單元整體視域下基于思維發(fā)展的數(shù)學教學實踐與研究

數(shù)學是思維的體操.復習教學可幫助學生進一步鞏固已有認知結(jié)構(gòu)，促進思維與學力的發(fā)展．然而，當前初中數(shù)學復習教學普遍存在“碎片化\"現(xiàn)象，一個個零散知識點的復習難以幫助學生構(gòu)建完整的認知體系，更不利于知識深度與廣度的延伸.基于核心素養(yǎng)實施大單元復習教學，可幫助學生更好地整理知識，形成結(jié)構(gòu)清晰的知識脈絡(luò)，拔高思維，提高復習成效.二次函數(shù)屬于初中階段重要的基礎(chǔ)性知識，蘊含著豐富的數(shù)學思想方法.本文以其復習教學為例，展開教學實踐與分析.

教學過程設(shè)計

1.舊知梳理，初建知識結(jié)構(gòu)

師：通過之前的學習，大家認為函數(shù)可以用哪幾種形式來進行表示？

生1：可用表格、圖象與解析式來表示.

師：現(xiàn)在請大家回顧二次函數(shù)的表示方式，說一說你學習本章節(jié)的收獲.

設(shè)計意圖函數(shù)的三種不同表示形式是函數(shù)最基本的內(nèi)容，將此作為復習教學的著手點，可帶領(lǐng)學生從整體上把握復習方向.要求學生自主總結(jié)“二次函數(shù)\"章節(jié)的學習收獲，為接下來揭露知識間的關(guān)聯(lián)夯實基礎(chǔ).隨著回顧與整理舊知，學生提煉出本章節(jié)所應(yīng)用的研究方法為：“實例→概念特殊到一般圖象性質(zhì)關(guān)聯(lián)方程與不等式，一般應(yīng)用”整個過程滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想．如此設(shè)計幫助學生學會從整體視域分析與整理所學知識，為形成結(jié)構(gòu)化的知識體系奠定基礎(chǔ).

2.以形助數(shù)，整理知識框架

數(shù)形結(jié)合是基本數(shù)學思想之一.為了提高復習成效，教師在教學設(shè)計時可根據(jù)實際需要設(shè)計具有啟發(fā)性的問題，引導學生基于“以形助數(shù)\"的視角理解問題本質(zhì)，形成舉一反三的解題能力.

問題1如圖1，已知 x=-1 為二次函數(shù) y=ax²+bx+c 的對稱軸，且點（-3，0）位于該拋物線上.

（1）觀察圖1后有什么發(fā)現(xiàn)？（2）點（2，2）是否處于該拋物線上？理由是什么？

生2：根據(jù)題設(shè)條件與圖象所提供的信息，已知點（-3，0）位于該二次函數(shù)的圖象上，同時 為該函數(shù)的對稱軸，因此可確定點（1，0）為該二次函數(shù)圖象與 軸的另一個交點.

師：不錯，除了獲得另一個交點之外，根據(jù)\"對稱軸為 x=-1 ”這一條件還能獲得什么？

生3：當 xlt;-1 時， y 值會隨著 x 值的增大而逐漸減小；當 xgt;-1 時， y 值會隨著 x 值的增大而逐漸增大；當x=-1 時， y 取最小值.

生4：通過- =-1，有結(jié)論2a=b.

師：非常好！根據(jù)二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點可發(fā)現(xiàn)什么？

生5：可知方程 ax²+bx+c=0 的解為-3與1.

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生6：有，我發(fā)現(xiàn) ax²+bx+clt;0 的解集是 -32+bx+cgt;0 的解集是_xgt;1 或 xlt;-3

師：通過以上分析，你們有什么想法？

生7：在解決問題時，我們應(yīng)當采用聯(lián)系的眼光觀察圖象，函數(shù)圖象中蘊含著對應(yīng)方程的解．通過對圖象片段的深入分析，我們可以揭示出對應(yīng)不等式的解集.

師：總結(jié)得很好，除了以上結(jié)論之外，大家根據(jù)問題條件與圖象，還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？

生8：發(fā)現(xiàn)拋物線與坐標橫軸的交點存在兩個，由此可確定 b²-4acgt; 0；結(jié)合函數(shù)圖象的開口方向，明確agt;0 ;再根據(jù)函數(shù)圖象與坐標縱軸在負半軸相交，確定 （24

師：那么，0與 abc 之間存在怎樣的大小關(guān)系？

生9：因為 ?b=2a，agt;0 ，所以 bgt;0. 因為 -cosθ ，所以 abclt;0

師：那么， 9a+3b+c 與0之間又存在怎樣的大小關(guān)系呢？

（學生沉默）

師：這里提到的 9a+3b+c 可怎么理解？

生10：在 χ_x 的值為3的條件下， _?y= 9a+3b+c ．結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當 x=3 時，ygt;0 ，由此確定 9a+3b+cgt;0.

