復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)分析與干預(yù)若干研究進(jìn)展

中圖分類號(hào)：N941.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Some Recent Advances in Analysis and Intervention of Opinion Dynamics in Complex Networks

ZHANG Qi1，WANG Xiaofan1，2 （1.Department of Automation，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 2Oo24O，China; Faculty of Intelligence Technology，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 2Ol418，China）

Abstract：Opinion dynamics has emerged as a research hotspot in many fields such as network science，control theory and sociology， focusing on the analysis and interventions of opinion evolution in complex networks. This paper reviews two research directions developed from the Friedkin-Johnsen model. First，the co-evolution of implicit opinions and explicit opinions under the social pressure is presented，with an emphasis on recent advances in conformity behavior and opinion polarization. Second，the opinion intervention based on opinion maximization problem is introduced and the recent progress is summarized from perspective of intervention strategies such as node selection and timing selection. Finally， future research directions of opinion dynamics under the intersection of multiple fields are discussed.

Keywords： complex networks; opinion dynamics； opinion co-evolution; opinion maximization

0 引言

隨著社會(huì)的演化和技術(shù)的進(jìn)步，人們互動(dòng)和參與社會(huì)活動(dòng)的方式也在發(fā)生顯著變化。個(gè)體的觀點(diǎn)不僅受到親朋好友等熟人社交網(wǎng)絡(luò)中觀點(diǎn)的影響，還受到新聞媒體、商業(yè)廣告等各種信息和規(guī)范的塑造。分析群體觀點(diǎn)的演化、合理引導(dǎo)群體觀點(diǎn)、避免信息誤導(dǎo)和觀點(diǎn)極化，已成為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)[1-3]、控制理論[4-5]及社會(huì)學(xué)[6-7]等領(lǐng)域的重要研究課題。DeGroot 模型[8]是一個(gè)經(jīng)典的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型，該模型的一個(gè)標(biāo)志性的拓展是Friedkin-Johnsen（F-J）模型[9]。在F-J模型的基礎(chǔ)上又有大量的擴(kuò)展工作，本文重點(diǎn)介紹兩個(gè)方向的近期研究進(jìn)展：1）內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)共演化研究[10-12]，揭示社會(huì)壓力下個(gè)體從眾行為和群體極化等現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理;2）觀點(diǎn)最大化（O-pinion Maximization，OM）問(wèn)題[4，13-14]，探討如何通過(guò)節(jié)點(diǎn)選擇、增加連邊、資源分配和時(shí)機(jī)選擇等策略實(shí)現(xiàn)目標(biāo)最優(yōu)。最后，展望多領(lǐng)域交叉趨勢(shì)下的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)研究方向與挑戰(zhàn)。

1經(jīng)典的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型及其拓展

1.1 DeGroot模型及其拓展

考慮 n 個(gè)個(gè)體在討論某個(gè)事物或話題，其相互影響（互動(dòng)）網(wǎng)絡(luò)由圖 G（W）={V，E，W} 描述，其中 V={1 |2，…，n 是圖 G（W） 的節(jié)點(diǎn)集合，每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)個(gè)體； E={e_ij：i，j∈V}?V×V 是邊集合，描述了網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體間的互動(dòng)或影響，其中邊 e_ij=（i，j）∈E 表示個(gè)體 i 可以接收到來(lái)自個(gè)體 j 的觀點(diǎn)信息， m=∣E∣ 。W=[w_ij]∈R^n×n 是鄰接矩陣，其元素 w_ijgt;0 當(dāng)且僅當(dāng) e_ij∈E 。定義 N_i={j∈V τυ_ijgt;0} 表示個(gè)體 i∈V 的鄰居集合。若個(gè)體 j∈N_i ，則稱其為個(gè)體 i 的鄰居。

令 x_i（t）∈[0，1] 表示在 t∈N 時(shí)刻，個(gè)體 i∈V 對(duì)討論事物的觀點(diǎn)。個(gè)體的觀點(diǎn)值越大，表示其對(duì)討論事物的支持程度越高。在每個(gè)時(shí)刻 t∈N ，個(gè)體 i∈V 根據(jù)鄰居個(gè)體觀點(diǎn)調(diào)整自己的觀點(diǎn)，DeGroot模型[8]描述為

其中， τ_ij∈[0，1] 為個(gè)體 j 對(duì)個(gè)體 i 的影響權(quán)重，且滿足 。由此可知，矩陣 W=[w_ij] 是一個(gè)非負(fù)行隨機(jī)矩陣。令 x（t）=[x₁（t），…，x_n（t）]^? 表示 t∈N 時(shí)刻的觀點(diǎn)向量，則DeGroot模型（1）可寫為

定義1（收斂性和一致性[15]）考慮社會(huì)網(wǎng)絡(luò) G（W）=V，E，W 上的觀點(diǎn)演化。對(duì)于任意初始觀點(diǎn)向量 x（0）∈ [0，1]ⁿ ，若對(duì)于任意 i∈V ，存在 x_i^*∈[0，1] ，使得

lim_t∞x_i（t）=x_i^?

