妙用仿射變換，化橢圓為圓

橢圓作為高中數學圓錐曲線部分的重要內容，因其抽象的圖形和復雜的運算，常常成為許多學生的學習難點之一.在處理橢圓問題時，僅僅依賴機械運算往往無法取得理想效果，應當學會“少算多思”，以合適的數學視角去分析和轉化已知條件與所求目標.正如數學教育家波利亞所言：“完善的數學思想方法猶如啟明星，引導人們找到正確的道路.”橢圓與圓之間存在內在相似性，提供了運用“轉化與化歸”數學思想的契機.

保持平面中點組的平直性（變換后直線依然是直線）和平行性（點組的相對位置關系不變）的可逆映射被統稱為仿射變換，且仿射變換中蘊含著深刻的矩陣思想.早在學習三角函數圖象時，學生便通過正余弦函數的伸縮變換初步體會到了坐標變換的奧妙，如平移、縮放和旋轉等變換都是學生所熟悉的典型仿射變換.因此，在學生已有的知識基礎上，教師通過合理地組織教學內容并引入相關概念，就能幫助學生突破“見樹不見林”的局限，豐富橢圓的相關知識網絡，從而在面對復雜的橢圓問題時不會束手無策.

設橢圓 C ，作仿射變換 則可得到單位圓 C^′:x^′2+y^′2=1 ，且保

持如下性質不變：

① 直線與橢圓的位置關系不變（相切、相交、相

離）；

，直線變換前后的斜率 比不變；

，線段變換前后的 長度比不變；

，圖形變換前后的 面積比不變.

1 定值定點問題

例1（2022新高考 I 真題)已知直線 ξ_l 與橢圓 在第一象限交于 A，B 兩點， ξ_l 與 x，y 軸分別交于 M，N 兩點，且 ∣MA∣=∣NB∣，∣MN∣= ，求 ξ_l 的方程解析式.

解作仿射變換 則橢圓變

為圓：

令 A，B，M，N 在該變換下對應點分別為 A^′ ，B^′，M^′，N^′ ，

取 A^′B^′ 的中點 C^′ ，連接 OC^′ ，如圖1所示.

由垂徑定理可知 A^′C^′=B^′C^′ ，且 OC^′⊥A^′B^′

又 |MA|=|NB| ，根據仿射變換的不變性可 知 ∣M^′A^′∣=∣N^′B^′∣

故 M^′C^′=N^′C^′ ，因此 RtΔOM^′N^′ 為等腰直角三角形.

則 又 ，則 所以 由此可得 N(0，2)

故直線 ξ_l 的方程為： （2號

評析本題主要考查了橢圓與直線相交弦長的問題，由題干中所給的長度相等不難聯想到圓中垂徑定理的有關性質，于是利用仿射變換，將圖象規則化，在直角三角形中解決，可以極大地簡化計算過程.

2 三角形面積的問題

例2（2024新高考 I 真題）已知 A(0，3) 和 ，橢圓 c 上兩點.

（1）求 c 的離 ∴ 率；(2）若過點 P 的直線 ξ_l 交 c 于另一點 B ，且

ΔABP 的面積為9，求 ξ_l 的方程.解 （2）作仿射變換 φ 則橢圓 c 變為圓 C^′:x^′2+y^′2=1 不妨設 A，B，P 在該變換下的對應點分別為

A^′，B^′，P^′ ，則

所以 可得直線 A^′P^′ 的解析式為 （20又點 B^′ 在圓 C^′:x^′2+y^′2=1 上，不妨設 B^′(cosθ，sinθ) ，由點 A^′ 到直線 B^′P^′ 的距離等于三角形該邊上的高可知： 即 解之可得 或 所以 B^′(0，-1) 或 即 B(0，-3) 或 則對應斜率分別為： 故直線 ξ_l 的方程為： l₁:3x-2y=6 或 l₂:x-2y =0

評析此題常規方法是設出直線 PB 的方程或直接設出 B 點坐標，通過三角形面積為定值與橢圓方程建立等式進行運算，但整個過程較為煩瑣.而仿射變換通過化橢為圓，利用三角換元簡化了計算過程.

3結語

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.”正因為圓錐曲線的波謫云詭，才造就了其獨一無二的數學之美.不論是橢圓，還是雙曲線、拋物線，只要善于抓住題干中的基本要素，再從“轉化與化歸”等角度分析問題，難題就能夠迎刃而解.