間歇蒸煮過程的降階模型與蒸煮終點卡伯值預測控制研究

摘 要：本研究提出一種基于子空間辨識的模型預測控制（MPC）算法，通過擴展普渡模型對間歇蒸煮制漿過程中固相、自由液相和截留液相的組分濃度變化進行模擬仿真，采用子空間系統辨識的數值算法 （N4SID） 對非線性間歇蒸煮過程的動力學模型進行降階，建立低維降階狀態空間模型，并引入龍伯格觀測器對其狀態變量進行在線估計，結合 MPC 策略，實現間歇蒸煮過程的精確控制。Matlab仿真結果表明，在開發的MPC算法作用下，系統能夠抑制蒸煮過程中的卡伯值波動，確保蒸煮終點的紙漿卡伯值達到預設值且誤差≤2%；所建立的間歇蒸煮過程4階狀態空間模型與擴展普渡模型擬合度可達99.80%，能較好與真實系統匹配，有效減少預測控制算法的計算復雜度。

關鍵詞：間歇蒸煮過程；卡伯值；擴展普渡模型；模型降階；模型預測控制

中圖分類號：TS75 文獻標識碼：A DOI：10. 11981/j. issn. 1000?6842. 2025. 02. 164

制漿造紙作為我國傳統產業之一，在國民經濟中占據重要地位。近年來，隨著數字產業的發展，傳統紙張需求呈現下降趨勢；然而，食品、電商、物流等服務行業的快速發展正在推動其他類型紙制品的需求增加，如生活用紙、食品包裝用紙、瓦楞紙板等［1］。據中國造紙工業報告顯示［2-3］，2015—2024年，紙及紙板生產量年均增長率為2.71%，消費量年均增長率為3.11%，我國造紙工業整體實現穩步增長。為適應近年來紙制品消費結構變化、滿足紙制品多元化需求，精準調控制漿工藝、提升紙漿生產質量十分必要。目前常用的化學制漿工藝根據蒸煮過程的運行方式可分為2類：連續蒸煮工藝和間歇蒸煮工藝。與連續蒸煮工藝相比，間歇蒸煮工藝具有更高的靈活性，可滿足不同原料的加工要求，分批處理各類木材和非木材原料，便于根據市場變化和資源供應靈活調整生產策略。因此，開展化學制漿間歇蒸煮工藝的先進過程控制和策略研究，對于實現蒸煮過程的精準控制、滿足靈活多變的工藝要求具有重要意義。

目前，關于化學制漿間歇蒸煮工藝的過程控制已取得諸多研究成果。Vroom［4］ 將蒸煮過程中的時間和溫度整合為單一變量 （H 因子），以控制蒸煮終點；Mori 等［5］ 提出一種結合 H 因子和有效堿濃度的動態切換控制策略，通過多變量回歸建模與控制優化解決木材種類動態切換不穩定的問題。張春云等［6］ 根據蒸煮過程中的甲醇生成規律及殘余有效堿與H因子間的關系，建立甲醇生成量預測模型，揭示了甲醇生成量與蒸煮工藝條件的非線性關系。上述研究中的H因子簡化了對蒸煮過程的控制，但其在提高模型精確性、實時性和適應性方面存在局限。

為滿足精確控制和動態優化需求，李洪田等［7］通過數字PID實現間歇蒸煮的穩態調節；單文娟等［8-9］引入分數階PID內模控制提升動態響應；Yajun等［10］進一步融合數據驅動建模提高了控制精度和動態變化的穩定性。然而，PID控制在應對蒸煮過程中的參數擾動時，控制效果不夠理想。金福江等［11］基于分層多目標優化思想，建立了間歇蒸煮過程的分層優化框架；Larraín 等［12］ 基于強度帕累托進化算法 2 （SPEA2），研究了制漿蒸煮過程的多參數優化問題。此外，為改善模型的魯棒性和實時性，Shibani等［13］ 研究了基于數據驅動的約束迭代學習控制策略；Belarbi等［14］ 提出了基于模糊神經網絡的控制方法，雖有效抑制了間歇蒸煮過程的非線性干擾，但其計算復雜度高，實時性難以滿足工業場景需求。上述控制策略依賴當前的系統狀態，缺乏對系統未來行為的預測能力。Doyle等［15］ 采用子空間辨識與模型預測控制 （MPC） 相結合，實現了制漿蒸煮過程卡伯值的軌跡控制，有效實現了制漿過程中對纖維素的保護。Wisnewski 等［16-17］認為選擇適當的控制結構與 MPC 結合，能夠實現紙漿質量的多元化控制并降低能耗。然而，MPC適用于基于線性化的蒸煮過程模型，無法充分捕捉系統的非線性動態；因此，研究人員對制漿蒸煮過程的非線性模型預測控制 （NMPC） 進行了研究。采用 NMPC能夠更精確地描述系統行為，但因存在模型偏差和測量擾動等，無法實現對系統的有效控制［18-19］。上述MPC算法均是針對復雜的連續蒸煮工藝，為滿足紙制品的多元化需求，間歇蒸煮過程對控制系統的靈活性和精準性要求日益提升，開展間歇蒸煮過程的 MPC研究十分必要。Choi等［20］ 和Son等［21］ 針對間歇式蒸煮過程建立了多尺度模型，并在此基礎上結合模型辨識技術建立了制漿間歇蒸煮過程的 MPC 算法；但該算法的計算復雜度過高且蒸煮終點卡伯值偏差較大，缺乏實用性。

