平面向量數量積問題的常規解法分析

1基底法

基底法主要是選擇一對已知夾角和模長的向量作為基底向量，根據矢量原則將問題所求轉化為基底向量相關的表達式，進而運算求解的一種方法.這種方法適用于已知邊長和角度的向量數量積問題，具體解答步驟為： ① 根據所給條件，找出一對已知夾角大小和模長的向量作為基底向量； ② 結合向量的矢量原則，用基底向量表示問題所求向量，得到具體的表達式； ③ 代入具體值，運算求解得出最終答案.

例1在 ΔABC 中， ∠A=60^°，AB=3，AC=2 .點 D 是 AC 的中點，點 E 在 ?AB 邊上，且 BD與 CE 交于點 M ，點 N 是 BC 中點，求 業

剖析問題已知模長和夾角角度大小的線段有 AB，AC ，首先考慮將 作為基底向量，其次根據向量的矢量性，將問題所求 用基底向量進行表示，得到相關表達式后代入具體值，即可求得數量積大小.

解取 CE 的中點 F ，連接 DF ，易得

因為 ，

所以

所以 0

即

因為 ，

所以

因為 ，

2投影法

投影法具體是指根據向量在另一向量上的投影大小，借助線段之間的幾何關系，從而對數量積問題做出解答.投影法適用于存在幾何關系的向量數量積問題，具體解題步驟為： ① 憑借已知條件構造問題所求向量的投影； ② 根據投影構造幾何關系，結合直角、等腰等幾何性質求出數量積相關值，再代入表達式中求出具體值.

例2如圖1所示，在 ΔABC 中， AD⊥AB ， ， ，求

剖析由于給出一些幾何關系的條件，可考慮運用投影法解題.首先在 方向找到 投影的線段 AE ，結合已知的邊長和角度構造三角形，求出線段 AE 的具體值，即可將數量積問題轉化為線段

AD . AE 的乘積問題，最終求出具體值.

解過點 C 作 CE⊥AD 交 AD 延長線為點 E ， 在 方向上投影線段為 AE ，因為 AD⊥AB ，所以 RtΔABD～RtΔED ，因為 ，所以 故

3坐標法

坐標法通過建立直角坐標系，將向量用具體坐標形式表示，并根據坐標運算求出問題所求向量數量積.坐標法適用于大多數平面向量數量積問題，具體解題步驟為： ① 根據已知條件建立直角坐標系，并將所求向量具體坐標化； ② 憑借坐標運算出問題所求的向量數量積大小即可.

例3在 RtΔAOB 中， ∠AOB=90^° OA=2 ，OB=3 若 _AD 與 BC 交于點 M ，則 ·

剖析首先根據已知條件建立直角坐標系，分別得到 O，M，A，B 的點的具體坐標，使所求數量積的向量坐標化，其次根據向量坐標運算規則求出 的乘積大小，即可對問題做出解答.

解以 為 x，y 軸正方向建立直角坐標系，如圖2所示.

則 O(0，0) ， A(2，0) ，

直線 BC 方程為： 0

直線 AD 方程為：

聯立 BC 和 AD 的直線方程可得點

所以

，

所以OM （2

4結語

求數量積問題作為高中數學常考的一類問題，運用基底法、投影法、坐標法能夠做出有效解答.不同方法對應的解題思路和步驟各不相同，掌握更全面的解題方法有助于學生解答不同形式的數量積問題，有助于學生快速采取正確合理的思路解答問題.通過對上述例題的分析，學生在學習過程中應針對不同的問題，靈活解答，以此提高解題的效率.

參考文獻：

[1]劉一銘.求解平面向量數量積問題的幾種路徑[J].語數外學習（高中版下旬），2024（11）：55-56.

[2]于道洋，寧連華.對平面向量教學的深度思考[J].數學通報，2021，60(7):29—30.