均存在

式（3）說明，區間[0， φ ] 內 ρ （ θ ） / R 對 θ 的 階導數均等于 α 的余弦函數。

由此可見， ρ （ θ ） / R 和 α （ θ ） 間并不彼此獨立，決定共軛輪廓不同“形狀”和“量綱一大小”的只有ρ （ θ ） / R 或 α （ θ ） ，目前常以給出 ρ （ θ ） / R 函數的表達式

為主。

由 ，即 0 lt; cos α lt; 1 可得，嚙合距函數表達式定義的限制性條件為

4嚙合距和嚙合角函數的限制性定義

如果量綱一嚙合距的函數表達式具有

ρ （ θ ） / R = sin θ ， θ ∈ [ 0 ， φ ]

的正弦函數定義。則由

得

式（7）為線性函數，滿足限制性條件，即 ρ （ θ ） / R 表達式的正弦函數定義可以用于共軛輪廓的構造。

將式（5）、式（7）代入式（1）＼～式（2），外共軛輪廓 、內共軛輪廓 的量綱一方程分別為

此時，對應的外、內共軛輪廓分別為擺線、直線，如圖3所示。

轉子的形狀系數為

該系數為具有 N 確定下不可選的定形狀系數。

如果量綱一嚙合距的表達式具有

的線性函數定義，其中， 為最大形狀系數[24]，則

該系數為具有 N 確定下可選的變形狀系數。則

為定值，滿足限制性條件，即 ρ （ θ ） / R 表達式的線性函數定義能用于共軛輪廓的構造。

此時，對應的外、內共軛輪廓均為漸開線，如圖4所示。

如果量綱一嚙合距的表達式具有

的正切函數定義。則由

得出，區間 內不滿足限制性條件，說明 ρ （ θ） / R 表達式的正切函數定義不能用于共軛輪廓的確定。

另外，對于量綱一嚙合距的表達式，具有

定義時， K 為系數； n 為指數。由于 nlt;1 下的 ρ （ 0 ） / R 不存在，所以， n 必須大于1。

5嚙合距的多項式函數創新方法

多項式能用于任何函數的描述。考慮到共軛輪廓中 ρ （ θ ） / R=0 的構造需要，嚙合距的多項式函數表示為

式中， m 為階次，具體由泵性能的特定要求來確定；

為系數，常由給定的形狀系數來確定。

例如，當要求具有較好的流動脈動質量，即較小的流量脈動系數、平衡穩定性和根部抗彎強度時，可取

式（17）即為二次函數的多項式特例。則

此時，由

得

若共軛輪廓存在幾何干涉，則 會在 θ = φ 處出現反向波動，故由式（1）中 和式（2）中 ，得

其中，由式（18）得

由

得，最大形狀系數 和最大多項式系數 分別為

由容積利用系數的計算方法25得，最大容積利用系數 為

由流量脈動系數的計算方法得，最大的流量脈動系數 為

N=3 ， ε=1 . 1 9 9 5 ， R=1 0 0 m m 下對應的創新轉子葉與傳統漸開線轉子葉輪廓的比較如圖5所示。其中， ！ 為未知類型的創新曲線，且 具有凹函數特性。而現行已知的漸開線、圓弧、擺線等均具有凸函數特性，創新轉子的這種凸-凹共軛特性有利于減少嚙合處的泄漏。

通過UGNX軟件高級質量屬性的分析功能，創新轉子葉與傳統漸開線轉子葉的回轉半徑分別為72.55、 7 3 . 2 6 m m ，表面積分別為10610.8693、 ，對應的周長分別為384.9332、

3 9 0 . 4 9 0 9 m m ；回轉半徑、慣性矩、加工面積分別下降了 0 . 9 7 % 、 1 . 4 1 % 、1. 4 2 % 。

由此可見，不像齒輪泵那樣通過大齒數來改善流量脈動質量，轉子泵可通過較小的形狀系數來提升流量脈動質量，同時也帶來了動力學和根部抗彎強度等性能的極大改善。

上述例子雖然動力學性能改善有限，但說明了創新的可行性。為實現產品更多的特定性能，在嚙合距多項式函數式（16）中，可以通過階次和系數不同的組合定義，創新出更多現行未知的共軛輪廓曲線類型來匹配。

6結論

1）不同的共軛矢徑函數唯一決定了共軛輪廓的不同形狀，并直接決定了不同產品的輸出性能，輸出性能的創新等價為共軛輪廓的創新。2）嚙合角等于嚙合距對節圓轉角1階導數的反余弦函數，共軛輪廓的創新等價為嚙合距函數的創新。3）在嚙合距多項式中，通過不同階次與系數的創新組合，可以創新出更多現行未知的共軛輪廓曲線。

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Innovative approach and method of conjugate-contour construction for Roots rotor

LIYulong LIU Ping SONG Anran （School ofMechanical and Electrical Engineering，Suqian College，Suqian 2238oo，China）

Abstract：[Objective]Theconjugate-contourofRoots rotorhas atracted muchatention becauseof itscharacteristics that directlydeterminethe product performance;whereas somecommoncurvesused initsstructureoften fail tometthe specific performance requirementsof products.Therefore，an innovative approachand methodare proposed which is suitable notonly forcommon known butalso forcurrntunknownconjugate-contourcurves.[Methods]Theconcepts ofengagement-distanceas lengthandengagement-angleasdirectionofconjugate-vectorfromthepitch-pointtotheengagement-poitwasproposed，theintrinsic logicrelationof engagement-distanceandengagement-angle wassummarized，andthentheinovativeapproachesand methodsofconjugate-contourconstructionwere proposed.[Results]Theresultsshowthatdiferentconjugate-vectorfunctions uniquelydeterminedifferentconjugate-contour shapes；dierentconjugate-contour shapes directlydetermine diferentoutput performance;theinovationofoutputperformance isequivalenttotheinnovationofconjugate-contour;theengagement-angleis equaltotearccosinefunctionofthefirstderivativeofengagement-distancetotherotation-angleofpitch-circle;theiovation of theconjugate-contourisequivalenttotheinnovationoftheengagement-dstancefunction.Diferentinnovation-combinations ofordersandcoefficientsof engagement-distance polynomial-functioncaninovate morecurrntunknown typesof theconjugate-contourcurve，etc.Theinnovativeapproachesand methods havetheaplication-valueforanyconjugate-contourconstructionoftheconvexcylindrical-gearandcylindrical-rotor，soastoprovidesomereferenceand pointout thedirectionforsubsequent expand research.

Keywords：Roots rotor;Conjugate-contourconstruction;Engagement-distanceand engagement-angle;Polynomial-function; Innovative approach and method