知識整合定理構建，分層引導教學探索

垂徑定理是初中數學重要的定理之一，該定理以圓和弦為背景，將垂直、平分、對稱等知識相綜合.學生在理解和應用時存在一定的難度，需要教師適時指導，下面開展定理探究教學.

走進幾何圓，特性探索

圓的對稱性是垂徑定理構建的基礎，其融合了中心對稱和軸對稱.教學時，教師可采用活動探究的方式來引導學生明晰圓的對稱特性.

活動：請同學們取出準備的圓形紙片，將其沿著任意一條直徑對折，重復幾次，你會發現什么？可以得出圓的什么特性？

學生參考上述圖1折疊圓形紙，明晰圓的對稱特性：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.

定理講解，用法探索

關于垂徑定理的教學探索，教師可從兩方面進行：一是結合圖示引導學生理解，二是探索垂徑定理的用法，構建解法策略.

（一）直觀講解定理

教學中以上述圓形紙片為道具作圖，作⊙O的任意一條弦AB，再作直徑 CD⊥AB ，垂足為 E ，如圖2.

設問：讓學生沿著直徑CD對折，思考發現了什么？有哪些相等的線段和弧？

引導：教師引導學生觀察圖中的點A與 B 的關系 ?_?AE 與 BE 的關系、 與 的關系，以及 與 的關系.構建如下推導過程.

因為 CD 為圓的直徑，且 CD⊥ AB ，所以

依據圓的軸對稱性質構建垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.教學中，教師引導學生關注該定理的兩點：一是定理的構建基礎一圓的對稱性;二是定理的條件與結論，即必須滿足弦與直徑垂直，才能構建平分關系.

（二）系統構建用法

垂徑定理在幾何問題中有著廣泛的應用，可根據弦與直徑的垂直關系推導出等量條件，教師要重點講解定理的用法.實際使用時常提取圓中的直角三角形，結合勾股定理構建三邊關系，有如下三種使用思路.

思路1：提取直角三角形列式

連接圓心與弦的一端，與過圓心且垂直與弦的線段和弦的一半構成直角三角形（即垂徑定理中的直角三角形），利用勾股定理列式求值；

思路2：分析線段關系

結合圖3分析指導，圖中弦長為a ，弦心距為 d ，弓形高為 h ，半徑為r，則四者之間存在圖中所示關系

思路3：參量推導

對于上述給定的四個參量； d，h，在已知其中任意兩個量的情形下，即可求出另外兩個量

顯然對于垂徑定理的使用，需要關注圓中的垂直關系，以此為基礎提取或構建直角三角形，結合勾股定理與圓的特性來構建參量關系，從而推導出線段長.具體問題中，見弦常作弦心距，連接半徑，構造直角三角形利用勾股定理求解.

推論講解，教學拓展

垂徑定理的推理有著極高的應用價值，在眾多問題中有著廣泛的應用，教師需要對其進行系統匯總，構建相關的模型.

（一）推論梳理

首先給出垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，

對推理中的內容進行條件梳理，即對于一條直線滿足：

① 過圓心；

② 垂直于弦；

③ 平分弦（不是直徑）；

④ 平分弦所對的優弧；

⑤ 平分弦所對的劣弧.

引導學生理解滿足其中的兩個條件，即可推出其他三個結論，即“知二推三”.

（二）模型構建

垂徑定理的核心在于以圓為背景，構建了弦與直徑的垂直，從弦與直徑、圓心、交點等位置關系來看，可以構建如圖4四種垂徑模型.

對于四種垂徑模型，學生需要重點關注點與線的位置關系，具體使用時靈活構建直角三角形，結合垂徑定理的用法來推導四大參量.

分層教學，定理運用

運用垂徑定理可以解決相關的幾何問題，教師應引導學生掌握使用方法，靈活構建解題思路.教師可以采用分層教學的方式，結合實例由易到難逐步深入，引導學生思考問題，總結方法經驗.

（一）基礎強化，運用求值

第一階段，教師開展基礎強化教學，設定一般性求值問題，指導學生按照上述總結的定理用法，提取直角三角形，構建四大參量關系求線段值.

例1：如圖5，CD是 _?o 的直徑，AB 是弦， AB⊥CD ，垂足為E.若 ED= ^2，AB=8 ，試求圓的半徑.

教學引導：本題目為垂徑定理模型問題，教學中教師應引導學生結合定理來理解圖形，即AB為 _?o 的弦， CD 為 _?o 的直徑，兩者關系為AB⊥CD ，顯然滿足垂徑定理.求圓的直徑，則可以結合上述總結的垂徑定理用法來構建思路：先作圖構建直角三角形，再利用勾股定理對四大參量進行推導.