則稱觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型收斂。進(jìn)一步地，若對(duì)于任意 i∈V，x_i^*=x^*∈[0，1] ，則稱觀點(diǎn)達(dá)成一致。

收斂性和一致性問(wèn)題是DeGroot 模型研究的基礎(chǔ)問(wèn)題，已有大量研究基于矩陣?yán)碚摗D論和馬爾可夫鏈等相關(guān)理論給出了充要條件，詳細(xì)內(nèi)容可參考綜述論文[15」-_17」。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)引人個(gè)體差異等影響觀點(diǎn)演化的因素，發(fā)展出更加多樣化的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型以描述實(shí)際社會(huì)現(xiàn)象，例如F-J模型[9」、Hegselmann-Krause（H-K）模型[18]、偏見同化模型[19]等。

1.2F-J模型及其拓展

基于DeGroot 模型，F(xiàn)riedkin 和Johnsen[9]考慮了在觀點(diǎn)演化過(guò)程中，個(gè)體不僅受鄰居觀點(diǎn)的影響，還會(huì)對(duì)自己的初始觀點(diǎn)具有一定的固執(zhí)程度。考慮 n 個(gè)個(gè)體在討論某個(gè)事物，其社交網(wǎng)絡(luò)為 G（W）={V，E，W} 。在時(shí)刻 t∈N ，個(gè)體 i∈V 觀點(diǎn)更新如式（3）：

其中， λ_i∈[0，1] 為個(gè)體 i 對(duì)外界影響的敏感程度， 1-λ_i 則被視為其對(duì)初始觀點(diǎn)的固執(zhí)程度， τ_ij∈[0，1] 為個(gè)體j 對(duì)個(gè)體 i 觀點(diǎn)的影響權(quán)重，且對(duì)于任意 i∈V ，滿足 。令對(duì)角矩陣 Λ=diag{λ₁，λ₂，…，λ_n} ，則F-J模型（3）可寫為

Friedkin等[2在F-J模型中引入多個(gè)事件的邏輯關(guān)系矩陣，研究了個(gè)體在面對(duì)多個(gè)具有邏輯關(guān)系事件的觀點(diǎn)共演化問(wèn)題。隨后，Parsegov等[20]對(duì)該模型的收斂性進(jìn)行了分析。Friedkin和Bull[21]將F-J模型拓展到了事件序列，并通過(guò)設(shè)計(jì)社會(huì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型在解釋群體經(jīng)過(guò)多輪討論后獲得真相的有效性。Bernardo 等[22]提出了級(jí)聯(lián)F-J模型，用于描述《巴黎協(xié)定》談判過(guò)程中多方參與的復(fù)雜互動(dòng)。該模型結(jié)合了短時(shí)間尺度的 F-J模型和長(zhǎng)時(shí)間尺度的多階段連接模型，模擬了實(shí)際談判中的共識(shí)達(dá)成過(guò)程。隨后， wang 等[23]給出了級(jí)聯(lián)F-J模型的一致性條件。

F-J模型通過(guò)引人初始觀點(diǎn)對(duì)個(gè)體的持續(xù)影響，展現(xiàn)了觀點(diǎn)分歧的形成機(jī)制。根據(jù)社會(huì)心理學(xué)中的失調(diào)理論，當(dāng)個(gè)體與其鄰居觀點(diǎn)存在分歧時(shí)，可能會(huì)引發(fā)認(rèn)知失調(diào)[24]。為了緩解這種不適感，個(gè)體會(huì)傾向于調(diào)整自己的觀點(diǎn)，從而減少認(rèn)知失調(diào)。Bindel等[25]將這種與鄰居觀點(diǎn)的分歧程度作為衡量認(rèn)知失調(diào)的代價(jià)，假設(shè)個(gè)體通過(guò)調(diào)整觀點(diǎn)以最小化認(rèn)知失調(diào)的代價(jià)函數(shù)，其中代價(jià)函數(shù)定義為

其中， s_i 為個(gè)體 i 的內(nèi)在信念； x_i（t） 為在 Ψ_tΨ_Ψ 時(shí)刻個(gè)體 i 的外顯觀點(diǎn)，是其內(nèi)在信念和鄰居觀點(diǎn)的“妥協(xié)”。個(gè)體 i 的外顯觀點(diǎn)更新為