師：分析得很合理，那么二次函數(shù)的開口方向、最值、增減性、對稱性、對應(yīng)方程以及不等式該怎樣關(guān)聯(lián)起來呢？其中與對稱軸相關(guān)的有哪些性質(zhì)？與坐標橫軸交點相關(guān)的又有哪些性質(zhì)？

生11：與拋物線對稱軸相關(guān)的有函數(shù)的最值、對稱性以及增減性;與坐標橫軸交點相關(guān)的有相對應(yīng)的方程以及不等式.

師：那么，（2，2）是這個函數(shù)圖象上的點嗎？

生12：補全圖象發(fā)現(xiàn)（2，2）大致在圖象上.

師：根據(jù)已知條件，當前能確定的函數(shù)圖象的性質(zhì)有哪些？

生13：分別有對稱軸、開口方向以及與坐標橫軸的交點.

為了深化學生的認識，教師借助幾何畫板操作函數(shù)圖象—通過參數(shù) a 值的變化來改變函數(shù)圖象的開□方向，讓學生直觀感知參數(shù) 對開口方向的影響，并要求學生表達自己的感悟.

在幾何畫板的演示下，有學生很快就反應(yīng)過來，提出：判斷點（2，2）是否在函數(shù)圖象上，不能以肉眼直觀來判斷，而應(yīng)從函數(shù)關(guān)系式著手進行精準判斷.但根據(jù)題設(shè)條件并不能直接確定二次函數(shù)的關(guān)系式.

師：既然不能確定函數(shù)關(guān)系式，現(xiàn)在給它添加一個條件，盡可能讓函數(shù)關(guān)系式簡單且易分析

在教師的引導下，大多數(shù)學生傾向于使用“頂點式”，也有部分學生選擇了“交點式”，而只有少數(shù)學生運用了“一般式”．從解題效果來看，教學成果顯著.數(shù)形結(jié)合思想使得整個關(guān)系式和知識鏈的聯(lián)系更加明確.

設(shè)計意圖思維的發(fā)展需要經(jīng)歷一個循序漸進的過程，此處以一道開放性的問題為引子，意在讓各個認知層次的學生都能積極參與到問題的探索與思考中來，形成主動參與研究的習慣.如此設(shè)計，旨在取得如下幾個成效： ① 關(guān)于二次函數(shù)性質(zhì)的研究，內(nèi)容比較多，允許學生逐步探索與完善，并不一定要一次性構(gòu)建完整的知識體系，關(guān)鍵在于讓每個認知層次的學生都有所收獲；② 在教學引導時，教師需要關(guān)注對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，例如設(shè)計關(guān)于點（2，2）是否處于函數(shù)圖象上之類的問題，可逐步優(yōu)化學生的思維，幫助學生形成嚴謹?shù)乃伎剂晳T； ③ 關(guān)于問題的解決過程，該從何處著手，應(yīng)用什么思想方法等，都是促使學力發(fā)展的基礎(chǔ).

3.數(shù)形關(guān)聯(lián)，發(fā)展數(shù)學思維

問題2 （1）怎樣判斷一個二次函數(shù)圖象過哪幾個象限？

（2）分析二次函數(shù) y=x²+2x+k+5 的圖象會經(jīng)過坐標系上的哪幾個象限.

（3）若明確二次函數(shù) y=（k-1）x²+ 2x+k+5 的圖象過第4象限，則k的取值范圍是什么？

生14：一個二次函數(shù)具體過哪幾個象限需要分類討論，在不同的情況下，結(jié)論各異，最終可能涉及第2、第3、第4象限，但不可能僅過一個象限.

為了深化學生的理解，教師在此處有針對性地提出了兩個追問，引發(fā)學生深入探究：

追問1目前我們已經(jīng)確定了二次函數(shù)有三種不同的表示方式，請各小組自行選擇一種方式，舉例說明幾個不同的二次函數(shù)，并指出它們分別經(jīng)過哪些象限.

追問2在什么條件下函數(shù)圖象分別會過第2、第3、第4象限呢？

設(shè)計意圖層層深入且相互關(guān)聯(lián)的問題能夠有效滲透數(shù)學中的類比、分類、數(shù)形結(jié)合等核心思想，對于培養(yǎng)學生的“數(shù)學思維”至關(guān)重要.隨著追問技巧的運用，學生將學會以哲學的視角審視問題條件中的“變”與“不變”，并在分類討論的基礎(chǔ)上進一步提升自己的研究能力.函數(shù) y=x²+2x+k+5 為一般式，因為 ^a，b 的值已經(jīng)確定下來，所以對稱軸與開口方向也是明確的，只要分別分析過不同象限的情況即可；二次函數(shù)y =（k-1）x²+2x+k+5 雖然也是一般式，但 ^.a，c 的值不明確，因此需將 ^*k- 1\"分成三類不同情況進行討論．隨著一個個問題的突破，學生的思維拾級而上.

4.實際應(yīng)用，鞏固提煉升華

問題3若明確二次函數(shù) y=ax²+ bx+c（a≠0） 中的y值與相對應(yīng)的 Φ_x 值如表1所示：

師：受以上探索的啟發(fā)，大家覺得該怎樣探索該函數(shù)的特征呢？表格中的數(shù)據(jù)能帶給你們什么啟示？

學生普遍認為需要將表格中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象，通過識別對稱點來確定函數(shù)的頂點和對稱軸.利用圖象的直觀性，學生能夠觀察到函數(shù)不同部分的增減趨勢，并通過圖象分析來求得函數(shù)對應(yīng)方程的解以及對應(yīng)不等式的解集．此外，學生還能夠從多個角度推導出二次函數(shù)的解析式，并分別計算出m ，n的值.

