基于FRFT濾波提取變速行星輪系太陽輪故障階次

中圖分類號：TH113.1；TH17 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.018

0 引言

行星輪系是低速重載設備常用的大減速比傳動形式。其中，齒輪作為關鍵元件，一旦發生故障，將影響整個設備正常運行，甚至造成嚴重的事故和巨大的損失。對于復雜的多級行星輪系，若太陽輪或行星輪的輪齒出現整體或局部故障，故障輪齒與正常輪齒的嚙合表面會產生一系列脈沖，這些脈沖蘊含著齒輪副工作狀態的重要信息。從這些信號中提取故障特征是故障診斷的關鍵所在。針對行星輪系故障特征提取方法，國內外學者已做了大量工作2。其中，針對穩態工況的行星輪系故障特征提取方法主要有包絡譜分析3、經驗模態分解（EmpiricalModeDecomposition，EMD）[4-5]、小波變換[6-7等。而當行星輪系中齒輪在變速工況下運行時，常規的頻譜分析方法會導致頻譜模糊，使故障特征無法準確提取；同時，背景噪聲和干擾會在一定程度上淹沒故障脈沖，尤其是傳感器未在故障齒輪附近安裝時8]。因此，如何有效地從變速信號中準確提取故障特征成為目前故障診斷研究的難點和熱點之一。

眾多學者采用階次分析來處理傅里葉變換進行變速信號分析時的“頻率模糊”現象。但是，行星輪系發生故障時往往還伴隨一定程度的信號調制。

因此，利用階次分析進行故障診斷需結合包絡解調方法。萬書亭等針對時變工況風電齒輪箱振動信號受噪聲干擾和頻率模糊問題，提出了基于變分模態分解-同步提取變換的無轉速計階次跟蹤方法。BORGHESANI等[0]結合帶通濾波和時域逆采樣階次分析去除了齒輪箱的干擾信號，但存在角域信號濾波帶寬選取問題。王況等運用階次分析方法對變工況行星齒輪箱進行了故障診斷。宋寶玉等2采用階次分析方法提取了低速斜齒輪故障特征。但傳統時頻濾波需要設計濾波器原型和參數，過程復雜且自適應性較差[13]。

分數階傅里葉變換（FractionalFourier Transform，FRFT）根據線性調頻信號在不同階次的分數階傅里葉域呈現不同能量聚集的特點，只需選擇合適的階次即能在最佳分數階域濾波分離出目標分量[14-15]，但目前基于搜索思想確定階次的方法工作量大、速度慢、效率低。梅檢民等為了提取變速器故障特征，提出了一種基于轉速信號確定分數階傅里葉變換最佳階次，并通過濾波提取變速過程嚙合階次的方法。黃銘等用含噪線性調頻信號來模擬電動助力器變速運轉信號，通過分數階傅里葉變換和帶通濾波，能夠準確地濾除信號中噪聲分量。梅檢民等[18為提高變速器齒輪故障診斷準確性，提出了基于分數階傅里葉變換濾波的全息階次解調譜方法。綜上可見，對于行星輪系變速過程的振動信號，只要得到最佳FRFT階次，就能提取故障的嚙合階次?；谶@一思想，本文針對變速行星輪系故障特征提取問題，提出一種基于轉速信號確定的分數階傅里葉變換最佳階次，并通過濾波提取行星輪系故障特征的方法，用于解決傳遞路徑長、干擾較大的二級太陽輪微弱故障精確診斷難題。

1基于FRFT濾波包絡階次分析

1. 1 包絡分析

針對齒輪振動信號存在的調制現象，應用Hil-bert包絡解調方法，對濾波后信號 x（t） 經Hilbert變換檢波除去高頻分量，得到含齒輪故障分量的包絡信號 A（ι） ，即

