關(guān)于數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用探究教學(xué)

數(shù)學(xué)建模思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，該思想要求學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言和方法，通過抽象、簡化來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題.模型構(gòu)建過程需要學(xué)生具備觀察、分析、抽象和轉(zhuǎn)化的能力.教師可結(jié)合實例引導(dǎo)學(xué)生梳理總結(jié)數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用策略.

建模應(yīng)用的實例探究

數(shù)學(xué)建模思想在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，涉及求幾何圖形面積、情境轉(zhuǎn)化分析、行程距離分析等實際問題.教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生梳理解析思路，掌握數(shù)學(xué)模型構(gòu)建策略，并反思解題過程，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

1.建方程，解幾何

利用數(shù)學(xué)建模思想求解幾何圖形面積，整體思路為：分析幾何圖形，提取幾何特性，建立方程模型推導(dǎo)關(guān)鍵條件，最終完成幾何面積求解.

例1如圖1所示，將兩張矩形紙條交叉疊放在一起，使得一組對角的頂點重合．矩形紙條的長為8，寬為3.若重疊部分為四邊形AGCH，則其面積為

思路分析求四邊形AGCH的面積，先分析四邊形性質(zhì)，再推導(dǎo)其邊長，確定需要構(gòu)建的面積模型.對于其邊長推導(dǎo)，可借助數(shù)學(xué)建模思想構(gòu)建方程求解.

過程構(gòu)建因為四邊形ABCD，AECF均是矩形，且兩個矩形全等，可推知 CH//AG，AH//CG ，可判斷四邊形AHCG為平行四邊形.

在 ΔADH 和 ΔCFH 中，有 ∠D= ∠F ， ∠AHD=∠CHF，AD=CF ，則ΔADH?ΔCFH（AAS ），可得 AH= CH ，所以四邊形AHCG為菱形，后續(xù)可構(gòu)建菱形面積模型來求解.

設(shè) AH=CH=x ，則可得 DH=CD- CH=8-x ，在 RtΔADH 中，由勾股定理可得 AH²=AD²+DH² ，則 x²=3²+（8-x）² 可解得 所以四邊形AHCG的面積可以表示為S菱形AHCC

解后反思求解四邊形面積關(guān)鍵在于推導(dǎo)出CH的長．學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模思想，構(gòu)建線段的代數(shù)方程，通過解方程獲得線段長．方程模型在求解幾何問題中十分常見，其構(gòu)建策略有等面積構(gòu)建、勾股定理構(gòu)建、相似比構(gòu)建等.

2.建幾何，破實際

數(shù)學(xué)建模思想可以用于解決生活中的實際問題，基本思路為：分析生活實際問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，通過分析數(shù)學(xué)模型性質(zhì)，構(gòu)建解題思路，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來求解.

例2如圖2（1）所示，兩棵樹的高度分別為 14m 和 2m ，兩棵樹間距為5m. 若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則需要飛行的直線距離為 m.

思路分析本題目求小鳥飛行距離，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建幾何模型，通過分析幾何性質(zhì)，結(jié)合已知條件來推導(dǎo)線段長.整體思路為：理解題意 $$ 建立數(shù)學(xué)模型 $$ 分析性質(zhì)求解，

過程構(gòu)建根據(jù)題意繪制圖2（2） 所示的圖形，則 AB=14m，CD=2m. BD=5m ，問題為求解線段A c 的長.

過點 c 作AB的垂線，設(shè)垂足為E ，進一步結(jié)合題意可知 AB⊥BD CD⊥BD ，所以 AB//CD ，根據(jù)平行線的間距相等可得 CE=BD=5m ，同理可得 BE=CD=2m ，則A _1E=AB-CD=12m 利用勾股定理可得A 13m ，從而可確定小鳥需要飛行的直線距離為 13m 業(yè)

解后反思求解小鳥飛行距離時運用了數(shù)學(xué)建模思想，即基于生活問題情境來構(gòu)建幾何模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.建模過程需要關(guān)注兩點：一是把握題目中的關(guān)鍵位置、距離條件，并將其轉(zhuǎn)化為幾何中的點和線；二是深度解讀模型，提取特殊圖形，如矩形、直角三角形等.

