高中數學函數相關習題的解題分析

高中數學題目紛繁復雜、變化多樣，具有多種不同的呈現方式，對解題要求較高.在解題過程中，應當精準梳理題目中的相關要素，保持較強的邏輯判斷能力，加強對題干的分析，運用正確的解答方法，提升解題效率.

1高中函數相關習題的解題思路

在高中函數相關習題解題過程中，應當深人理解函數概念，在此基礎上完成對函數相關習題的解答.為此需對函數的定義有清晰的認識，即對于每一個自變量 x ，均有唯一的因變量 與之對應.這是解題的基礎，有助于判斷一個關系式是否構成函數.對基礎知識進行整合，形成系統的基礎知識體系，了解函數的分類，包括一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等，以便在解題時能快速識別并運用相應的性質.要全面掌握函數的性質，函數的性質包括奇偶性、單調性、周期性等.在解題過程中，要結合題目中的實際情況，對題目條件進行拆解，結合所學的函數基礎知識，深化題目解答.利用奇偶性可以簡化計算，利用單調性可以判斷函數值的大小關系，利用周期性可以找出函數的重復規律.利用導數、微分等工具研究函數的性質，強化對函數性質的全面理解與運用.

函數圖象是函數性質的直觀表現，在復雜函數解題過程中，利用函數圖象有助于提高解題效率.結合題目給定的條件，繪制函數圖象，觀察函數圖象的特征，判斷函數的單調性、極值點、零點等.利用圖象解決求最值、交點等一些實際問題.為了更好地分析函數圖象，可運用平移、縮放等常見的圖象變換方法，實現函數題目的順利解答.在解題過程中，要熟練掌握并運用求導公式、積分公式、泰勒公式等各種函數公式和定理，這些公式和定理是解決函數問題的有力工具，能夠使得解題效率事半功倍.

2分段函數的求解分析

在求解分段函數導數時，確定分段點，分別計算左、右兩側的導數值，求得分段函數在整個定義域內的導數值.畫出函數的圖象可以直觀地理解函數的變化趨勢和性質.通過圖象能夠判斷函數的單調性、極值等性質，從而更好地求解分段函數的導數.判斷函數的單調性確定函數的最值，通過求解函數的極值找到函數的拐點等.因此，靈活運用單調性、極值等性質，有助于求解分段函數的導數.在求解分段函數的導數時，根據實際情況判斷函數的最值點.如果函數在某一點處取得極值，那么該點可能是函數的最值點.函數的單調性也是判斷函數最值的重要依據[1].

（204例1求解函數 的導數.

在求解該題目時，理解題目所給的信息，包括題目中的已知條件、未知數與要求的結果，明確問題的背景與相關數學知識，確保對問題的含義有清晰的認識.仔細閱讀題目，確定問題的類型與結構，找出題目中的關鍵詞和語句，以便更好地理解問題的本質.根據問題的類型和結構，選擇合適的解題方法.對于代數問題，進行方程求解或函數分析，合理運用相關公理、定理或推論等.

分析當 x=0 時，由于 f^′(0) 存在，因此結合導數定義得出 f^′(0) ，當 x≠0 時， f(x) 關系式為初等函數 ，之后再運用導數法同求導數.

解當 x=0 時， 當 x≠0 時，

小結若函數 g(x) 在點 x₀ 連續，則得出 ，若在解題時難以精準判斷 f(x) 的導數 f^′(x) 是否在點 x_?0=0 連續，則推導不出

3復合函數相關題目的解題分析

求復合函數的導數是高中數學中的重要內容之一，在解題過程中，要求熟練掌握基本概念、求導法則與解題方法.求復合函數的導數遵循求導法則，即鏈式法則與乘積法則.鏈式法則是對復合函數中的外層函數關于中間變量求導，然后與中間變量的導數相乘.乘積法對復合函數中的中間變量和外層函數分別求導再相乘.轉化思想將復雜的問題轉化為簡單的問題，通過解決簡單問題求解復雜問題[2].

在求復合函數的導數時，將復合函數轉化為簡單的函數，簡化計算過程.換元思想是通過引入新的變量替換原來的變量，將復雜的問題轉化為簡單的問題.在求復合函數的導數時，使用換元思想簡化計算過程.常見函數的求導公式包括常數函數、冪函數、指數函數、對數函數等的求導公式，此類函數的求導公式可以直接應用于復合函數的求導計算中.確定了解題策略后，根據策略進行具體的計算.在這個過程中，要注意計算的準確性與細節，以免出現錯誤.在計算完成后，根據計算結果整合答案，注意答案的完整性與準確性，確保答案符合題目的要求[].

