讓幾何定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)在探索活動(dòng)中自然生成

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)\"）強(qiáng)調(diào)“幾何的學(xué)習(xí)要通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來(lái)研究圖形，在直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，從基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理.[1”而在實(shí)際教學(xué)中，多數(shù)教師存在幾何定理推導(dǎo)“走形式\"的現(xiàn)象，往往直接告知學(xué)生結(jié)論，然后開(kāi)始“題海式\"做練習(xí)題，“剝奪\"了學(xué)生思考和發(fā)現(xiàn)的“權(quán)利”，容易導(dǎo)致學(xué)生只“知其然\"而“不知其所以然”，缺乏對(duì)知識(shí)“追根求源\"的認(rèn)識(shí).這樣的教學(xué)無(wú)法促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)，不利于核心素養(yǎng)的培育.因此，本文以北師大版初中數(shù)學(xué)教材中“圖形與幾何\"相關(guān)內(nèi)容為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)合理的探索活動(dòng)，改變傳統(tǒng)的幾何定理教學(xué)模式，使學(xué)生經(jīng)歷幾何定理“再發(fā)現(xiàn)\"的過(guò)程.

借助剪拼活動(dòng)，形成數(shù)學(xué)體驗(yàn)數(shù)學(xué)操作活動(dòng)是學(xué)生利用有關(guān)工具，如紙片、剪刀、直尺、圓規(guī)等，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下，以實(shí)際操作為特征的動(dòng)手、動(dòng)腦“做\"數(shù)學(xué)的一種探究活動(dòng).“剪拼\"活動(dòng)就屬于其中一種.對(duì)于幾何定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要經(jīng)歷從具體操作到理論驗(yàn)證的過(guò)程，如通過(guò)設(shè)計(jì)剪拼活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高課堂參與度，幫助學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)的可操作性，促進(jìn)學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.在“做”中發(fā)現(xiàn)知識(shí)，能讓學(xué)生感受到幾何學(xué)習(xí)既簡(jiǎn)單又有趣.

比如北師大版八年級(jí)上冊(cè)“三角形內(nèi)角和定理”可以設(shè)計(jì)剪拼活動(dòng).

問(wèn)題1：我們知道，三角形的內(nèi)角和等于 180^° .你們還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎？（教師出示手中的三角形紙片）

問(wèn)題2：如果我們按照七年級(jí)的方法，只移動(dòng)∠A，使移動(dòng)后頂點(diǎn)為 c 且角的一邊與AC重合，你們能完成這個(gè)移動(dòng)操作嗎？

問(wèn)題3：觀察移動(dòng)后的圖形，該怎樣說(shuō)明這個(gè)結(jié)論呢？

問(wèn)題4：可以把 ∠A 移動(dòng)到其他位置嗎？不移動(dòng)∠A，移動(dòng) ∠B 或 ∠C 可以得到同樣的效果嗎？

問(wèn)題1和問(wèn)題2能幫助學(xué)生回憶“三角形的內(nèi)角和等于 180^{°，，} 這一結(jié)論，并思考小學(xué)是把一張三角形紙片的三個(gè)角都撕下來(lái)，拼在一起剛好是一個(gè)平角，得到三角形的內(nèi)角和等于 180^° 的，七年級(jí)只撕下一個(gè)角也能得到這個(gè)結(jié)論（如圖1）.這兩種方法都采用了“剪拼”的操作方式進(jìn)行探索，極大地激發(fā)學(xué)生的探究欲望，并為后面的證明做鋪墊.

問(wèn)題3的目的在于喚醒學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.如圖2，首先根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等（ ∠1=∠A ），兩直線平行”，得 a//b ，再根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，得 ∠1+∠2+∠B=180^° 等量代換后得 ∠A+∠2+∠B=180^°. 所以三角形的內(nèi)角和為 180^° 此外，也可以延長(zhǎng) BC ，如圖2，則有 ∠3= ∠B. 因?yàn)?∠1+∠2+∠3=180^° ，所以∠A+∠2+∠B=180^°. 經(jīng)歷思考、嘗試、說(shuō)理的過(guò)程，學(xué)生已經(jīng)意識(shí)到移動(dòng) ∠A 的目的是把角“湊\"到一起，從而出現(xiàn)平行線，再利用平行線的判定和性質(zhì)，得到結(jié)論.之所以增加問(wèn)題4，是為了體現(xiàn)解法的多樣性，同時(shí)鍛煉學(xué)生思維的靈活性.學(xué)生在理解操作目的的基礎(chǔ)上，很容易想到不同的移動(dòng)方式（如圖3）.