式中， 為 x（t） 經Hilbert變換的虛部； χ_t 為時間。

1.2 FRFT定義和性質

信號 x（t） 的FRFT定義為

X_p（u）=F_p[x（t）]（u）=∈t_-∞^∞x（t）K_p（t，u）dt

其中，

式中， 為FRFT的變換核； m 為整數； p 為FRFT的階次，可為任意實數； δ（?） 為狄拉克函數； α 為FRFT的旋轉角度， α=pπ/2 ○

X_p（u） 的逆變換為

由式（5）可知，信號 x（t） 由一組權系數為 X_p（u） 的正交基函數 所表征，這些基函數是Chirp的復指數函數。

1.3FRFT提取Chirp信號分量的原理

Chirp信號在時頻域都具有較大的展寬，在時域或頻域都不能很好地分離。含兩個分量的Chirp信號的時頻分布如圖1所示。其中，一個分量的時頻分布與時間軸的夾角為 β 。分數階傅里葉變換可解釋為信號在時頻平面內繞原點旋轉任意角度后所構成的分數階域上的表示，只要分數階傅里葉變換的旋轉角度 α 與 β 正交，則該信號在分數階傅里葉域上的投影就應該聚集在 u₀ 一點上。以 u₀ 為中心做帶寬為 Δu 的窄帶濾波，將信號從強背景噪聲中濾出或從多分量Chirp信號中分離，再做 α 角旋轉，即完成Chirp信號的提取。

FRFT提取 Chirp 分量的關鍵在于找到合適的旋轉角度，得到最佳的FRFT階次。由圖1可知，最佳角度 α 、階次 p 與調制頻率 f_m 的關系為

1.4基于轉速信號確定FRFT最佳階次

在多級行星輪系中，二級太陽輪傳動路徑長且嚙合頻率小，其故障信號微弱，診斷具有較大難度。本文將齒輪故障設置在二級太陽輪上，以齒根裂紋為例進行研究。當行星輪系運行時，以輸入軸轉速為基準，行星輪系按照固定傳動比運轉；二級太陽輪嚙合頻率按照固定的階次隨輸入軸轉速變化，構成固定的階次分量，測得的行星輪系振動信號是多分量Chirp信號。本文提出一種根據輸入軸轉速信號確定FRFT最佳階次的方法，其步驟如下：

1）根據電動機轉速信號計算電動機轉動頻率 f_n 和二級太陽輪嚙合頻率分量 f_m^′

2）對電動機轉動頻率 f_n 和二級太陽輪嚙合頻率分量 f_m^′ 進行最小二乘擬合，計算二級太陽輪調制頻率 f_m ○

3）根據 f_m ，通過 計算二級太陽輪嚙合頻率的FRFT最佳階次 p 。

由于轉速信號不受振源和噪聲干擾，行星輪系的傳動比又是固定的，故根據電動機轉動頻率得到的二級太陽輪嚙合頻率比較準確。據此計算得到的調制頻率和FRFT最佳階次的精度較高，計算速度快。根據不同轉速信號，上述方法均能自動獲取所對應的最佳階次。

2行星輪系太陽輪故障特征階次計算

在階次分析中，階次、轉速和頻率之間的關系為

O=60f/n

式中， o 為階次； f 為頻率； n 為轉速。

采用階次分析對濾波后包絡信號 進行等角度重采樣。首先，通過轉速信號得到時間序列 其次，對原始信號 X（t） 進行三次樣條插值，得到角域偽平穩信號；最后，進行快速傅里葉變換（FastFourierTransform，FFT），得到包絡階次譜。

設電動機轉動頻率為 f_n ，一級太陽輪直接與電動機軸相連，則一級太陽輪轉動頻率 f_s1 與電動機轉動頻率 ?f_n 相同。一級行星輪系嚙合頻率 f_m1 為

式中， z_r1 為一級齒圈齒數； z_s1 為一級太陽輪齒數。

由于二級太陽輪直接與一級行星架相連，則二級太陽輪轉動頻率與一級行星架轉動頻率相同。一級行星架轉頻 f_cl 為

計算可得二級太陽輪轉動頻率 f_s2 。同理可得，二級行星輪系嚙合頻率 f_m2 為

式中， z_r2 為二級齒圈齒數； z_s2 為二級太陽輪齒數。

當太陽輪某輪齒發生故障時，將行星架視為固定不動進行分析，即太陽輪每轉1周，與每個行星輪產生嚙合振動。故太陽輪故障特征頻率為

式中， N 為行星輪個數。

綜上，能表征變轉速工況下二級太陽輪嚙合和故障的階次分別為

3變速行星輪系太陽輪故障特征提取

本文基于轉速信號確定的分數階傅里葉變換進行變速行星輪系故障診斷，其流程如圖2所示。

上述方法的主要步驟如下：

1）應用電動機轉速信號和行星輪系齒輪參數確定二級太陽輪嚙合頻率FRFT最佳階次，在最佳分數域進行帶通濾波，對濾波后信號進行包絡。

2）對包絡信號進行階次分析，求得包絡階次譜。

3）通過故障特征階次計算與包絡階次譜突出階次進行對比，確定故障類型。

4試驗及分析

4.1 試驗平臺

為驗證所提方法的有效性，設計了包含有二級行星齒輪箱和二級平行軸齒輪箱的傳動系統故障診斷試驗平臺。圖3為其結構、傳動鏈及測點示意圖。選取距電動機端較遠的行星齒輪箱二級太陽輪為故障齒輪。