子空間系統辨識的數值 （N4SID） 算法是常用的子空間系統辨識方法之一，其無需系統的先驗知識、無需設定系統結構，直接根據輸入輸出數據識別，即可得到線性時不變系統的狀態空間模型［22］。該算法基于數值穩定的非迭代線性代數進行運算，降低了計算復雜度，能夠有效處理高階、多變量系統的辨識問題，被廣泛用于處理高階、多變量系統的降階問題。本研究采用N4SID算法建立制漿間歇蒸煮過程的降階狀態空間模型，并以該模型作為預測模型建立制漿間歇蒸煮過程紙漿卡伯值的預測控制算法，以期通過數據驅動與模型預測協同，實現紙漿卡伯值的閉環精準預測控制。

1 化學制漿間歇蒸煮工藝

圖1為化學制漿間歇蒸煮工藝示意圖。化學制漿間歇蒸煮過程包括裝料、送液、升溫、保溫和放料等步驟。在裝料前，對原料（木片等）進行預處理（如洗滌、汽蒸、預浸漬等）［23］，一方面可以除去木片中殘余的空氣和揮發性成分 （如木材中的樹脂、雜質等），從而促進白液的滲透和擴散；另一方面可以對木片進行預熱，從而避免蒸煮制漿時溫度快速上升而造成纖維損傷。如圖1所示，在裝料和送液階段，木片通過傳送帶、升降機和螺旋輸送機被均勻且連續地輸送到蒸煮器頂部進料口；儲液箱中的白液（主要成分為氫氧化鈉和硫化鈉）通過加熱器預熱后，同樣被輸送到蒸煮器頂部進料口。裝料、送液完畢，木片與白液在間歇式制漿蒸煮器中混合，升溫至固定溫度后開始蒸煮制漿并脫除木質素。木片中的木質素在高溫高壓下逐步溶解并剝離，得到以纖維素為主要成分的粗漿。蒸煮制漿后期，通過蒸煮器底部的抽液口收集黑液樣本并檢測其殘余木質素濃度，以判斷蒸煮過程是否達到預期脫木質素效果。蒸煮結束后，粗漿和黑液分別從蒸煮器底部出口排出，粗漿進入后續洗滌、漂白等工序，最終形成品質達標的紙漿；黑液則需進一步堿回收處理，以實現節能減排、清潔生產［24-25］。

2 復雜機理模型與模型降階

2. 1 復雜機理模型

制漿工藝機理模型是基于蒸煮過程的物理、化學機理，依據物質/能量/動量守恒定律、相平衡原理或反應/傳質動力學原理，推導出可操作變量與控制目標變量間的理想化函數關系。本研究基于 Wisnewski等［26］ 建立的擴展普渡模型，對化學制漿間歇蒸煮工藝進行過程控制和預測研究。擴展普渡模型假設間歇式蒸煮器的制漿動態系統包含三相：固相、截留液相、自由液相。固相指木片、竹片等制漿原料，建模時應考慮其中7種主要物質組分，即高反應活性木質素 （s1）、低反應活性木質素 （s2）、活性纖維素 （s3）、活性木聚糖 （s4）、半乳葡聚糖 （s5）、非活性纖維素（s6） 和非活性木聚糖 （s7）；截留液相指存在于原料孔隙中的液體，建模時應考慮其中 6 種主要物質組分，即活性有效堿 （e1）、低活性有效堿 （e2）、活性氫硫化物 （e3）、低活性氫硫化物 （e4）、溶解木質素（e5） 和溶解碳水化合物 （e6）；自由液相指原料周圍的游離液，建模時應考慮其中6種主要物質組分，即活性有效堿（f1）、低活性有效堿（f2）、活性氫硫化物（f3）、低活性氫硫化物（f4）、溶解木質素（f5）和溶解碳水化合物（f6）。