3.建函數(shù)，解行程

運用數(shù)學(xué)建模思想解決行程與距離問題的基本思路為：借助行程與距離條件，構(gòu)建函數(shù)模型，通過分析計算來求解．建模時需要借助“時間 × 速度 距離\"這一公式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

例3周末小明從家里出發(fā)步行去公園散步，公園與家的距離為a米，小明的步行速度為50米/分鐘.而小明的哥哥也從家出發(fā)去散步，他在到達公園后立即以原速度返回家中，兩人與家的距離y（米）和時間 x （分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖3所示，試回答下列問題.

（1）a= ；（2）求CD所在直線的解析式；（3）試求小明出發(fā)后與哥哥第二次相遇的時間.

思路分析本題目為行程相遇問題，給出了相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系圖，具體求解時可采用數(shù)學(xué)建模思想，利用函數(shù)模型來分析計算.通過提取關(guān)鍵信息，推導(dǎo)直線解析式.

過程構(gòu)建（1）求 a 的值，根據(jù)公式“路程 ：= 速度 × 時間\"求解，由圖象可得 a=12×50=600 （米）.（2）求CD所在直線的解析式，提取關(guān)鍵信息，把握其中點C和 D 的坐標，利用待定系數(shù)法即可解得.

設(shè)哥哥返回家的過程中 y 與 χ_x 之間的函數(shù)關(guān)系式是 γ=kx+b ，哥哥的單程時間為 （12-6）÷2=3 ，則點 C（9，600） .D（12，0） ，分別將點 c 和點 D 坐標代入解析式中，可解得 則 CD 所在直線解析式為 γ=-200x+2400

（3）該問求兩人第二次相遇的時間，可從函數(shù)視角分析，先求出小明的行程函數(shù)關(guān)系式，再聯(lián)立哥哥的行程函數(shù)關(guān)系式求解時間

設(shè)小明從家出發(fā)過程中 y 與 Φ_x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=k₂x ，由圖可知點A（12，600），將其代入解析式中，可解得 k₂=50 ，則函數(shù)關(guān)系式為 y=50x 聯(lián)立 可解得 _x=9.6 即小明出發(fā)后與哥哥第二次相遇的時間為9.6分鐘.

解后反思上述解析行程與距離問題時運用數(shù)學(xué)建模思想構(gòu)建函數(shù)解析式，利用函數(shù)關(guān)系來分析計算求解.該類問題的建模思路為“解讀條件，提取關(guān)鍵點 $$ 分析函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)解析式 $$ 利用函數(shù)解析式，計算求解”．求解時考慮到實際問題具有限定條件，需關(guān)注函數(shù)解析式的變量取值范圍.

4.建不等式，算利潤

運用數(shù)學(xué)建模思想解決利潤問題的常見方法是建立不等式．構(gòu)建不等式后，有兩種思路：一是利用不等式性質(zhì)來分析最值，計算最大利潤；二是解不等式組，分析最佳方案.

例4某商店銷售1臺A型電腦和2臺B型電腦的利潤共1000元，銷售2臺A型電腦和1臺B型電腦的利潤共1100元.

（1）求A型電腦和B型電腦的每 臺銷售利潤.

（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不少于A型電腦進貨量的 ，設(shè)購進A型電腦 m 臺，這100臺電腦的銷售總利潤為P元.

① 求P關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式；

② 該商店購進A型電腦、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大，最大總利潤是多少？

思路分析本題目是與利潤相關(guān)的問題，可采用數(shù)學(xué)建模思想來求解，通過引入不等式，解不等式來做出判斷.