在式（5）的觀點(diǎn)更新規(guī)則中，個(gè)體的內(nèi)在信念 s_i 持續(xù)影響外顯觀點(diǎn) x_i（t） 的演化，是F-J模型思想的一種表現(xiàn)形式，與Friedkin 和Johnsen[26]于1990年提出的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型一致。令 s=[s₁，s₂，…，s_n]^T∈[0，1]ⁿ 表示內(nèi)在信念向量，對(duì)角矩陣 D=diag{d₁，d₂，…，d_n} 為度矩陣，其中 ，則模型（5）可表示為

x（t+1）=（I_n+D）^-1Wx（t）+（I_n+D）^-1s，?t∈N

令 x^*=[x₁^*，x₂^*，…，x_n^*]^T 表示個(gè)體的穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)，即 x^*=（I_n+D）^-1（Wx^*+S） 。矩陣 L=D-W 為圖 G（W） （204號(hào)的拉普拉斯矩陣。Bindel等[25]證明F-J模型（6）將收斂到平衡點(diǎn) x^*=（I_n+L）^-1s ，這也是博弈問(wèn)題（5）的唯一納什均衡。

基于Bindel等[25]對(duì)F-J模型的解構(gòu)，逐漸發(fā)展出兩個(gè)研究方向：一是聚焦社會(huì)壓力影響下個(gè)體內(nèi)在觀點(diǎn)與其外部表達(dá)動(dòng)態(tài)演化過(guò)程的模型構(gòu)建以及動(dòng)力學(xué)分析；二是面向宣傳推廣等輿論引導(dǎo)場(chǎng)景的宣傳策略研究，即研究如何通過(guò)調(diào)整部分網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（例如增加連邊）或影響部分個(gè)體的初始觀點(diǎn)等方法，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中觀點(diǎn)分歧程度最小化、網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體對(duì)討論事物的整體評(píng)價(jià)最大化等目標(biāo)最優(yōu)。

2 內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)共演化

在經(jīng)典觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型中，通常假設(shè)個(gè)體對(duì)討論事物僅持有一個(gè)觀點(diǎn)。近年來(lái)，受社會(huì)心理學(xué)經(jīng)典研究阿希從眾實(shí)驗(yàn)[27]的啟發(fā)，個(gè)體內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)共演化問(wèn)題逐漸成為研究熱點(diǎn)。內(nèi)隱觀點(diǎn)反映個(gè)體的真實(shí)想法，受認(rèn)知偏差、行為習(xí)慣等經(jīng)驗(yàn)影響；而外顯觀點(diǎn)為個(gè)體在社會(huì)壓力作用下，觀點(diǎn)調(diào)整后做出的公開表達(dá)。當(dāng)前，觀點(diǎn)共演化問(wèn)題的研究主要集中在內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)動(dòng)態(tài)模型構(gòu)建、模型的動(dòng)力學(xué)分析，以及實(shí)際現(xiàn)象的重現(xiàn)和其產(chǎn)生機(jī)理的解釋。現(xiàn)有的共演化研究主要基于表達(dá)與私人觀點(diǎn)（Expressed and Private Opinion，EPO）模型框架[10]。本節(jié)將首先闡述 EPO模型，隨后介紹基于 EPO模型的拓展研究，最后簡(jiǎn)述基于隨機(jī)性模型等其它共演化的研究框架。

2.1 EPO模型

Ye等[10]基于社會(huì)從眾現(xiàn)象提出了EPO模型。考慮社會(huì)網(wǎng)絡(luò) G（W）={V，E，W} 上的群體討論，其中個(gè)體對(duì)同一個(gè)事物具有雙重觀點(diǎn)：內(nèi)隱觀點(diǎn)和外顯觀點(diǎn)，分別記為 x_i（t） 和 。內(nèi)隱觀點(diǎn)代表個(gè)體的真實(shí)想法，不被其余個(gè)體獲得。外顯觀點(diǎn)是個(gè)體在群體壓力下真實(shí)想法的外向表述，受外界輿論觀點(diǎn)的影響。在EPO模型框架中，在每個(gè)時(shí)刻，個(gè)體根據(jù)鄰居觀點(diǎn)調(diào)整自己的內(nèi)隱觀點(diǎn)，并且根據(jù)觀察到的輿論觀點(diǎn)與其內(nèi)隱觀點(diǎn)調(diào)整外顯觀點(diǎn)。內(nèi)隱與外顯觀點(diǎn)演化過(guò)程如圖1所示。

Ye等[10]考慮了基于F-J模型（3）的內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)的共演化模型，在 t∈N 時(shí)刻，個(gè)體 i∈V 的內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)的更新規(guī)則為