固相、截留液相和自由液相中各組分物質的動力學行為由蒸煮過程中的質量和能量傳遞主導，受蒸煮器內物料的溶解和擴散機制影響。基于質量和能量平衡原理，根據擴展普渡模型可建立蒸煮制漿過程中各組分物質間的反應動力學微分方程。間歇蒸煮制漿的動態過程具體為：自由液浸入木片孔隙后與木片各組分發生脫木質素化學反應，木片中的各組分從固相中分離并游離至液相；制漿蒸煮過程主要發生脫木質素和纖維素降解化學反應，假設脫木質素和纖維素降解化學反應均不可逆，則蒸煮過程中的物質轉化如式（1）和式（2）所示。

2. 1. 1 質量守恒方程

2. 1. 1. 1 固相組分質量守恒

假設木片是均質的且所有萃取物質（如松香和樹脂酸）均已去除，木片在蒸煮過程中的非反應組分非活性纖維素 （s6） 與非活性木聚糖 （s7） 的反應速率均為0。因此，固相組分平衡僅需考慮5種組分（s1～s5），其質量守恒方程如式（3）和式（4）所示。

2. 1. 1. 2 截留液相組分質量守恒

假設木片在進入蒸煮器時已完全浸漬且無截留空氣。自由液中的反應物擴散到截留液中與固相發生化學反應，反應生成物又擴散回到自由液中。截留液相組分的質量守恒方程如式（7）所示。

2. 1. 1. 3 自由液相組分質量守恒

考慮自由液相和截留液相間的傳質速率，自由液相組分的質量守恒方程如式（11）～式（13）所示。

2. 1. 2 能量守恒方程

固相與截留液相間的熱傳遞時間遠小于蒸煮系統中其他物相間的熱傳遞時間；固相和截留液相的動能和勢能遠小于蒸煮產生的熱能和化學能；因此，文獻［26］中Wisnewski和Doyle假設固相和截留液相溫度相等，且固-液混合相間的動能和勢能忽略不計，固-液復合相與自由液相間存在熱傳遞現象，系統能量守恒包括固-液復合相能量守恒和自由液相能量守恒。

考慮固-液復合相與自由液相間的溫度差、物質組分濃度差及脫木質素化學反應熱，固-液復合相的能量守恒方程如式（14）所示。

自由液相的能量守恒方程如式（15）所示。

2. 1. 3 紙漿卡伯值計算模型

卡伯值 （Kappa number，K） 是表征紙漿中殘留木質素含量的化學指標，也相對表示制漿原料在蒸煮過程中的脫木質素程度［28］。在擴展普渡模型中，紙漿殘留木質素含量可通過固相中高反應活性木質素（s1）、低反應活性木質素 （s2） 的質量濃度之和與固相總質量濃度的比值進行定量，由此可計算紙漿卡伯值，如式（16）所示。

2. 2 模型降階

蒸煮制漿是一類具有強非線性、多變量耦合性、參數時變性和大時滯性的復雜化工過程，前文基于制漿間歇蒸煮過程動力學建立的擴展普渡模型規模大、求解復雜，較難直接用于 MPC 控制器的設計。為降低計算成本，本研究采用子空間辨識算法對間歇蒸煮過程的擴展普渡模型進行降階。

采用N4SID算法辨識得到間歇蒸煮過程降階線性時不變狀態空間模型，如式（17）所示。

3 間歇蒸煮過程的預測控制算法設計

為精準控制化學制漿間歇蒸煮過程，在蒸煮終點得到具有預期卡伯值的紙漿，本研究以自由液相溫度為控制輸入變量、紙漿卡伯值為輸出變量，以N4SID算法建立的低維降階狀態空間模型為預測模型，設計間歇蒸煮過程的 MPC 控制算法。由于低維降階狀態空間模型的狀態變量并非為具有實際物理意義的過程變量，在 MPC 算法設計時需設計系統狀態觀測器，以在線估計低維降階狀態空間模型的狀態變量值。

