考慮柔性軸承徑向變形的諧波齒輪負載變形研究

中圖分類號：TH132.43 DOI： 10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.010

0 引言

諧波齒輪傳動裝置最初由美國學者WALTON在1955年設計并提出，具有傳動比范圍廣、承載能力高、運動準確性好等優點，被廣泛應用于航空航天、工業機器人、醫療器械等行業[2]。

為獲知負載工況下齒面嚙合力分布及其齒體受力狀況，柔輪負載嚙合力分布研究一直是諧波齒輪負載研究的難點問題。王梓熒等3提出基于空載側隙和周向嚙合剛度理論模型的計算方法，得到不同負載工況下嚙合力的分布規律。等4利用精確算法計算了裝配條件下的側隙分布，并利用在柔輪齒上施加嚙合力的方式求解柔輪齒廓嚙合點的周向剛度，用于分析側隙隨負載的變化規律。馬南飛對諧波齒輪傳動中柔輪齒的載荷分布與變形之間的關系進行了研究。陳曉霞等[6]81-88為揭示負載工況下諧波齒輪傳動的多齒嚙合狀態，建立了三圓弧空間齒廓實體單元諧波齒輪有限元模型，分析表明，三圓弧空間齒廓在波發生器長軸區設置最小初始側隙，可以以更小的接觸壓力承載更大的負載轉矩；隨著負載的增加，最大嚙合力向長軸右側偏移，呈平臺式分布。

為拓寬負載嚙合力分布范圍，降低最大嚙合力，柔輪負載研究是諧波齒輪研究的熱點。LI等考慮與柔輪和凸輪裝配后軸承外圈的錐度和軸向變形，建立了薄壁柔性軸承滾珠載荷靜態分析模型。XU等[8基于諧波傳動理論推導了柔性軸承變形協調方程，并對不同波發生器凸輪形狀形成的柔性軸承的變形特性進行了研究。YU等基于薄壁圓環理論推導了三力圓環徑向位移與載荷的關系，建立了三力環疊加模型，計算了諧波減速器中橢圓凸輪柔性軸承的載荷分布。潘雪嬌等[考慮柔性軸承裝配后外圈發生的彎曲變形，建立了柔性軸承載荷分布與變形之間的關系，并利用有限元仿真手段進行了對比驗證，結果表明，理論與仿真相符，載荷分布情況也相符。

早期，伊萬諾夫1154-63通過試驗方法得出漸開線齒廓的負載變形和應力的計算公式。DONG等12利用等厚度殼體理論研究了負載條件下柔輪變形。為預測柔輪疲勞失效位置，劉文芝等3建立了實體單元柔輪仿真模型，利用三維彈性接觸法研究了負載狀態下柔輪齒圈、筒體應力的大小及分布規律。CHEN等[14-15考慮輪齒接觸載荷的影響，建立了柔輪有限元模型，研究了空載和承載條件下柔輪齒圈的中性面、齒尖處變形和應力分布規律。PACANA等分析了空載和額定負載作用下多個軸向截面的柔輪應力分布。董惠敏等通過有限元手段提取了柔輪中面節點變形數據，基于負載變形的經驗式，利用傅里葉函數擬合得到負載變形函數。

然而，現有齒廓設計僅依據空載裝配變形進行齒廓設計，未有理論算法給出負載對輪齒側隙的影響。負載變形分析及負載引起的輪齒周向位移可以為齒廓設計中的側隙設置提供更準確的依據，使負載工況下更多參與嚙合的輪齒上的嚙合力更均衡。

本文基于赫茲理論[18]116-11建立了柔性軸承徑向載荷與位移的關系，并給出考慮間隙以及柔輪周向伸長等因素影響下柔輪齒圈的負載變形理論公式，最后通過有限元仿真對理論公式進行了對比驗證。

1單滾珠柔性軸承的徑向剛度

柔性軸承是維持柔輪變形和齒面正確嚙合的重要部件。在嚙合力引起的徑向力作用下，軸承徑向變形不僅影響輪齒嚙合關系，還會引起輪齒周向位移，顯著改變裝配狀態下的輪齒嚙合狀態。因此，柔性軸承的徑向剛度及其負載變形，是負載工況下嚙合力分析的重要影響因素。