問(wèn)題5：如果我們不剪、不拼，要達(dá)到同樣的效果，你們有什么方法嗎？

在以上操作的基礎(chǔ)上，學(xué)生觀察自己所拼的圖形，并深入思考.對(duì)于問(wèn)題5，學(xué)生想到可以添加輔助線，那輔助線如何添加呢？由先前活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“剪拼”角的目的是出現(xiàn)平行線，那能不能直接作出平行線呢？（如圖4）這樣便巧妙地突破了本節(jié)課的難點(diǎn)，打開(kāi)了證明思路.

聚焦數(shù)學(xué)思想，引發(fā)知識(shí)生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)思想是在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)運(yùn)用的思維方式和方法，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的源泉，包括分類討論思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想、特殊到一般思想、方程思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等.在幾何定理的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)用到數(shù)學(xué)思想，如學(xué)完平行四邊形，學(xué)習(xí)矩形、菱形和正方形時(shí)，可以使用類比思想進(jìn)行探索；探索三角形全等的條件時(shí)，會(huì)用到分類討論思想；探索勾股定理時(shí)會(huì)用到特殊到一般的思想.在這些數(shù)學(xué)思想的指引下，學(xué)生可以清晰直觀地感受到數(shù)學(xué)思想對(duì)幾何定理的探索證明具有不可估量的作用.

定理.剪拼活動(dòng)為學(xué)生提供證明思路，定理在活動(dòng)中自然生成.

特別地，其他幾何定理的教學(xué)也可以設(shè)計(jì)類似的“剪拼”活動(dòng)，如北師大版八年級(jí)下冊(cè)“三角形的中位線\"這節(jié)課，如何得到三角形中位線的定義，如何完成三角形中位線定理的證明，是本節(jié)課的兩大重難點(diǎn).怎樣讓學(xué)生經(jīng)歷探索，在活動(dòng)中自然生成定理呢？教師同樣需要利用剪拼活動(dòng)，讓學(xué)生提前準(zhǔn)備好三角形紙片，思考如何將三角形紙片剪拼成一個(gè)平行四邊形.學(xué)生順著教師的問(wèn)題動(dòng)手操作，拼完之后教師再問(wèn)：“你剪開(kāi)的是哪條線段？”學(xué)生紛紛回答“兩邊中點(diǎn)的連線（如圖5）”.接著通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想等探索方式探究三角形中位線

比如北師大版教材九年級(jí)下冊(cè)“圓周角和圓心角的關(guān)系”這節(jié)課，如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓周角定理進(jìn)行探索證明是難點(diǎn).在實(shí)際教學(xué)中，教師可以借助數(shù)學(xué)思想來(lái)探索圓周角定理.首先，引入圓周角定義，借助球員射門的生活情境，抽象出數(shù)學(xué)圖形一圓（如圖6），并向?qū)W生提出如下問(wèn)題.

從操作到思考再到操作，學(xué)生逐漸意識(shí)到，無(wú)論哪種操作，所用的數(shù)學(xué)知識(shí)是不變的，進(jìn)而提出如下問(wèn)題.

問(wèn)題1：觀察圖中 ∠ABE，∠ACE ∠ADE的位置，它們的頂點(diǎn)在哪里？

問(wèn)題2：你能類比圓心角的定義，給這些角起個(gè)名字嗎？

問(wèn)題3：在圖7中畫一些圓周角，你所畫的圓周角能分類嗎？如何分？

問(wèn)題1借助生活情境，抽象出幾何圖形；問(wèn)題2借助類比思想，使得圓周角的定義自然生成.緊接著學(xué)生在圖7中畫一些圓周角，若已知圖

7中 ∠AOB=80^° ，學(xué)生能夠在這個(gè)圖上畫出位置各不相同的圓周角（均為 所對(duì)的圓周角），并能通過(guò)測(cè)量得到這些圓周角的度數(shù)都等于40^° ，但是如何進(jìn)行幾何驗(yàn)證呢？教師提出問(wèn)題3，并滲透分類討論思想.學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考、動(dòng)手畫圖、合作交流的過(guò)程，能分出三類（如圖8）：

（1）圓心 o 在 ∠C 的一條邊上，如圖 {① （2）圓心 o 在 ∠C 的內(nèi)部，如圖8② （3）圓心 o 在 ∠C 的外部，如圖8③

OC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠OAC=∠ACB ，所以 ∠AOB=2∠ACB 即“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”另外兩種情況都可以轉(zhuǎn)化為第一種情況再進(jìn)行證明，其中涉及轉(zhuǎn)化思想和特殊到一般的思想.最終圓周角定理的證明化難為易、迎刃而解.在這個(gè)探索過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想起著舉足輕重的作用.從數(shù)學(xué)思想的視角設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，能引發(fā)知識(shí)生長(zhǎng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中對(duì)定理的來(lái)龍去脈有更深刻的認(rèn)識(shí).