設(shè)計意圖為學生提供表格，有助于他們發(fā)現(xiàn)函數(shù)中各個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．隨著數(shù)形結(jié)合思想的深入應(yīng)用，學生對二次函數(shù)性質(zhì)的理解得到了進一步的完善，這促使他們學會運用已有的學習經(jīng)驗來分析和解決問題.這樣的設(shè)計表明，要揭示二次函數(shù)的本質(zhì)，關(guān)鍵在于靈活地轉(zhuǎn)化“數(shù)”與“形”的概念，例如將表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖象，使問題得到有效解決.

思考與感悟

1.明確方法，奠定思維基礎(chǔ)基于單元整體視域來設(shè)計復習教學方案，首先需要明確本章節(jié)研究的主題是什么，研究的方法是什么，涉及哪些數(shù)學思想方法，等等．本節(jié)課的復習主題為“二次函數(shù)”，因此從函數(shù)的三種不同表達方式出發(fā)，為深入探索二次函數(shù)的表格特征、解析式以及圖象性質(zhì)夯實基礎(chǔ)．至于具體該如何深人探索，則需要將這三種表達方式進行靈活轉(zhuǎn)化.

縱觀本節(jié)課的幾個教學環(huán)節(jié)，整個流程都基于“探索什么內(nèi)容，該如何研究\"而展開．例如問題1圍繞圖象展開教學，使核心概念自然浮現(xiàn).如根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的增減性、對稱性、最值以及^a，b 之間的關(guān)系等；根據(jù)圖象與坐標橫軸的交點坐標發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程以及不等式之間存在怎樣的聯(lián)系；對于函數(shù)圖象是否過點（2，2），引導學生從不同表示方式去探索，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維.

通過上述分析可以看出，在一節(jié)復習課中，研究主題和方法的選擇至關(guān)重要.這些并非通過教師的直接教授或告知來實現(xiàn)，而是應(yīng)當通過引導學生自主觀察、提煉和總結(jié)來完成．這一過程是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的關(guān)鍵，也是實踐深度學習理念的基石.

2.厘清脈絡(luò)，培育結(jié)構(gòu)思維

盡管在新課程中，學生接觸到的數(shù)學知識點看似零散，但實際上，每一個知識點都是數(shù)學體系中不可或缺的一部分，并且在其中占據(jù)著關(guān)鍵位置.此外，這些知識點之間存在內(nèi)在聯(lián)系．因此，在復習階段，教師應(yīng)當引導學生梳理知識的內(nèi)在脈絡(luò)，這不僅是培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維的基礎(chǔ)，也是引導學生學會從宏觀角度審視和思考問題的關(guān)鍵

梳理知識結(jié)構(gòu)最好的辦法就是鼓勵學生自發(fā)地從知識本質(zhì)、思維策略、研究途徑等多個維度進行剖析，并盡可能地運用思維導圖將這些元素有機整合，形成條理分明的知識架構(gòu).本節(jié)課的開始階段，在教師的引導下，學生已經(jīng)將研究方法與相關(guān)的思維策略巧妙地結(jié)合起來，并通過簡潔的思維導圖形式進行了呈現(xiàn).這種結(jié)構(gòu)清晰、形式簡潔的表達方式能夠顯著增強學生對教學內(nèi)容、研究途徑和思維策略的理解，為后續(xù)正確遷移知識和方法打下堅實的基礎(chǔ)

3.開放問題，拓寬思維空間

思維的空間決定了思維的容量，想要提高思維容量就要想辦法拓寬學生的思維空間.開放性問題可給學生提供更廣闊的思維空間，如開放問題的條件、結(jié)論或解題方法等，可讓課堂在豐富的思維碰撞中有效生成.在本節(jié)課的教學過程中，教師精心設(shè)計了多維度的開放性問題，引導學生從不同角度思考和分析．一些學生更是從多個層次觀察和解析問題，隨著認識的逐步深人，學生的思維能力得到逐步提升.特別是課堂上精彩的互動和交流，充分展現(xiàn)了學生的智慧.學生親身體驗了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的思維過程以及類比分析等方法，有效地拓展了思維視野.

總之，數(shù)學知識是載體，數(shù)學思想是通往數(shù)學素養(yǎng)目標的“橋梁”，數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學思想方法里的\"DNA”，是數(shù)學學科育人的價值所在[1單元整體視域下的復習教學不僅要關(guān)注知識容量，還要體現(xiàn)思維容量．只有把握好教學方向，才能從真正意義上促使學生掌握知識要點、研究方法與數(shù)學思想等，這些都是提升抽象能力、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識等數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)

參考文獻：

[1]方長林.聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)設(shè)計單元一課時教學一以高中“一元二次函數(shù)、方程和不等式”單元為例[J].數(shù)學通報，2021，60（6）：30-35.