其中， λ_i∈[0，1] 為個(gè)體 i 對(duì)人際影響的敏感程度； τ_ii≥0 為個(gè)體 i 對(duì)自己觀點(diǎn)的自信程度， τυ_ij?0 為個(gè)體 j 外顯觀點(diǎn)對(duì)個(gè)體 i 的影響權(quán)重，且對(duì)于任意 i∈V ， ： ?_i∈[0，1] 為個(gè)體 i 對(duì)外界輿論觀點(diǎn)的抵抗程度， 1- ?_i∈[0，1] 可視為輿論觀點(diǎn)對(duì)個(gè)體 i 的外顯觀點(diǎn)的影響程度，簡(jiǎn)稱社會(huì)壓力程度； 為 Ψ_t 時(shí)刻，個(gè)體 i 觀察到的外界輿論觀點(diǎn)，其中矩陣 是一個(gè)行隨機(jī)矩陣，其元素 m_ij 描述了個(gè)體 j 的外顯觀點(diǎn)對(duì)個(gè)體 i 視角下的輿論觀點(diǎn)的影響程度。假設(shè)圖 G（M） 與圖 G（W） 具有相同的連接關(guān)系，即 m_ijgt;0 當(dāng)且僅當(dāng)（204號(hào) 。此外，假設(shè)每個(gè)個(gè)體 i∈V 初始外顯觀點(diǎn)與內(nèi)隱觀點(diǎn)相同，即 （204號(hào) Φ（0）=x_i（0） 。令 x（t）= [x₁（t），x₂（t），…，x_n（t）]^T 與 分別表示 Ψ_t 時(shí)刻的內(nèi)隱觀點(diǎn)向量與外顯觀點(diǎn)向量，對(duì)角矩陣 ?=diag{?₁，?₂，…，?_n} 和 Λ=diag{λ₁，λ₂，…，λ_n} 分別表示個(gè)體對(duì)輿論觀點(diǎn)的抵抗程度以及個(gè)體對(duì)外界影響的敏感程度，則 EPO 模型（7）-（9）可表示為如式（10）的緊湊形式：

其中， 是對(duì)角矩陣， ，初始條件 。根據(jù)上述矩陣形式，EPO模型（1O）可視為F-J模型[26]。Ye等[10]給出EPO模型（1O）收斂的充分條件，即圖 G（W） 是強(qiáng)連通且非周期的，且矩陣 W 和 M 是行隨機(jī)的，則內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)值分別為

其中，矩陣 ，矩陣 S=（I_n-（I_n-Φ）M）^-1Φ □

2.2 EPO模型的拓展

在 EPO模型框架提出后，人們進(jìn)一步將其與經(jīng)典的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型結(jié)合，研究了有界信任[28-30]，偏見同化[11.31]等個(gè)體認(rèn)知偏差對(duì)內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)共演化的影響。

有界信任模型[18.32-34]是經(jīng)典的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型，模擬了個(gè)體選擇性偏差對(duì)觀點(diǎn)演化的影響。有界信任模型假設(shè)個(gè)體對(duì)外界信息的接受范圍有限，僅受到與其觀點(diǎn)差異小于信任閾值的個(gè)體觀點(diǎn)影響，最終群體將演化至若干同質(zhì)性觀點(diǎn)簇。H-K模型[18]和 Deffuant-Weisbuch（D-W）模型[3]是經(jīng)典的有界信任模型，其中H-K 模型采用同步更新機(jī)制，而D-W模型考慮隨機(jī)相遇的互動(dòng)機(jī)制。下面介紹考慮內(nèi)隱觀點(diǎn)和外顯觀點(diǎn)共演化的有界信任機(jī)制。

考慮 n 個(gè)個(gè)體在討論某個(gè)事物，令 V={1，2，…，n} 表示個(gè)體集合，其中每個(gè)個(gè)體 i∈V 具有內(nèi)隱觀點(diǎn)（204號(hào) x_i（t）∈[0，1] 和外顯觀點(diǎn) 。根據(jù)有界信任模型，個(gè)體具有一個(gè)有界的信任閾值 d_igt;0 ，只受到與其內(nèi)隱觀點(diǎn)差異小于信任閾值的個(gè)體影響，則令集合 ，表示在 χ_t 時(shí)刻與個(gè)體 i 溝通交流的鄰居個(gè)體集合。當(dāng)個(gè)體對(duì)討論對(duì)象僅具有一個(gè)觀點(diǎn)時(shí)（即經(jīng)典的有界信任模型 ^[18，32-34]） ，個(gè)體通過(guò)比較自己觀點(diǎn)與其余個(gè)體的觀點(diǎn)差異來(lái)定義交流鄰居集合。而在內(nèi)隱與外顯觀點(diǎn)共演化的研究框架中，由于個(gè)體無(wú)法觀察到其他個(gè)體的內(nèi)隱觀點(diǎn)，因此在定義互動(dòng)鄰居集合 N_i^o（t） 時(shí)，個(gè)體比較其內(nèi)隱觀點(diǎn)與其余個(gè)體外顯觀點(diǎn)的差異。