空載狀態下的滾珠與滾道很接近點接觸，負載狀態下的點接觸擴展為隨負載增大不斷增大的面接觸。

1.1徑向負載下接觸區內的壓力分布

赫茲理論[18]1假定：接觸區的壓力為在中心點壓力最大、邊緣為0的橢球分布。接觸區域形狀為長半軸 a 和短半軸 b 的橢圓。

根據接觸壓力與徑向力 之間的平衡關系

式中， 為最大接觸壓力。

可求解得到接觸區的最大接觸壓力為

1. 2 不同區的接觸變形

柔性軸承接觸包括滾珠與內、外滾道兩個接觸區域。以滾珠與內滾道的接觸分析為例，給出分析過程，外滾道的變形同理。

為確定接觸區域的接觸變形，需要根據橢圓接觸區形狀，考慮接觸變形過程中的變形協調方程。

徑向力 作用下滾珠與滾道相互接觸。滾珠與內、外圈的彈性模量和泊松比分別為 E 和 μ 。

由于接觸區很小，Boussinesq利用彈性力學位移方程得到接觸表面沿載荷方向 點的位移/18]18-13有

引入橢圓偏心率 ，則式（3）轉化為 （4

其中，

式中， F（ e ） 和E （ e ） 分別為第一類和第二類完全橢圓積分。

滾珠與內滾道接觸時，對其在接觸變形后的曲面位移進行泰勒展開并求和，僅保留2階項，即

式中， 為滾珠的直徑； 為內滾道槽半徑系數；

為滾珠中心圓直徑。

如圖1所示，半徑分別為 、 的兩球體在 o 點彈性接觸。距離公共法線為 r 的點 和點 與 o 點切平面的距離分別為 和 ： 、 分別為指向球體1和球體2中心的坐標軸。

由于接觸面尺寸與球體半徑相比很小，變形前點 和點 間的距離為 。變形后重合的點 和點 分別沿 和 軸產生位移 、 ，有

式中， 為兩接觸體的彈性趨近量。

將式（4）和式（5）代入式（6），對各項系數比較，得到滾珠與內滾道的彈性趨近量為

式中， 為滾珠和內滾道在接觸點的主曲率和[18]5-8內滾道與滾珠的接觸變形系數為

同理，滾珠與外滾道的彈性趨近量為

式中， 為滾珠和外圈接觸點的主曲率和[18]6-8。外滾道與滾珠的接觸變形系數 與內滾道計算公式相同。

單滾珠柔性軸承的彈性趨近量為

2負載條件下柔輪齒圈的變形

負載嚙合力不僅引起周向嚙合力，同時產生徑向力，使軸承滾珠受壓變形。軸承的徑向變形使負載工況下的嚙人段齒圈顯著偏離原有的波發生器等距線位置；嚙出段齒圈會在周向力作用下，脫離波發生器約束。負載傳動中，柔輪變形形狀取決于波發生器的形式，更多地受嚙合力分布和剛輪影響。

2.1柔性軸承作用下柔輪齒圈的徑向位移

本文第1節推導了單滾珠柔性軸承徑向剛度的計算式。本文采用滾珠數為23的柔性軸承，由于齒圈的彎曲剛度比柔性軸承的徑向剛度小得多，因此，將齒面上的徑向力按照每個滾珠之間的周向對稱線分隔。滾珠的承載區沿圓周方向均分，以滾珠中心為起點，每個滾珠的承載區范圍為 ， 3 6 0 / 1。將已知嚙合力的徑向分力就近分配至每個滾珠，對每個滾珠承載區范圍內的徑向分力求和后代入式（9），得到嚙入段柔輪齒圈的徑向位移。

本文中輪齒上的嚙合力為周向力，根據兩者的關系，有

式中， α 為輪齒的壓力角。

2.2嚙合力引起柔輪齒圈的周向位移

輪齒上的嚙合力需要全部傳遞至杯底以平衡負載轉矩。嚙合力分布可以拆分為平均項和波動項。其中，平均項剪力流與柔輪端面的轉矩相平衡，這部分力不改變柔輪的形狀；波動項引起柔輪齒圈周向伸長，并引起齒圈變形。