3. 1 狀態觀測器設計

由于N4SID算法辨識得到的低維降階狀態空間模型并未保留原模型各狀態變量的物理意義，因此，在每個采樣時刻均需對當前預測模型的狀態變量值進行在線估計。采用龍伯格觀測器根據系統輸入輸出變量的檢測值，在線估計各狀態變量的計算如式（18）和式（19）所示。

3. 2 預測控制算法設計

基于低維降階狀態空間模型和龍伯格觀測器，設計用于預測控制間歇蒸煮過程的 MPC 算法，通過調節自由液相溫度，在規定蒸煮時間內將卡伯值穩定驅動至預設值。此外，利用 MPC 控制器優化自由液溫度，使蒸煮終點的卡伯值與預設值的偏差最小化，同時對控制變量的變化范圍和速率進行約束。

MPC控制器的代價函數如式（20）所示。

圖2為MPC結構框圖。如圖2所示，yp（tk ）為預測模型輸出值；yc （tk ） 為反饋校正輸出值；ε1 為預設卡伯值與校正輸出值間的誤差；ε2為預測模型輸出值與實測輸出值間的誤差。

4 結果與討論

4. 1 模型仿真

制漿間歇蒸煮過程的動力學模型（即擴展普渡模型） 的參數設置見表2；基于擴展普渡模型的間歇蒸煮過程仿真結果見圖3～圖6。

圖 3 為間歇蒸煮過程中自由液相和固-液復合相溫度隨時間的變化曲線。由圖3可得，自由液相溫度在蒸煮過程中呈先下降后上升的趨勢，固-液復合相溫度始終呈上升趨勢，二者最終均保持在 429 K 左右。這種溫度變化趨勢符合自由液相與固-液復合相間的熱傳遞特性，自由液相和固-液復合相的初始溫度分別為 423 K 和 383 K，二者存在較大溫差，而溫差越大熱量傳遞速率越快，因此在蒸煮初期固-液復合相的溫度會迅速升高，而自由液相溫度呈先下降后上升的趨勢；在蒸煮中后期，兩相間的溫差減小，二者溫度基本達到平衡，固-液復合相溫度隨自由液相溫度而變化。

圖4為間歇蒸煮過程中截留液相和自由液相6種組分濃度隨時間的變化曲線。由圖4可知，在蒸煮初期的截留液相中，脫木質素主要反應物活性有效堿和活性氫硫化物 （e1和 e3） 濃度從 0 開始快速增加，而在自由液相中其 （f1和 f3） 從初始值開始迅速降低，由此產生的濃度差是同一物質在兩相間傳遞以形成液液平衡的主要驅動力。在蒸煮中后期，大部分木質素被脫除，活性有效堿和活性氫硫化物被大量消耗，二者在截留液相和自由液相中的濃度均逐漸降低，并分別形成相間平衡；同時，截留液相 （e2和e4） 和自由液相 （f2和 f4） 中的脫木質素主要反應產物低活性有效堿和低活性氫硫化物濃度，均由0逐漸升高并分別形成相間平衡。

部分溶解的木質素和碳水化合物為脫木質素反應產物，在截留液相中二者 （e5和 e6） 濃度均由 0 逐漸升高，而在自由液相中其 （f5和 f6） 呈由初始值開始先略微下降、再逐漸升高的趨勢，并最終分別形成相間平衡。蒸煮液是由白液和黑液混合配制而成，而黑液中存在的殘余木質素使得自由液相中的f5和f6具有一定初始濃度；此外，由于蒸煮初始階段蒸煮器內溫度偏低，溶解木質素和溶解碳水化合物易發生聚合而附著在木片上，使得f5和f6濃度略微下降。綜上，截留液相和自由液相組分濃度的變化趨勢與實際蒸煮制漿過程完全相符，能較好地反映間歇蒸煮過程脫木質素反應的動力學特性及物質相間擴散特性。