根據圖3結構建立的試驗平臺如圖4所示，由變頻交流電動機、二級行星齒輪箱、二級平行軸齒輪箱等組成。振動加速度傳感器置于行星齒輪箱機殼表面，光電轉速傳感器置于電動機輸出軸處。

4.2試驗條件

試驗中需要對電動機進行調速。通過試驗平臺中的變頻器對交流電動機進行調速，使其完成連續的變轉速運行。得到電動機從啟動到升速、再到恒速、減速、停機的轉速變化曲線如圖5所示。如圖5中虛線所示，信號采集主要在升速階段完成。試驗中，振動信號采樣頻率設置為 20480Hz 。

根據齒輪箱設計參數，計算得到的二級太陽輪的嚙合階次為3.6458，故障特征階次為0.5208。為了模擬太陽輪故障，對正常太陽輪進行齒根裂紋缺陷制作。正常齒輪和最終故障齒輪的實物如圖6所示。

4.3試驗結果及分析

4.3.1高轉速高負載工況

電動機轉動頻率變化范圍設為 0～30Hz ，行星齒輪箱的二級輸出負載為 44.09N?m 。選取所測信號0＼～6s中的4.8s加速數據進行分析，完成所提方法與未濾波階次包絡譜的對比。時域振動信號如圖7（a）所示，振幅隨轉速持續增大，表現出強非平穩特征。電動機轉速脈沖如圖7（b）所示，加速工況下轉速信號的時間間隔越來越小，即頻率越來越高。

圖8為對圖7進行FFT的頻譜圖。從圖8可以看出，頻譜范圍寬且存在強頻率混疊及噪聲干擾，無法用于判定二級太陽輪是否發生故障。

圖9所示為原始信號未經濾波直接進行包絡階次分析的結果，故障階次0.5208被其他階次淹沒，不能判斷二級太陽輪是否發生故障。

根據電動機轉速信號，按照本文提出的最佳階次確定方法求得二級太陽輪嚙合階次的FRFT最佳階次，如圖10（a）所示。二級太陽輪嚙合階次的FRFT最佳階次 p=1.0027 ，做 p 階FRFT，如圖10（b）所示。由圖10（b）可知，信號在 p 階分數階域 u₀ 在52599點出現明顯峰值，說明二級太陽輪嚙合階次分量在其最佳階次分數階域具有最佳能量聚集性，而其他分量和噪聲聚集性差且能量弱。因此，做帶寬 Δu 在52593＼～52602的帶通遮隔，如圖10（c）所示，能有效剝離其他分量和噪聲干擾。再做 p 階逆FRFT，提取二級太陽輪嚙合階次分量，圖10（e）所示為其時域波形，圖10（d）所示為原始信號時域波形。

進行信號濾波后，通過式（1）得到包絡信號，再進行階次分析，得到圖11所示的階次包絡譜。由圖11（a）可以看到，二級太陽輪健康狀態下的包絡階次譜只能看到電動機轉速階次 O_fn 及其整數倍階次。由圖11（b）可以明顯看到，二級太陽輪齒根裂紋故障下的包絡階次譜中出現二級太陽輪故障階次 O_f 及 kO_fn±O_f 階次， k 為整數。該方法所得故障階次與理論階次的相對誤差為 2.55% 。由此判定，二級太陽輪出現故障，驗證了本文所提方法是有效的。

4.3.2高轉速低負載工況

此處，電動機轉動頻率范圍設為 0～30Hz ，行星齒輪箱的二級輸出負載為 17.26N?m 。與上述過程類似，選取所測信號0＼～6s中的4.8s加速數據進行分析。時域振動信號如圖12（a）所示，電動機轉速脈沖如圖12（b）所示，圖12（c）為FFT頻譜圖，圖12（d）和圖12（e）均為原始信號未經濾波直接進行包絡階次分析的結果。同樣，求得二級太陽輪嚙合階次的

FRFT最佳階次，如圖12（f）所示。圖 12（g） ＼～圖12（j）所示為FRFT濾波過程。圖 12（k） 和圖12（1）所示為FRFT濾波后包絡階次分析結果。對比濾波前后包絡階次譜，所提方法、所得故障階次與理論階次的相對誤差為