利用尺規(guī)作圖，搭建探索橋梁

尺規(guī)作為幾何研究的重要工具，從歐幾里得的《幾何原本》開(kāi)始，尺規(guī)作圖就是構(gòu)建幾何演繹體系的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)與理解幾何概念及其關(guān)系的基本工具[2.教材內(nèi)容中，有基本的尺規(guī)作圖，如尺規(guī)作線段、作角、作三角形、作角平分線、作線段的垂直平分線等.在平時(shí)教學(xué)中，教師認(rèn)為尺規(guī)作圖僅是數(shù)學(xué)需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，沒(méi)有將其作為一種學(xué)習(xí)與理解幾何定理的工具.教學(xué)中，如果教師能有效利用尺規(guī)作圖，將其融入幾何學(xué)習(xí)過(guò)程，通過(guò)具體的作圖活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷幾何圖形的重構(gòu)，那么尺規(guī)作圖將為學(xué)習(xí)幾何定理搭橋鋪路，幫助學(xué)生打開(kāi)推導(dǎo)幾何定理的思路，實(shí)現(xiàn)由合情推理到演繹推理的過(guò)渡，

求作：Rt ΔABC ，使 ∠C=∠α BC=a，AB=c

教學(xué)時(shí)，教師可以先鼓勵(lì)學(xué)生自主思考尺規(guī)作圖的方法，并對(duì)有困難的學(xué)生給予指導(dǎo)，然后通過(guò)互相交流，使所有學(xué)生理解作圖步驟尺規(guī)作圖需保留作圖痕跡，學(xué)生完成后可以與同伴交流，比較他們所作的直角三角形是否能夠完全重合（如圖10）.由猜想得到的命題只有經(jīng)過(guò)證明才能成為真命題，那怎樣證明這個(gè)猜想呢？在直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠得出所作的三角形全等，那么證明的時(shí)候教師可以順勢(shì)引導(dǎo)：怎樣證明全等呢？由于直角三角形的特殊性，一條直角邊和斜邊確定，那么根據(jù)勾股定理，另外一條直角邊也隨之確定，接著由“SSS”判定兩個(gè)三角形全等.在這個(gè)過(guò)程中，尺規(guī)作圖為定理的證明搭建橋梁，學(xué)生經(jīng)歷了作圖、比較、觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，同時(shí)經(jīng)歷了定理的發(fā)現(xiàn)、提出和證明過(guò)程.從感性的猜想到理性的論證，從舊知識(shí)的喚醒到新知識(shí)的產(chǎn)生，學(xué)生在直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行演繹推理的證明.

在這三種位置關(guān)系中，選擇最特殊也最簡(jiǎn)單的情況（圖 ① ）來(lái)證明：利用\"三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”可知∠AOB=∠OAC+∠ACB ，由于 OA=

比如北師大版教材八年級(jí)下冊(cè)“直角三角形”這節(jié)課，如何探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊\"定理？在七年級(jí)，學(xué)生已經(jīng)嘗試過(guò)已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角畫三角形，知道畫出的三角形不唯一.本節(jié)課，教師可以讓學(xué)生嘗試用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出直角三角形.

已知：如圖9，線段 a，c（a

融合綜合實(shí)踐，提升思維梯度

新課標(biāo)在“綜合與實(shí)踐\"領(lǐng)域的課程內(nèi)容中指出，要經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過(guò)程，感悟如何從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維方法，綜合地、有邏輯地分析問(wèn)題，經(jīng)歷分工合作、試驗(yàn)調(diào)查、建立模型、計(jì)算反思、解決問(wèn)題的過(guò)程，提升思維能力.教學(xué)中我們可以融入綜合實(shí)踐活動(dòng)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，比如折紙活動(dòng)屬于綜合實(shí)踐活動(dòng)的一種，它促使學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)眼，能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)較為抽象的數(shù)學(xué)幾何定理.教學(xué)中如果教師能加以引導(dǎo)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的課堂參與度，而且能發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀.幾何定理的證明對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)，原因在于他們不能使用有效的方法將知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，所以教師應(yīng)幫助學(xué)生使用相同的方法解決不同的問(wèn)題，聚焦知識(shí)關(guān)聯(lián).