圖5為間歇蒸煮過程中固相5種組分的質量濃度隨時間的變化曲線。由圖5可知，隨蒸煮進程加深，高反應活性木質素（s1）和低反應活性木質素（s2）因發生脫木質素反應，質量濃度不斷降低。相似地，活性纖維素 （s3）、活性木聚糖 （s4）、半乳葡聚糖 （s5） 在堿性條件下均因發生纖維素降解反應質量濃度不斷降低，其中s3在高溫堿性條件下易降解；s4因初始質量濃度較低且化學穩定性較差，在蒸煮初期便迅速降解；而s5在堿性環境下僅發生部分分解，其在蒸煮結束時仍具有較高的質量濃度。上述組分的質量濃度動態變化與實際間歇蒸煮過程中的反應動力學行為相符。

圖6為間歇蒸煮過程中紙漿卡伯值隨時間的變化曲線。由圖6可知，在蒸煮初期，由于固-液復合相溫度偏低，脫木質素化學反應進行緩慢，蒸煮液中的溶解木質素易發生聚合而附著在木片上，使得紙漿卡伯值呈略微上升趨勢；隨蒸煮溫度升高，木片中的木質素被迅速降解，蒸煮過程進入大量脫木質素階段，紙漿卡伯值隨之快速下降；蒸煮后期，木片已脫除大部分木質素，進入殘余木質素脫除階段，脫木質素反應變得緩慢，紙漿卡伯值趨于穩定。綜上，紙漿卡伯值的變化趨勢能夠充分反映間歇蒸煮過程中木質素降解的動態特性。

4. 2 模型降階

間歇蒸煮過程仿真共運行300個時間步，分別在每個時間步進行數據采集，以得到間歇蒸煮過程輸入變量與輸出變量所對應的數據集；基于此，利用Matlab系統辨識工具箱中的N4SID算法，建立間歇蒸煮制漿過程的低維降階狀態空間模型。

圖7為不同維度下降階狀態空間模型與擴展普渡模型的對比。如圖7所示，在各低維降階狀態空間模型中，4階狀態空間模型與擴展普渡模型的擬合度最高，為 99.80%；這表明其在描述原系統動態特性方面表現最為出色。此外，與擴展普渡模型相比，4階狀態空間模型的維度大為縮減，計算復雜度有所簡化。綜上，本研究采用4階狀態空間模型作為MPC控制器中的預測模型。

4. 3 預測控制

以紙漿卡伯值為輸出變量、自由液相溫度為控制輸入變量，以建立的低維降階狀態空間模型為預測模型，本研究設計的間歇蒸煮過程 MPC 控制器的相關參數如表3所示。閉環系統控制輸出量和輸入量的變化如圖8所示。

圖8為蒸煮過程中紙漿卡伯值和自由液溫度隨蒸煮時間的變化。由圖8（a）可知，與開環系統相比，采用MPC策略形成閉環系統后，在MPC 控制器的預測與優化機制作用下，系統能夠快速響應，從而有效抑制蒸煮初期的卡伯值波動；此外，蒸煮結束時的紙漿卡伯值接近預設值，誤差≤2%。上述結果表明MPC策略在提高間歇蒸煮過程閉環系統的動態響應速度和穩態控制精度方面，具有顯著優越性。由圖8（b）可知，自由液溫度變化緩慢，溫度范圍為400～440 K，表明MPC策略具有可操作性且安全合理。

5 結 論

針對化學制漿間歇蒸煮過程的精準控制問題，本研究基于擴展普渡模型對間歇蒸煮過程進行模擬仿真，采用子空間系統辨識的數值算法 （N4SID） 建立制漿間歇蒸煮過程的低維降階狀態空間模型，結合龍伯格狀態觀測器設計了間歇蒸煮過程的模型預測控制（MPC） 算法，并通過 Matlab 仿真實驗對間歇蒸煮過程的MPC算法進行驗證。

5. 1 N4SID算法能夠直接基于輸入輸出數據，對復雜的非線性間歇蒸煮過程的動力學模型進行降階，有效降低模型的計算復雜度。結果表明，4階狀態空間模型與復雜物理動態模型具有較好擬合度，且相比物理模型具有更強的適應性和靈活性。

5. 2 在MPC策略的預測和控制作用機制下，通過調節自由液相溫度，可控制間歇蒸煮制漿過程中的卡伯值，使其在蒸煮結束時達到預設值，且誤差≤2%，體現了MPC控制器的有效性和優越性。

為滿足多樣化高質量紙制品的制造需求，未來可側重于開發更為精確的間歇蒸煮過程控制動態模型，探索更先進的模型降階技術和自適應控制策略，研究MPC在工業擾動和動態不確定性條件下的適應能力，為高品質紙漿生產提供技術支持。

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