引例解析知識生成 過程探究教學設計

引言

在初中數學中，平面直角坐標系中的動點問題十分常見，該類問題以坐標系為背景，以動點為基礎研究幾何圖形在坐標系的運動變化，探究其中存在的數量關系或規律，該類問題涉及動態分析、幾何關聯探究、圖形構建、幾何解析計算等知識，對學生的解題思維和分析技巧有一定的要求.因此，教師開展教學探究十分必要，可通過設置專題引導學生逐步探究.

引例呈現

問題：如圖1，在平面直角坐標系中，正六邊形ABCDEF的邊長為4，其中的兩個頂點A和 |B| 分別在 軸和y軸上運動，則頂點 D 到原點0的距離最大值為 _，最小值為

解讀：該問題為平面直角坐標系背景下的幾何動點問題，設置動點A和B在坐標軸上運動，由此引發正六邊形的整體運動，在此基礎上探究頂點 D 到原點0距離的最值.該問題中的條件較少，但考查的知識點眾多，解決此問題的關鍵是提取不變條件，把握各點之間的關聯.學生的思維具有局限性，往往難以入手，為更好地指導學生掌握該類問題的解決方法，教師應對上述問題進行深入剖析，追本溯源.

追本溯源

上述引例問題有兩大特點：一是以平面直角坐標系為背景；二是動點在坐標軸上運動，引發其他點運動，探究線段最值.基于其問題特點，分析可知實則為典型的梯子問題，具體如下.

問題：如圖2，一架長為 4m 的梯子 ?AB 斜靠在與地面垂直的墻壁上，當點A下滑到點 .A^′ ，點B向右滑行到點 B^′ ，梯子AB的中點 P 也隨之滑行到點 P^′ ，則點P運動的路徑長為

分析：對于該運動問題，把握其中的不變量，其中梯子的長度始終不變，該條件對于后續思路的構建十分關鍵.可將墻壁與地面抽象成平面直角坐標系，則此題中梯子AB的中點P到點0的距離保持不變，為線段AB的一半，根據\"直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，即可為后續的解析提供參考.

應用感悟

學習完上述梯子問題，再回歸引例的正六邊形問題，顯然就是對梯子問題的簡單改動，即以AB為邊作正六邊形ABCDEF，本質上是一致的．因此解析過程可參考梯子問題，取定點，構建關聯再解析.

取 AB 的中點 P ，連接 OP 和 DP ，如圖3，在 RtΔBPD 中，由勾股定理可求得 ，點 P 為定點， OP=2. 結合“三角形的兩邊之和大于第三邊”，可知當點 D，P，O 共線時， DP 取得最大值 將正六邊形ABCDEF沿著 _?AB 所在直線翻折，根據“三角形兩邊之差小于第三邊”，可知當 P，O，D 共線時，DP的最小值為 （204號

策略總結

以平面直角坐標系為背景的動點問題，提取定點，構建動點與定點之間的關聯是解題的關鍵，上述圍繞引例進行了思路探究.參考引例破題思路，我們可構建該類問題的解題策略，具體如下.

第一步，讀題審題，理解題意

分析題干條件，理解問題的構建過程，注意其中的動點、定點，以及線段與圖形關系，明晰解題的目標第二步，性質分析，提取不變量.

利用幾何的性質和運動規律，分析動態問題中的不變量，提取不變條件，如定點、定線及關聯條件.

第三步，畫圖分析，靜態轉化

繪制動點軌跡圖或運動圖，分析理解動點的運動軌跡，結合條件和幾何特性，確定臨界情形，將其轉化為“靜態問題”.

第四步，幾何解析，得出結論

結合幾何知識來分析求解，得出最終結論.涉及多情形的動態問題，可以分別作出情境圖，建立模型求解

拓展探究

構建平面直角坐標系中動點問題的解題策略后，教師可開展拓展探究，對問題進行改編，使學生深入理解問題.

1.關聯圖形變形，邊角轉化分析

例1：如圖4，在平面坐標系中，點A在y軸上滑動，點B在 軸上滑動，且始終保持線段A B=4 ，已知點 D（4，3） ，點A關于點 D 的對稱點為 c ，則線段BC的最小值為

分析與解：與上述引例相比，動點之間的關聯圖形變成了三角形，參考上述思路，需要探尋其中的幾何關系，把握0D為定值，結合共線定理分析求解.

取AB的中點為 E ，連接 DE，OE 和oD ，如圖4的虛線所示.由題意可知D 為A C 的中點，則 DE 為 ΔABC 的中位線，始終有 ，則只需求出DE的最小值即可求出 BC 的最小值.