作用于短軸上半區每個輪齒上的平均項 為

式中， 為柔輪齒數； 為不同極角 φ 所對應的嚙合力。

引起柔輪齒圈拉伸的周向力為

式中， 為嚙合區各個輪齒上的嚙合力。

柔輪伸長引起的周向位移為

式中， k 為考慮附加載荷系數； 為柔輪中面半徑；

為齒圈的寬度； 為柔輪壁厚。

2.3柔輪齒圈在上半區的變形表達

如圖2所示， 為柔輪短軸位置， 為長軸位置。由于柔輪的變形關于原點對稱，因此，本文僅對短軸上半區進行分析。長軸左側柔輪 段與波發生器分離；長軸右側柔輪 A B 段與波發生器完全貼合。

2.3.1 A B 段齒圈徑向和周向變形

A B 段變形由柔性軸承徑向剛度、柔輪-波發生器間的間隙以及柔輪周向伸長的共同影響所引起。

式中， 為不考慮間隙和接觸變形影響下橢圓波發生器作用下柔輪齒圈的徑向變形[19]； u 為柔輪系統中的間隙； 為柔性軸承徑向變形引起的齒圈徑向變形。

2.3.2AM段的齒圈變形

A M 段的變形按照定半徑的圓弧[1I8確定。

式中， 為柔輪的初始最大徑向變形量； 為滾珠上最大徑向力所對應的徑向變形。

2.3.3MB'段的齒圈變形

段的形狀為滿足與 A M 段連接處和短軸處邊 界條件的自由變形曲線。

式（16）中的常數 人 ！ 人 和 的值由以下連接條件確定：

M 點處，

1）

2）

3）

B 點處， φ = π / 2 rad

4）

5）

6）

求解得到

2.3.4直母線假定下齒圈空間變形

根據直母線假定，任意軸向位置 L 處柔輪的最大徑向變形為

式中， 為齒圈中截面至杯底的距離。

2.4計算實例

諧波齒輪的主要參數：柔輪齒數 ，壓力角 。柔輪筒體內壁半徑 ，筒長 l= 3 3 . 7 m m 。筒體壁厚 ，柔輪齒圈寬度 1 0 m m 。柔輪中面曲線半徑 。柔輪-波發生器的配合間隙 。柔輪最大徑向變形量 。

CSF-25-120型諧波齒輪各負載工況及其對應轉矩：額定輸出轉矩（Ratedtorque，RAT）工況為 6 7 N?m 容許最大平均負載轉矩（Permissiblemaximumvalueofaverageloadtorque，AVT）工況為 1 0 8 N ? m ；啟動停止時的容許轉矩峰值（Permissible peak torque for startandstop，STT）工況為 1 6 7 N ? m 。它們的嚙合力的周向分量如圖3所示[6]84

2.4.1 齒圈的徑向變形求解

將圖3給定的不同負載工況下的嚙合力分布代入式（10），得到輪齒上的徑向力；代入式（9），確定柔性軸承影響下柔輪齒圈的徑向變形。將計算參數代入式（14），確定柔輪齒圈在 A B 段的變形{圖4（a） ， 1}。

將上述參數代入式（15），確定柔輪齒圈在AM段的變形。 M 點的位置根據柔性軸承在長軸處引起的徑向位移、柔輪-波發生器中的間隙值、柔輪在長短軸處的邊界位移條件以及周向力在短軸處引起的周向伸長確定，可由式（17）迭代求解得到{圖4（a） ， 。將 的值代入式（17），得到常數 、 、 的值；代入式（16），確定柔輪齒圈在 段的變形{[圖 ， 。

2.4.2齒圈的周向變形求解

將實例參數代入式（13），確定 的大??；將柔輪齒圈在 A B 段的徑向變形積分，兩者疊加，確定柔輪齒圈在 A B 段的周向變形{圖 ， 。AM段和 段的周向變形通過相應的徑向變形積分確定。A M 段對應圖 ， ， 段對應圖4（b） ，

圖4所示為柔輪齒圈在不同負載工況下的徑向、周向變形。圖4中， 為長軸位置，長軸左、右兩側分別為嚙出區、嚙入區。隨負載增大，嚙入區柔輪的徑向位移逐漸減小。這是因為柔性軸承承擔逐漸增大的載荷，造成徑向壓縮量增大。