連接 OA ，如圖5的虛線部分，則ΔAEO 就為直角三角形.可設 _?o 的半徑為r，則 OA=OD=r. 由垂徑定理可得A 在Rt△AEO中，由勾股定理可得A 1E²+OE²=OA² ，即 4²+（r-2）²=r² ，解得 ?r=5. 所以圓的半徑為5.

教學思考：上述為定理應用的基礎階段，問題模型特征鮮明，結合定理內容直接引導學生確定模型.教學的關鍵是指導學生作輔助線，基于模型來構建直角三角形，構建有關參量的數量關系.教師可按照“模型確認 $$ 直角三角形構建 $$ 關系梳理\"的流程來構建思路

（二）拾級而上，最值探索

第二階段，教師開展深化探究，提升問題難度，融合關聯知識，如直角坐標系、動態幾何、最值分析等，指導學生挖掘垂徑定理模型，掌握破解綜合性問題的方法，

例2：如圖6，平面直角坐標系中， _?o 的半徑為 ，弦 ?_AB 的長為4，過點0作 OC⊥AB ，垂足為 c ，_?o 內一點 D 的坐標為（-4，3），當弦AB繞點 o 順時針旋轉時，點 D 到AB的距離的最小值是

教學引導：本題以直角坐標系為背景，融合了動態幾何中的旋轉知識，探究線段最值，問題的綜合性強解題時教師首先引導學生提取其中的垂徑定理模型，即AB為圓的弦，OC⊥AB. 后續分析則可以構建直角三角形進行計算推理.對于其中的最值分析，教師應引導學生回顧\"過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”，探索共線的情況，即當0C經過點D時，點 D 到AB的距離最小，此時 _?o，D，C 三點共線.

連接 OB ，如圖6中的虛線部分，顯然 ΔOBC 為直角三角形.結合垂徑定理可得AC=BC=1 在RtΔOBC 中，由勾股定理可得 OC=

分析可知， OD=5 ，當 oc 經過點 D 時，點 D 到 AB 的距離最小，則最小值為 11-5=6 ，即點 D 到 ∣AB 的距離的最小值是6.

教學思考：上述為定理應用的深化階段，融合關聯知識求最值，核心知識為“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”.教師需要引導學生從共線視角來理解該內容，并靈活運用解題

（三）拓展提升，實例探究

第三階段，教師引導學生去拓展提升，利用垂徑定理求解實際問題，“致知于行”

例3：圖7是某品牌的香水瓶.從正面看上去它可以近似看作"_?o"割去兩個弓形后余下的部分，與矩形ABCD組合而成的圖形（點"^B，C"在_?o"上），其中 BC//EF ；已知"_?o"的半徑為25， BC=14，AB=26，EF=40 ，則香水瓶的高度h是

教學引導：本題以實物香水瓶為背景，探究其高度，應用屬性極強教師應引導學生將實際問題轉化為數學問題，探究過程中注意模型構建，按照“分析建模 $$ 計算推導 $$ 求解\"的思路來開展.

第一步，分析建模

分析上述實物模型，可視為是圓與矩形的結合，可作圖補全圓，利用圓、三角形知識來推理.作 OG⊥BC ，垂足為 G ，延長"_GO"交EF于點 H ，連接_BO，EO"，如圖8.則 AD 與EF之間的距離就為所求高度 h ，即 h=HO+GO+AB.

繼續分析圖形特征，可得 OH⊥ EF ，顯然滿足垂徑定理模型，則可得"在Rt△EHO中，由勾股定理可得"

第三步，求解

綜合上述所求線段，則可得 h= HO+GO+AB=15+24+26=65 ，即香水瓶的高度h為65.

教學思考：上述是關于垂徑定理解決實際問題的教學探索，教學的重點是引導學生掌握應用技巧，即先把實際問題抽象為幾何問題，再巧用弦的一半、圓的半徑和過圓心的垂線段構成直角三角形，結合勾股定理進行求解

第二步，計算推導整合上述條件，可得"

7，而 BO=EO=25 在Rt△BGO中，由

勾股定理可得"

寫在最后

在教學“垂徑定理”的過程中，教師需要整合知識定理，構建直觀模型，引導學生強化理解，掌握定理模型的應用策略.在解題應用環節，教師應多采用分階段構建的思路，引導學生鞏固基礎，逐步深化，提升數學解題能力.