分析可知，當點 _O，E，D 共線時，DE 有最小值，最小值為OD-OE.OE為 RtΔAOB 斜邊 AB 上的中線，則 1AB=2，OD為定值5，所以DE=3.因此BC的最小值為6.

思路分析：與上述引例相比，該問題的關聯圖形發生了改變.參考上述思路，需要建立DE與BC兩線段之間的關系，再將DE放在 ΔDOE 中來分析其長度變化，后續結合“三角形的兩邊之和大于第三邊\"即可求出最值.

2.引入運動要素，情境建模分析

例2：在平面直角坐標系中， o 是坐標原點，直線 y=kx+15（k≠0） 經過點 C（3，6） ，與 x 軸交于點A，與 y 軸交于點 B. 線段 CD 平行于 軸，交直線 y= 于點 D ，連接 OC，AD 業

（3）動點P從點0出發，沿對角線OD以每秒1個單位長度的速度向點D運動，到達點 D 為止；動點Q同時從點 D 出發，沿對角線D0以每秒1個單位長度的速度向點 o 運動，到達點0為止.設兩個點的運動時間均為t秒① 當 t=1 時， ΔcPQ 的面積是

② 當點 P，Q 運動至四邊形 為矩形時，請直接寫出此時t的值

分析與解：（1）采用待定系數法即可求解， k=-3 ，點A（5，0）.

（2）因為 CD//OA ，所以要證明四邊形OADC是平行四邊形，可以證明CD=OA，將點C縱坐標代人 中，求出點 D 的坐標，從而求出 CD 的長，可確定 CD=OA ，所以四邊形OADC是平行四邊形.

（1）填空： k=. ，點A的坐 標是（ ， ）.

（2）求證：四邊形OADC是平行 四邊形.

（3） ① 如圖6，過 c 作 CH⊥OD ，垂足為 H ，可求出 OD=10 ，分析可知OD平分四邊形 OADC 的面積，則 ，即 OA?y_c=OD ：CH ，從而可解得 CH=3 ，而 PQ=OD. 1OP-DQ=8，則S△cP=2

② 因為四邊形OADC是平行四邊形，所以考慮利用矩形的判定依據：對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.證明AC與PQ互相平分，當PQ=AC 時，四邊形CPAQ為矩形

如圖7，已知 A（5，0），C（3，6） 則A ，進一步可推知 |PQ|= （204號 |10-2t| ，從而有 ，或 2t- ，則 或 時，四邊形 .CPAQ 為矩形

解后評析：上述問題引入了運動要素，第（3）問探究與動點相關的圖形問題，基本求解思路與構建的解題策略是一致的，即結合運動要素將問題轉化為靜態問題，再分析推導線段長，結合幾何特性構建方程求解.

教學思考

1.把握學情備課，開展過程探究

上述探究了平面直角坐標系中的動點問題，該問題的解析過程有助于培養學生的推理能力.實際教學中教師要把握學情備課，開展過程探究，即課前基于學情來設置教學目標，針對性地設計探究流程，以學生的已有知識經驗為探究基礎，進行知識與技能的拓展.探究中教師通過設置引例，先引導學生回歸教材，從中獲得探究靈感，再歸納總結，構建解題策略.

2.問題預設重構，適度拓展強化

課堂探究中教師要注意兩點：一是問題預設重構，啟發學生思考；二是適度拓展強化，拓寬學生的視野.以上述的平面直角坐標系中動點問題為例，教師以梯子問題為基礎，開展變式重構，同時引入運動要素，構建幾何運動問題.兩大變式拓展問題均圍繞動點的探究來開展，學生可以感悟該類題型的特點，在針對性探究中提升解題思維.

3.啟發學生思考，自主探索發現

采用知識探究的方式構建課堂教學，有助于培養學生的解題思維.教學中，教師可不斷設置\"疑點”，啟發、引導學生積極思考.教師要以學生為主體，讓學生自主發現問題，思考分析合理性，通過觀察、思考、分析、論證、總結等探究過程來得出結論，掌握方法，獲得新知.在教學環節設計上，教師可結合多種教學工具，如多媒體呈現動點軌跡，全方位展示問題，輔助學生思考.

寫在最后

關于平面直角坐標系中的動點問題探究，可以參考上述設計，按照“引例呈現 $$ 追本溯源 $$ 應用感悟 $$ 策略總結 $$ 拓展探究\"的流程來開展，讓學生體驗整個探究過程，掌握破解方法的同時提升其探究能力.