（h）分數階域濾波 u₀=38 661，帶寬 Δu 在38654＼～38667

4.3.3 低轉速高負載工況

類似的，電動機轉動頻率范圍設為 0～15Hz ，行星齒輪箱的二級輸出負載為 44.09N?m 。與上述過程類似，時域振動信號如圖13（a）所示，電動機轉速脈沖如圖13（b）所示，圖13（c）為FFT頻譜圖，圖13（d）和圖13（e）均為原始信號未經濾波直接進行包絡階次分析的結果，二級太陽輪嚙合階次的FRFT最佳階次如圖13（f）所示，圖 13（g） ＼～圖13（j）所示為FRFT濾波過程，圖13（k）和圖13（1）所示為FRFT濾波后包絡階次分析結果。對比濾波前后包絡階次譜可見，濾波后0.5179階次非常清楚，故障階次與理論值的相對誤差為 0.6% ，可判定二級太陽輪出現故障。

4.3.4 低轉速低負載工況

同上，電動機轉動頻率范圍設為 0～15Hz ，行星齒輪箱的二級輸出負載為 17.26N?m 。與上述過程類似，時域振動信號如圖14（a）所示，電動機轉速脈沖如圖14（b）所示，圖14（c）為FFT頻譜圖，圖14（d）和圖14（e）均為原始信號未經濾波直接進行包絡階次分析的結果，二級太陽輪嚙合階次的FRFT最佳階次如圖14（f）所示，圖 ＼～圖14（j所示為FRFT濾波過程，圖14（k和圖14（1所示為FRFT濾波后包絡階次分析結果。對比濾波前后階次包絡譜，故障階次與理論值的相對誤差為 3.4% ?？膳卸ǘ壧栞喅霈F故障。

從上述4種工況下的故障診斷試驗結果可知，試驗提取的故障特征階次與其理論值之間的相對誤差在低轉速高負載工況下的最小 （0.6%） ，在低轉速低負載工況下的最大 （3.4%） ，均是工程可接受的。證明本文提出的變速工況下行星輪系齒輪故障特征提取方法是有效且準確的。

5 結論

1）提出了一種基于轉速信號確定的分數階傅里葉變換最佳階次的方法。通過該方法可以快速地確定FRFT最佳階次，具有良好的魯棒性。2）使用最佳階次進行FRFT濾波，可以有效地剝離其他頻率成分和噪聲；再對信號做包絡階次分析，可準確提取噪聲環境下變速行星輪系微弱故障特征。3）利用該方法對行星輪系4種工況進行試驗。結果表明，故障診斷是可行且準確的，具有應用價值。

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Filtering based on FRFT for extracting fault orders of sun gears in a variable speed planetary gear system

FANHongwei12HUANG Jiexiang1REN Zhongfu'XUHaowenl （1.CollegeofMechanical Engineering，Xi'an UniversityofScienceandTechnology，Xi'an71oo54，China） ShaanxiKeyLaboratoryofIntelligentDetectionandControlforMiningElectromechanicalEqupment，Xi'an7oo54，China）

Abstract：[Objective]Inordertobeterextracttheweakfault characteristicsofvariable-speed planetarygeartrains inthe noiseenvironment，amethodwasproposedtodeterminetheoptimalorderoffractionalFouriertransform（FRFT）basedonthe speedsignalandobtainthegearfaultorderundervariable-speedconditions throughthebandpassfltering.[Methods]Firstlythe gearmeshingfrequencywascalculatedaccordingtotherotationalspeedsignaloftheinputshaftoftheplanetarygeartrainand thegearparametersofthesystem，andthentheoptimalFRFTorderof themeshingfrequencywasdeterminedbytheleast squarefiting method.Onthisbasis，thebandpassfilteringcenteredonthepeakvalueofthefractionaldomain wascarriedout， andtheenvelopeorderwasanalyzedathesametime，sothattheenvelopeorderrelatedtothegearfault wasobtained.Thetest wascarridoutforthesecond-stagesungearrootcrackfaultofaplanetarygearreducer.[Results]Theresultsshowthatitis feasibletodeterminetheoptimalorderofFRFTbasedonthespeedsignal，andthenoiseandothercomponentscanbeeectively separated.The maximum relative error between the test results and the theoretical values is 3.4% ，which occurs at the low speed and low load.

Keywords：Planetarygearsystem;Variablespeedstate;aultdiagnosis;FractionalFouriertransform;Envelopeoderanalysis