圓錐曲線中弦長問題的分類與解題思路

1 已知方程求弦長

已知圓錐曲線中曲線的具體方程求相交弦長的具體值或范圍問題十分常見，需要聯合已知的直線和圓錐曲線方程，消元得到一元二次方程后運用韋達定理求解.也可以考慮運用更簡單便捷的表達方式，如等面積求底和高對相關弦長進行表示并運算求解.

例1已知圓 C：x²+y²=4 ，點 P 為直線 x+ （204號 y-4=0 上一動點，過點 P 向圓 c 引兩條切線 PA ，PB，A，B 為切點，則線段AB長度的最小值為

（204號 ： ： （C）4. 解如圖1所示，易知 |PA|=|PB| ，AB⊥PC .

則四邊形PACB的面積為： 化簡可得 在 RtΔPAC 中， 可知

要使線段 AB 長度最小，需要使 PC 長度最小，∣PC∣ 是圓心到直線 l：x+y-4=0 上任意點的距離，

故當且僅當 PC⊥l 時，即 ∣PC∣ 為圓心 C 到直線 l：x+y-4=0 的距離時， ∣AB∣ 最小，

此時

正確答案為（A）.

例2已知F是雙曲線C：x2-2 的左焦點，過點 F 的直線與 C 交于 ^A，B 兩點（點 ^A，B 在 C 的同一支上），且 |BF|=2|AF| ，則 |AB|=

解由曲線C；x2-2 ，可知 F（-2，0） ，

根據對稱性，設過點 F 的直線為：

x=my-2（mgt;0） 0

聯立

可得 （3m²-1）y²-12my+9=0 設 A（x₁，y₁） ， B（x₂，y₂） ，

0

由 ∣BF∣=2∣AF∣ ，則有 ，

又BF=（-2-χ2，-y2），

，所以 -y₂=2y₁② ，聯立 ① 式可得

則有 解得 或 （舍），

所以

所以

2 已知弦長求方程

已知弦長求直線或圓錐曲線的具體方程也同樣是常見的一類提問方式，要求學生能根據已知的弦長逆向思考求出未知的方程式.求解這類問題需要結合弦長特點，列出與未知參數有關的方程式并解答，還需要驗證所求值是不是唯一符合題意的答案.

例3 已知雙曲線C： ，過點P（1，8） 的直線 ξ_l 與 C 相交于 A，B 兩點，且 P 為線段AB的中點，則直線 ξ_l 的方程為

解 設 A（x₁，y₁） ， B（x₂，y₂） ，則有

兩式相減可得 即 x-x2=4，

所以 因為點 P 是線段AB的中點，

所以 x₁+x₂=2，y₁+y₂=16 ，所以

由點斜式方程可得直線 ξ_l 的方程式為： y-8= ，即 x-2y+15=0 ，經檢驗符合題意，故直線 ξ_l 的方程為 x-2y+15=0

例4如圖3，設拋物線 C：y²=2px（?gt;0） 的焦點為 F ，點 M 在拋物線 C 上， ，若 y 軸上存在點 A（0，2） ，使得 ，則 p 的值可以是

解由題意可得AM ，則以 MF 為直徑的圓過點（0，2）， ，設點 M（x，y） ，由拋物線定義可知 ，可得 ，因為圓心是 MF 的中點，所以根據中點坐標公式可知，圓心橫坐標為 ，由已知可得圓的半徑為 ，由此可知該圓與 軸相切于點 A（0，2） ，故圓心縱坐標為^2，M 點縱坐標為4，即點 ，代人拋物線方程得 p²-10p+16=0 ，解得 p=2 或 ?=8

3結語

上述分別對已知弦長求具體方程或已知方程式求弦長兩類問題做出具體的分類與分析.其中弦長的求解需要靈活運用韋達定理，方程式的求解則需要逆向思維的靈活運用.這些求解的思路與題型分類，都是學生在學習過程中需要理解和掌握的內容.

參考文獻：

[1]劉光明.深度研究提素養—以圓錐曲線中的距離與弦長問題為例[J].數理化解題研究，2023（13）：9一12.

[2]劉汝浩.求解圓錐曲線中的兩類弦長問題[J].中學生數理化（高二高三版），2019（4）：31.