基于H-K 模型和 EPO 模型，Cheng 和 Yu^[28] 研究了順從場(chǎng)景下的內(nèi)隱觀點(diǎn)和外顯觀點(diǎn)共演化問(wèn)題，其中個(gè)體內(nèi)隱觀點(diǎn)不從眾，但由于從眾壓力的影響，表達(dá)接近輿論觀點(diǎn)的外顯觀點(diǎn)。在時(shí)刻 t∈N ，個(gè)體 i∈V 表達(dá)其外顯觀點(diǎn) ，觀察其余個(gè)體的外顯觀點(diǎn) ，并基于此更新其內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)，更新規(guī)則為

其中， |N_i^o（t）| 為在 Ψ_t 時(shí)刻，與個(gè)體 i 互動(dòng)交流的鄰居數(shù)量。Cheng 和 Yu^[28] 給出了模型 （11）～（13） 實(shí)現(xiàn)內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)一致的充分條件，即對(duì)于任意個(gè)體 i∈V 和時(shí)刻 t∈N ，且 N_i^o（t）≠ ? 。基于仿真結(jié)果指出，隨著社會(huì)壓力 1-? 的增加，群體的穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)從一致性轉(zhuǎn)變?yōu)榉至裑28]。恰當(dāng)?shù)纳鐣?huì)壓力1-? 可以促進(jìn)群體觀點(diǎn)共識(shí)；然而，隨著社會(huì)壓力 1-? 的增加，個(gè)體的外顯觀點(diǎn)與內(nèi)隱觀點(diǎn)產(chǎn)生分歧，邊緣個(gè)體將從群體分裂，其數(shù)量隨著群體壓力的增加而增加[28]。此外， Hou 等[29]在基于H-K模型的內(nèi)隱觀點(diǎn)更新規(guī)則（11）中進(jìn)一步考慮了初始觀點(diǎn)的持續(xù)影響，其中初始觀點(diǎn)對(duì)內(nèi)隱觀點(diǎn)的影響程度由時(shí)變的固執(zhí)程度參數(shù) 1- λ_i（t） 描述，通過(guò)數(shù)值仿真分析了固執(zhí)程度參數(shù)對(duì)最終觀點(diǎn)簇?cái)?shù)量的影響。

Luo 等[30]結(jié)合EPO模型[10]和D-W 模型[33]研究了內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)的共演化。在每個(gè)時(shí)刻 t∈N ，隨機(jī)選擇一對(duì)個(gè)體進(jìn)行互動(dòng)，記為 i，j∈V 。被選擇進(jìn)行互動(dòng)的個(gè)體內(nèi)隱觀點(diǎn)更新規(guī)則為

其中 ，μ_i，μ_j∈（0，0.5] 為收斂參數(shù)， 為指示函數(shù)，若事件 ω 為真，則 Π_ω=1 ；否則， Π_ω=0 。其余未被選擇進(jìn)行互動(dòng)的個(gè)體 ，其內(nèi)隱觀點(diǎn)保持不變，即

x_l（t+1）=x_l（t）

所有個(gè)體 i∈V 根據(jù)其內(nèi)隱觀點(diǎn)與觀察到的外界輿論調(diào)整自己的外顯觀點(diǎn)：

其中，個(gè)體觀察到的外界輿論 如式（13）所示。Luo等[30]提出了模型 （14）～（17） 實(shí)現(xiàn)內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)一致性的充分條件，即對(duì)于任意時(shí)刻 t∈N ，存在 τ（t）∈N ，使每個(gè)個(gè)體在 [t，t+τ（t）] 均與其余個(gè)體互動(dòng)，并調(diào)整其觀點(diǎn)。Luo等[30]通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)指出，從眾壓力 1-?_i 程度較低時(shí)，個(gè)體內(nèi)隱觀點(diǎn)和外顯觀點(diǎn)將迅速達(dá)成共識(shí);隨著壓力的增加，內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)展現(xiàn)出多樣性。

為了更直觀展示基于H-K模型的觀點(diǎn)共演化模型 （11）～（13） 以及基于D-W模型的觀點(diǎn)共演化模型 （14）～ （17）的內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)演化，本文根據(jù)觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型繪制了其演化軌跡，如圖2所示，其中共有 n=20 個(gè)個(gè)體參與討論，個(gè)體信任閾值 d_i=d=0.15 ，個(gè)體對(duì)外界影響的抵抗程度 ?_i=?∈{0，25，0.5，0.8} 。

在上述基于有界信任模型的內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)共演化模型中，個(gè)體基于加權(quán)平均算法以及其余個(gè)體的外顯觀點(diǎn)調(diào)整其觀點(diǎn)。這種加權(quán)平均規(guī)則使得個(gè)體間相互妥協(xié)，因此隨著群體討論的深人，群體中的極端觀點(diǎn)逐漸向中間立場(chǎng)靠攏，極端程度降低。這一現(xiàn)象展現(xiàn)了群體討論有助于緩解輿論極端對(duì)立[35]，促進(jìn)社會(huì)共識(shí)的形成。