嚙出區形成的定半徑圓弧大小隨載荷的增大而增大，柔輪向外凸起的現象愈加明顯。最大周向變形在嚙入區隨載荷的增加而減少，且周向變形出現的最大位置處隨載荷的增加逐漸向左移動。這是因為輪齒周向分布力隨載荷的增大而增大，造成拉伸周向力增大；嚙出區載荷對于定半徑圓弧的周向變形影響不大。但在與徑向變形相對的凸起區域，隨載荷的增大，柔輪的周向變形也增大。

3軸承剛度和柔輪變形的有限元仿真

為了驗證本文理論方法的正確性，建立了基于實體單元的柔輪和波發生器有限元模型。首先，進行柔性軸承徑向剛度的仿真；其次，對包含橢圓凸輪波發生器和柔輪進行負載變形仿真。

3.1單滾珠柔性軸承徑向剛度仿真驗證

為研究柔性軸承徑向載荷作用下的徑向剛度，建立圖5（a）所示的單滾珠柔性軸承模型。在柔性軸承滾道與滾珠接觸位置進行網格加密；將外圈外表面的節點耦合，在耦合點處施加不斷增大的徑向載荷，模擬柔性軸承的受載變形。

柔性軸承的外徑為61. 3 2 m m ，內徑為 4 5 . 2 m m 。內外滾道直徑分別為 4 7 . 7 0 4m m 和 5 8 . 8 1 6 m m 。內外滾道槽半徑分別為 2 . 9 1 6 9 m m 和 2 . 8 6 1 3 4 m m 。滾珠直徑為 5 . 5 5 6m m 。

將以上參數代人式（8）和式（9），分別計算柔性軸承外圈滾道面和外圈外表面的徑向變形的理論結果（圖6）?；趩螡L珠柔性軸承有限元模型，分別提取外圈外表面和外圈滾道面在不同徑向載荷下的徑向變形（圖6）。

由圖6可知，通過有限元提取柔性軸承外圈外表面的徑向變形并與理論結果進行對比驗證，兩者的偏差隨載荷的增大而不斷增大，最大偏差僅為 5 μm 同時有限元結果與理論結果吻合良好，說明理論方法具有一定的合理性。

3.2柔輪負載變形的仿真計算

與實例計算參數一致，建立圖5（b所示的有限元模型。柔輪和柔性軸承選用Solid186實體單元，橢圓凸輪選用Shell63殼單元。所有材料的彈性模量 E = 2 1 0 G P a ，泊松比 μ = 0 . 3 。

建立橢圓凸輪、柔性軸承以及柔輪之間的接觸關系。對柔輪杯底內孔外徑的所有節點進行全約束，對橢圓凸輪約束全自由度，對柔性軸承內圈約束軸向自由度；約束滾珠沿徑向方向上所有節點的周向及軸向自由度。在柔性軸承支承截面的輪齒表面施加圖3所示的嚙合力分布，對不同負載工況進行大變形求解。求解后進入后處理模塊，定義沿齒圈中截面 ， 的周向路徑，提取該路徑上的徑向位移和周向位移（圖7）。

圖7（a）所示為柔輪齒圈中截面不同負載工況下的徑向位移的FEA結果。圖中， 長軸的右側從小負載 額載 超載工況，柔輪沿徑向的變形量隨負載不斷增大，這是由柔性軸承的徑向變形引起的。長軸左側柔輪的徑向位移隨負載的增加而不斷向外增大，柔輪的外凸變形更加明顯，使得該區域有更多的輪齒參與嚙合。

圖7（b）所示為柔輪齒圈中截面周向位移的FEA結果。隨負載的不斷增大，長軸右側周向變形的最大值向長軸左側偏移。這是由柔輪沿周向的伸長不斷增大引起的。隨負載增大，長軸左側的周向變形不斷增大。這與徑向變形規律一致。

3.3柔輪負載變形理論與有限元對比

提取柔輪齒圈中截面位置處的徑向位移并與理論結果作差[圖8（a）]，RAT工況下兩者最小偏差為2 . 0 1 μ m 。隨載荷增大，偏差逐漸增大，至STT工況最大，為 ， 1為偏差發生的主要范圍，原因是輪齒上的嚙合力在該區域轉變為徑向力作用于柔性軸承時偏小，造成理論結果整體偏小。