以北師大版七年級(jí)下冊(cè)“探索軸對(duì)稱的性質(zhì)\"這節(jié)課為例，它對(duì)八年級(jí)下冊(cè)\"三角形的證明\"這一章中等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)定理及判定定理、線段的垂直平分線性質(zhì)定理及判定定理、角平分線的性質(zhì)定理及判定定理的證明起到了鋪墊作用，也為九年級(jí)下冊(cè)“垂徑定理\"的證明埋下了伏筆.而軸對(duì)稱的研究從折紙活動(dòng)開(kāi)始，針對(duì)“探索軸對(duì)稱的性質(zhì)\"這節(jié)課，教師可以設(shè)計(jì)如下折紙活動(dòng)：將一張矩形紙對(duì)折，然后用筆尖扎出“14\"這個(gè)數(shù)字，將紙打開(kāi)后鋪平，如圖11.接著向?qū)W生提出如下問(wèn)題：

A C C' A .............. ： .............. .......... 金 . D F ？ D' B E E' B'

問(wèn)題1：在圖11中，兩個(gè)“14\"有什么關(guān)系？

問(wèn)題2：設(shè)折痕所在直線為l，連接點(diǎn) E 與點(diǎn) E^′ 的線段與有什么關(guān)系？連接點(diǎn) F. 與點(diǎn) F^′ 的線段呢？

問(wèn)題3：線段AB與線段 ?A^′B^′ 有什么關(guān)系？線段CD與線段 C^′D^′ 呢？

問(wèn)題4： ∠1 與 ∠2 有什么關(guān)系？∠3 與 ∠ 4呢？說(shuō)說(shuō)你的理由.

通過(guò)“折紙、扎眼\"活動(dòng)，學(xué)生能更加直觀地觀察到每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與折痕之間的位置關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系.以上4個(gè)問(wèn)題，學(xué)生能通過(guò)折疊后完全重合得出答案，接著教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組交流，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言概括出軸對(duì)稱的性質(zhì).

學(xué)生在七年級(jí)有了折紙?zhí)剿鞯幕A(chǔ)，到八年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“三角形的證明\"時(shí)就水到渠成了，等腰三角形的性質(zhì)定理及判定定理、等邊三角形的性質(zhì)定理及判定定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理、角平分線的性質(zhì)定理及判定定理[3]的證明同樣建立在折紙的基礎(chǔ)上，由折疊出現(xiàn)完全重合即全等，幫助學(xué)生打開(kāi)證明的思路，到九年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“垂徑定理”，根據(jù)圓的軸對(duì)稱性，也可以設(shè)計(jì)折紙活動(dòng)（如圖12）：在圓形紙片上任意作一條非直徑的弦AB；作一條直徑CD，使得CD⊥AB ，垂足為M.讓學(xué)生動(dòng)手折紙、自主探究，并思考以下問(wèn)題.

問(wèn)題1：圖12中，條件是什么？

問(wèn)題2：圖12是軸對(duì)稱圖形嗎？

問(wèn)題3：圖12中，你能找到哪些等量關(guān)系（線段、?。?？請(qǐng)說(shuō)明理由.

結(jié)語(yǔ)

本文基于學(xué)生的學(xué)情及認(rèn)知規(guī)律，以北師大版教材為例，針對(duì)幾何定理的學(xué)習(xí)提出了4點(diǎn)策略，為今后幾何定理的課堂教學(xué)指明了新思路，為教師明確了教學(xué)方向，與新課標(biāo)要求“實(shí)施促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)\"高度一致.每種策略的出發(fā)點(diǎn)都是以學(xué)生為主體，教師作為組織者和引導(dǎo)者，科學(xué)地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試、操作、思考、表達(dá)、交流，體驗(yàn)幾何定理從發(fā)現(xiàn)到形成的過(guò)程，從具體到抽象，從直接經(jīng)驗(yàn)到間接經(jīng)驗(yàn)，從實(shí)踐到理論，促進(jìn)學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，使學(xué)生有方向、有信心、有能力探索其他未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，真正實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)要求的育人目標(biāo).

學(xué)生經(jīng)歷折紙、觀察的過(guò)程，對(duì)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論提出猜想，再引導(dǎo)學(xué)生證明，證明思路正是在折紙的過(guò)程中受到了啟發(fā)：要證明三角形全等，就需要連接OA，OB，于是學(xué)生作出輔助線（如圖13），這樣問(wèn)題便回到八年級(jí)等腰三角形的知識(shí)，巧妙地化解了難點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)幾何定理的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、螺旋上升的，知識(shí)與知識(shí)之間聯(lián)系緊密，七年級(jí)所學(xué)的軸對(duì)稱一直貫穿至九年級(jí)，課堂中融入綜合實(shí)踐這一折紙活動(dòng)，不僅能使學(xué)生在探索中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且能為學(xué)生八年級(jí)和九年級(jí)的證明開(kāi)拓思路，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性思維.

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