然而，實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)具有相似偏好的個(gè)體討論可能加強(qiáng)個(gè)體偏好，導(dǎo)致群體觀點(diǎn)極端化[36]。

為了描述觀點(diǎn)極化的演化過(guò)程，我們基于偏見同化模型[19]和EPO模型框架[10]，研究了內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)的共演化[11]。考慮網(wǎng)絡(luò) G={V，E，W} 上的群體討論。在 t∈N 時(shí)刻，個(gè)體 i∈V 內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)更新規(guī)則為

其中， b_igt;0 為個(gè)體 i 的偏見參數(shù)， 為個(gè)體在 t 時(shí)刻所有鄰居外顯觀點(diǎn)的加權(quán)和，鄰居集合N_i={j∈V，j≠i w_ijgt;0} ， w_ij?0 為個(gè)體 j 的外顯觀點(diǎn)對(duì)個(gè)體 i 的影響權(quán)重， 為所有鄰居的影響總和， ?_i∈[0，1] 為個(gè)體對(duì)輿論觀點(diǎn)的抵抗程度， m_ij∈[0，1] 為個(gè)體 j 的外顯觀點(diǎn)對(duì)個(gè)體觀察到的輿論觀點(diǎn) 的影響權(quán)重，圖 G（M） 與圖 G（W） 具有相同的連接關(guān)系且矩陣 M=[m_ij] 是行隨機(jī)的。若對(duì)于任意個(gè)體 i∈V，?_i= 1且 ，那么對(duì)于任意 t∈N ，內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)相同，即 ，則模型（18）退化為經(jīng)典的偏見同化模型[19];進(jìn)一步地，若對(duì)于任意 i∈V ，偏見參數(shù) b_i=0 ，則模型（18）退化為DeGroot模型。

我們通過(guò)理論分析研究了兩島網(wǎng)絡(luò)模型[19]中內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)的共演化過(guò)程與結(jié)果，其中兩島網(wǎng)絡(luò)模型用來(lái)描述同質(zhì)性環(huán)境，群體內(nèi)部具有更多互動(dòng)，如圖3所示，描述如下：定義2（兩島網(wǎng)絡(luò)[19]）給定正整數(shù) n₁，n₂gt;0 和實(shí)數(shù) p_s，p_d∈（0，1） ，一個(gè) （n₁，n₂，p_s，?_pd） -兩島網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)無(wú)向圖 G=（V₁，V₂，E，W） ，其中

2）群體 V₁ 中的個(gè)體，在群體 V₁ 中有 n₁ρ_s 個(gè)鄰居，在群體 V₂ 中有 個(gè)鄰居；3）群體 V₂ 中的個(gè)體，在群體 V₂ 中有 n₂Δp ，個(gè)鄰居，在群體 V₁ 中有 n₂Δp_d 個(gè)鄰居；

表示圖 G 的同質(zhì)性程度。

考慮一個(gè) （n，n，p_s，p_d） 一兩島網(wǎng)絡(luò) G=（V₁，V₂，E，W） ，其中任意個(gè)體 i∈ V=V₁?V₂，j∈N_i，w_ij=1 。假設(shè)對(duì)于任意 i∈V，m_ij=1/d_i，b_i=bgt;0，?_i=?∈ （0，1）；對(duì)于任意 i∈V₁ j∈V₂ ，內(nèi)隱觀點(diǎn) x_i（0）=1-x_j（0）=x₀∈（1/2，1） ，外顯觀點(diǎn) [1/2，x₀] ，即假設(shè)個(gè)體初始外顯觀點(diǎn)相較于內(nèi)隱觀點(diǎn)更中立。通過(guò)理論分析可得，當(dāng)上述假設(shè)條件成立時(shí)，個(gè)體初始內(nèi)隱與外顯觀點(diǎn)（即 不影響最終演化結(jié)果。隨著個(gè)體偏見參數(shù) b 的增加，群體將從接納從眾轉(zhuǎn)變?yōu)轫槒膹谋娦袨椋瑑?nèi)隱觀點(diǎn)將從共識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槌掷m(xù)的分歧、極化，我們給出了現(xiàn)象轉(zhuǎn)換的臨界值，具體如下：

若個(gè)體輕微偏見，即 β（hG-1）+2群體內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)在中立狀態(tài)1/2 達(dá)成共識(shí)，展現(xiàn)接納從眾現(xiàn)象[24]，即隨著討論的進(jìn)行，個(gè)體逐漸接納輿論觀點(diǎn)并與外顯觀點(diǎn)一致。