圖8（b）所示為柔輪齒圈周向位移差值。隨載荷增大，理論解與有限元解的偏差增大。這與徑向位移的偏差規律基本類似。長軸左側嚙出區周向位移的偏差相比于嚙入區更大。原因是嚙出區齒圈的周向力理論值與實際存在較大偏差。

3.4載荷引起柔輪齒圈的徑向變形分析

為具體分析負載大小對柔輪變形的影響，分別將各負載工況下柔輪變形與空載裝配變形作差，以反映柔輪變形隨載荷大小的變化規律。圖9所示為載荷引起的柔輪齒圈徑向變形的理論解和有限元結果。

由圖9可知，對比載荷引起的柔輪齒圈變形的理論與FEA結果發現，相同工況下，負載引起柔輪齒圈位移的理論結果偏小。STT工況下，負載引起的柔輪徑向變形的理論解與FEA結果的最大偏差為1 6 . 6 μ m ；理論解和FEA結果的最大值分別出現在長軸左側 和 的位置處；對比有限元仿真結果發現，本文理論模型的0位移點在短軸，FEA模型卻在短軸偏右 的位置。對比圖8（a）與圖8（b）發現，本文的理論模型與有限元結果在短軸處存在較大偏差。

3.5錐度變形下柔輪齒圈空間變形對比

柔輪變形后，柔輪筒體上的任意一條母線均假定為直線。在橢圓凸輪波發生器作用下，柔輪筒體產生錐度變形。

以RAT工況下柔輪齒圈中截面的變形為基礎，基于直母線假定，求解獲得齒圈軸向前截面和后截面的理論結果，并提取相應工況的有限元結果進行對比，如圖10所示。由圖10可知，軸向不同截面的齒圈徑向變形偏差出現在長軸附近，前截面的最大偏差為 2 . 4 6 μ m ，中截面的最大偏差為 2 . 2 7 μ m ，后截面的最大偏差為 9 . 6 4 μ m 。

4結論

利用赫茲接觸理論給出柔性軸承徑向剛度的計算式，并給出柔輪齒圈的負載變形計算方法，為后續負載條件下的齒廓設計提供了側隙設置依據。

給出嚙入區由柔性軸承接觸變形引起的柔輪齒圈的徑向變形以及柔輪伸長引起的柔輪的周向變形。對比研究得出以下結論：

1）柔輪齒圈在柔性軸承支承截面的理論與有限元結果吻合良好。

2）本文的負載變形方法適用于計算任意分布的

嚙合力作用下齒圈周向變形，可以為齒廓設計中的側隙設置提供依據

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Study on the deformation of harmonic gear load considering the radial deformation of flexible bearings

GAO Zhengxin'XING Jingzhong1，2 CHENXiaoxial （1.TianjinKeyLaboratoryofodernechatronicsEquipmentTechnology，TiangongUnversityTanjin3387，ina） （2.SchoolofAeronauticsandAstronautics，Tiangong University，Tianjin3oo387，China）

Abstract：[Objective]Toprovide thebasisofbacklash fortoth profiledesignofharmonicgears，acalculationmethodof flexsplineloaddeformationwasestablished.[Methods]BasedonHertzcontacttheory，atheoreticalformulafortheradial stifessofflexible bearingswasobtained.Takingintoacounttheradialdeformationofflexsplinesandtheresulting circumferentialdisplacementandelongationofthetoothring，formulasforloaddeformationoftheflexsplinetoothringunder theactioofmeshingforce werederived.Aflexsplineassmblymodelcontainingtheflexiblebearingwasestablishedwiththe solidelement，andthedeformationsofthetoothringindifferentaxialcrosssectionscausedbythemeshingforcewassimulated tovalidatethetheoreticalformulas.[Results]Itisfoundthatthetheoreticalformulareflectsthedeformationoftheflexspline tooth ring in thebearing supporting section，but thereare smalldeviations in the front andrear sections.

KeyWords：Hertz theory; Flexible bearing;Meshing force;Load deformation