例2求下列函數的導數(其中 f(x) 是可導函數）：

（204號

分析對題目進行分析，題目中的兩個函數均為抽象函數.通過形式分析，把握該函數的結構特征，運用復合關系的求導法則進行求解.求解過程中，先得出中間變量，進而運用復合函數導數運算法則進行求導運算.若中間變量對所設變量求導，則無需再次假設，若中間變量可直接求導，則無需再選中間變量.

解 (1）解法1

若

則

解法2

（2）解法1

設 則

解法2

小結 在解題過程中，應當詳細把握題目中涉及的相關概念，加強對抽象函數概念的全面認知，實現對復合關系的精準判斷，將中間變量因素引入其中進行分析.在該題目解答中，應當有效把握 f^′(φ(x)) 與[f(φ(x))]^′ 兩者之間的區別， f^′(φ(x)) 為對中間變量 φ(x) 的求導， [f(φ(x))]^′ 為對自變量 x 的求導.

4函數單調性相關題目的解題分析

函數單調性是高中數學中的一個重要概念，也是解題過程中常用的工具.對于可導函數，單調性可以通過求導進行判斷.導數表示函數在某一點處的切線斜率，當導數大于0時，函數在該點處單調遞增；當導數小于0時，函數在該點處單調遞減.因此，求導并分析導數是解題的關鍵步驟.高次函數性質的判斷往往運用導數，結合函數單調性分析函數的圖象特征，綜合之后，得出函數的極值或最值.首先，求出函數的導數.假設函數為 f(x) ，則 f^′(x) 為函數的導數.如果 f^′(x)=0 ，說明函數在這一點處取得極值；如果 f^′(x)>0 ，說明函數在這一點處單調遞增；如果 f^′(x)<0 ，說明函數在這一點處單調遞減.因此，利用導數判斷函數的單調性，從而求出函數的極值或最值.高次函數的極值或最值可能不止一個，利用函數單調性分析函數的圖象特征，綜合之后，得出函數的極值或最值.

例3現有函數 f(x)=-x²+ax g(x)= x³ ，方程 f(x)=0 的一個根為6.（1）求函數 g(x) 與 f(x) 的圖象在第一象限內交點 A 的坐標；(2）如果直線 x=t(0tΨ_Ψ 的取值；（3）若函數 f(x) 圖象在點 M 處的切線是 l₁ .g(x) 的圖象在點 N 處的切線是 l₂ ，如果 l₁…l₂ 和 x 軸的交點是點 P 、點 Q ，求 P，Q 兩點之間距離的取值范圍.

解析 (1)方程 f(x)=0 為 -x²+ax=0 ，有一個根6，得出 a=6 ，那么 f(x)=-x²+6x ：結合 有 x³=-x²+6x ，解得 x=0，2 或 -3 當 x=2 時，有 y=8 ，因此函數 f(x) 與 g(x) 的圖象在第一象限內交點 A 坐標為(2，8).

（2）線段 MN 長度為 ∣MN∣=(-t²+6t)-t³= -t³-t²+6t ，若 h(t)=-t³-t²+6t ，那么 h^′(t)=-3t² （20-2t+6，作h'(t)=0，有t= ，結合 0 時 ，h^′(t)> 時 σh^′(t)<0 ，因此當 t= 時，函數 h(t) 為最大值．因此當 t= 時，線段 MN 長度最大.

(3）結合 M(t，-t²+6t)，f^′(x)=-2x+6 ，因此函數 f(x) 圖象在點 M 處的切線 l₁ 的斜率是-2t+6 ，得出 l₁ 的方程是 y-(-t²+6t)=(-2t+ 6)(x-t) ，作 y=0 ，有 2t-6；得出 N(t，t³)，g^′(x)=3x² ，因此 l₂ 的方程是 y-t³= 3t²(x-t) ，作 y=0 有 因此 由于 0 ，所以 P，Q 兩點之間距離的取值范圍為

5結語

在高中數學解題過程中，應當對題干中的相關信息進行分析與判斷，巧用解題方法，加強思維鍛煉，正確發揮題目中的相關要素的作用，理順思路，順利解題.

參考文獻：

[1]張椿悅.高中數學平面向量解題教學過程中的一點思考[J].中學數學，2023（21)：79-80.

[2]方亮.高中數學解題教學中證明題的解題技巧[J].數理天地（高中版），2023(21)：42-43.

[3]李鈺.分類討論思想在高中數學解題訓練中的實踐運用[J].數理天地（高中版），2023(21)：65-66.