若個(gè)體中度偏見，即 （h-1）+21 與 j∈V₂ ，內(nèi)隱觀點(diǎn)穩(wěn)態(tài)值為

若個(gè)體嚴(yán)重偏見，即 b?1 ，內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)收斂，內(nèi)隱觀點(diǎn)極化到極端狀態(tài)，即對(duì)于任意 i∈V₁ 以及 j∈ V₂ ，內(nèi)隱穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)分別為 lim_t∞x_i（t）=1，lim_t∞x_j（t）=0 ，而個(gè)體仍然表達(dá)出相對(duì)中立的外顯觀點(diǎn)，其穩(wěn)態(tài)值分別為 。

綜上，當(dāng)個(gè)體中等或嚴(yán)重偏見時(shí)，個(gè)體展現(xiàn)順從從眾行為，雖然其內(nèi)心可能不認(rèn)同，但始終表達(dá)出更中立的外顯觀點(diǎn)[24]。圖4展示了如圖3所示的兩島網(wǎng)絡(luò)中，不同抵抗程度與偏見程度下，內(nèi)隱與外顯穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)值，其中圖

4e為經(jīng)典偏見同化模型[19]中的穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)值。如圖4所示，當(dāng)個(gè)體嚴(yán)重偏見時(shí)，外顯穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)會(huì)隨著社會(huì)壓力1-? 的增加而更加中立，但內(nèi)隱觀點(diǎn)極化，不受社會(huì)壓力 1-? 影響。

1.0 m 1.0. 1.0 .. 1.0 1.0 . S V內(nèi)隱觀點(diǎn) .5 V外顯觀點(diǎn) 群體1觀點(diǎn) 態(tài) 態(tài) 態(tài) V內(nèi)觀點(diǎn) 態(tài) 群體2觀點(diǎn) 穩(wěn) 穩(wěn) 穩(wěn) 穩(wěn) 穩(wěn) 0 O 0 0L \".. 0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 抵抗程度， 抵抗程度， ? 偏見參數(shù)，b 偏見參數(shù)，b 偏見參數(shù)，b a b=0.85 （204號(hào) b b=1.2 （204號(hào) C ?=0.25 d ?=0.8 （2 e=1 注 ：h_G=2 （20

此外，社會(huì)心理學(xué)中的雙重態(tài)度理論[37]指出，個(gè)體內(nèi)隱觀點(diǎn)受經(jīng)驗(yàn)影響，較難改變。鑒于此，我們進(jìn)一步分離了內(nèi)隱觀點(diǎn)和外顯觀點(diǎn)的更新時(shí)間軸，構(gòu)建了異步更新機(jī)制[31]，其中個(gè)體在每個(gè)時(shí)刻表達(dá)外顯觀點(diǎn)，但根據(jù)其自己的時(shí)鐘調(diào)整內(nèi)隱觀點(diǎn)。內(nèi)隱觀點(diǎn)更新時(shí)間集合定義為

定義3（內(nèi)隱觀點(diǎn)更新時(shí)間集合[31]）令 T_i={t_kⁱ}_k=0^∞ 表示個(gè)體 i∈V 更新其內(nèi)隱觀點(diǎn)的時(shí)間集合，滿足：

1）對(duì)于任意 k∈N⁺ ，時(shí)刻 t_kⁱ∈N 滿足 0=t₀ⁱkⁱk+1ⁱ 2）存在 τ_max∈N⁺ ，使得對(duì)于任意 k∈N ， t_k+1ⁱ-t_kⁱlt;τ_max ：3）lim_k∞t_kⁱ=∞ 。

對(duì)于內(nèi)隱與外顯觀點(diǎn)異步更新機(jī)制[31]，考慮到個(gè)體 i 內(nèi)隱觀點(diǎn)保持期間 ，個(gè)體仍在持續(xù)觀察外界輿論觀點(diǎn)并調(diào)整其外顯觀點(diǎn)，假設(shè)個(gè)體內(nèi)隱觀點(diǎn)在 t_k+1ⁱ 更新時(shí)，受到過(guò)去一段時(shí)間 t∈[t_kⁱ，t_k+1ⁱ） 內(nèi)外界信息影響。令 s_i（t_kⁱ，t_k+1ⁱ） ）表示個(gè)體 i∈V 在 [t_kⁱ，t_k+1ⁱ? 期間受到外界影響的總和，即

其中， α_i（t）∈[0，1] 描述了 Ψ_t 時(shí)刻的外界信息的影響程度，滿足 0

基于偏見同化模型[19]和EPO模型[10]，我們研究了異步更新機(jī)制下內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)的共演化[31]，其中對(duì)于任意時(shí)刻 t∈[t_kⁱ，t_k+1ⁱ），t_kⁱ，t_k+1ⁱ∈T_i ，個(gè)體 i∈V 的內(nèi)隱觀點(diǎn)更新過(guò)程為