過程構(gòu)建（1）簡答，可求得每臺A型電腦利潤400元，每臺B型電腦利潤300元.

（2）該問分兩小問，分別求解.

① 根據(jù)題意可得 P=400m+300

（ 100-m， ，則 P=30000+100m

② 求解最大總利潤，可知 100-""，則""，分析可知當(dāng) m=57 時， P_ΠR=30000+100×57= 35700元），即最大總利潤是35700元.

解后反思利用數(shù)學(xué)建模思想分析利潤問題時需要注意兩點：一是理解利潤問題中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建不等式或不等式組；二是解讀不等式組，建立利潤與不等式的聯(lián)系.

建模應(yīng)用的教學(xué)思考

1.解讀數(shù)學(xué)建模，把握思想內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模思想是初中數(shù)學(xué)的重要思想方法，在解題中應(yīng)用廣泛.數(shù)學(xué)建模思想教學(xué)應(yīng)分兩個階段進行：第一階段，結(jié)合思想內(nèi)容具體解讀，使學(xué)生明晰該思想的基本策略，即通過抽象、簡化來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；第二階段，數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合具體問題來解讀，如構(gòu)建方程模型解決幾何問題，構(gòu)建幾何模型解決實際問題，構(gòu)建函數(shù)模型解決行程問題等.

2.探索構(gòu)建過程，指導(dǎo)破題思路

探索數(shù)學(xué)建模思想的構(gòu)建過程，指導(dǎo)學(xué)生掌握模型構(gòu)建思路是十分必要的．整個過程教師可分步進行：第一步，思考模型構(gòu)建思路；第二步，結(jié)合具體問題分析；第三步，探索策略完成解析.教學(xué)時教師要注意啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生充分感知建模過程，必要時可以采用設(shè)問引導(dǎo)的方式.問題設(shè)計注意有啟發(fā)性，引導(dǎo)學(xué)生逐步切入主題，讓學(xué)生充分思考，探究構(gòu)建模型，掌握模型策略.

3.開展解后反思，總結(jié)思路方法

解題后進行反思是提升學(xué)生思維能力的重要方式，完成解題探究后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思整個解題過程，總結(jié)解題方法.學(xué)生可從以下三個視角進行反思：視角一，問題探究的本質(zhì)，挖掘關(guān)鍵信息，體會轉(zhuǎn)化思路；視角二，數(shù)學(xué)建模思想構(gòu)建的具體過程，如構(gòu)建方程模型推導(dǎo)菱形邊長，構(gòu)建函數(shù)模型計算相遇時間等；視角三，問題分析的技巧方法，如平行線性質(zhì)、不等式構(gòu)建等，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗.

4.適度拓展探究，促進思想升華

在數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用探究中，教師應(yīng)注意適度拓展，引導(dǎo)學(xué)生思考該模型的其他應(yīng)用情景，如三角函數(shù)問題、拋物線問題等，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用思維.教師可從三個方面設(shè)置探究問題：一是拓展問題情境，精設(shè)問題，突出數(shù)學(xué)建模思想；二是拓展數(shù)學(xué)建模方法，包括局部建模、整體建模等；三是經(jīng)歷解析過程，注重方法綜合，如與分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等思想結(jié)合構(gòu)建解題思路，促進學(xué)生思想升華.

寫在最后

數(shù)學(xué)建模思想是學(xué)生在中學(xué)階段需要重點掌握的思想之一，教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生明晰其思想內(nèi)涵與構(gòu)建方案.上述總結(jié)的四種數(shù)學(xué)模型，涉及構(gòu)建方程模型、構(gòu)建幾何模型、構(gòu)建函數(shù)模型、構(gòu)建不等式模型，知識內(nèi)容十分豐富.具體教學(xué)中，教師可采用探究式教學(xué)法，讓學(xué)生自主分析思考，以提升學(xué)生思維能力.