個(gè)體外顯觀點(diǎn)與輿論觀點(diǎn)的更新規(guī)則如 （19）～（20） 所示。

我們理論分析了友好討論環(huán)境中的內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)共演化過(guò)程及結(jié)果[31]，其中個(gè)體間影響網(wǎng)絡(luò) G（W） 是連通網(wǎng)絡(luò)且所有個(gè)體對(duì)討論對(duì)象均持支持態(tài)度（即 或均持反對(duì)態(tài)度。友好環(huán)境中的群體討論會(huì)加強(qiáng)個(gè)體的初始偏好，使得所有個(gè)體的內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)在對(duì)應(yīng)初始偏好的極端觀點(diǎn)（即 sign（x_i（0）-1/2） ）處達(dá)成一致，導(dǎo)致群體極化現(xiàn)象的產(chǎn)生[31]，觀點(diǎn)演化過(guò)程如圖5所示。這一結(jié)果與Myers和Bish-op^[36] 的實(shí)證研究結(jié)果一致。

在基于 EPO模型框架的觀點(diǎn)共演化模型中，有幾點(diǎn)需要說(shuō)明。首先，對(duì)于個(gè)體觀察到的外界輿論觀點(diǎn) Ψ（Ψ_t ）的設(shè)定。在基于有界信任模型的共演化研究[28-30]中，沒有考慮個(gè)體間具體的互動(dòng)（影響）網(wǎng)絡(luò)，即對(duì)于群體中的任意兩個(gè)個(gè)體都有機(jī)會(huì)進(jìn)行互動(dòng)，因此假設(shè)每個(gè)個(gè)體觀察到的外界輿論觀點(diǎn)相同，為所有個(gè)體外顯觀點(diǎn)的平均值，即 m_ij=1/n，?i，j∈V ；而在 EPO 模型[10]以及基于偏見同化模型的共演化研究[11，31]中，個(gè)體間的交流受到社交網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響，因此每個(gè)個(gè)體觀察到的外界輿論觀點(diǎn)也受到社交網(wǎng)絡(luò)的影響，即個(gè)體只能觀察到鄰居的外顯觀點(diǎn)。這兩種假設(shè)都具有實(shí)際意義，不同的設(shè)定可能會(huì)產(chǎn)生不同的觀點(diǎn)演化結(jié)果。其次，對(duì)于初始外顯觀點(diǎn)的設(shè)定。一些研究假設(shè)個(gè)體初始外顯觀點(diǎn)與內(nèi)隱觀點(diǎn)相同[28-30]，Ye等[10]也考慮了這一設(shè)定，但其證明了在 EPO模型（10）中，個(gè)體初始外顯觀點(diǎn)不影響最終的穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)值。在基于偏見同化模型的觀點(diǎn)共演化研究[11]中，考慮個(gè)體初始外顯觀點(diǎn)比內(nèi)隱觀點(diǎn)更中立，理論分析顯示在該問(wèn)題設(shè)定下，初始外顯觀點(diǎn)不影響最終觀點(diǎn)穩(wěn)態(tài)值，但初始外顯觀點(diǎn)越中立，內(nèi)隱與外顯觀點(diǎn)在演化過(guò)程中也越中立，從而影響觀點(diǎn)收斂速度。綜上所述，目前基于 EPO模型的共演化研究未能充分展現(xiàn)上述因素在諸如多元無(wú)知、沉默的螺旋和盟友效應(yīng)等經(jīng)典心理學(xué)現(xiàn)象中社會(huì)壓力對(duì)個(gè)體觀點(diǎn)的影響，需要進(jìn)一步深入研究。

2.3其他共演化框架及進(jìn)展

在隨機(jī)性觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型方面，Jadbabaie等[38]基于交互的Polya罐子模型提出了一個(gè)觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型，研究了個(gè)體固有觀點(diǎn)與聲明觀點(diǎn)的共演化。模型假設(shè)個(gè)體的固有觀點(diǎn)保持不變，且無(wú)法被其他個(gè)體觀測(cè)，而在每個(gè)時(shí)刻，個(gè)體在社交網(wǎng)絡(luò)中廣播其聲明觀點(diǎn)，聲明觀點(diǎn)受到鄰居觀點(diǎn)的影響。Jadbabaie等[38]關(guān)注通過(guò)聲明觀點(diǎn)對(duì)個(gè)體的固有觀點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。分析指出，在全連接網(wǎng)絡(luò)中，只要人群中不包含大的多數(shù)派，估計(jì)總體和個(gè)體固有觀點(diǎn)是可能的。這是因?yàn)槿后w中大規(guī)模的多數(shù)派迫使少數(shù)派撒謊，從而導(dǎo)致無(wú)法對(duì)固有觀點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)。在此基礎(chǔ)上，Tang 等[12，39]在任意網(wǎng)絡(luò)上對(duì)此模型進(jìn)行了研究，提供了即使在共識(shí)情況下也會(huì)收斂到內(nèi)在信念的估計(jì)器。

人們還研究了連續(xù)觀點(diǎn)與離散決策（行動(dòng)）的共演化問(wèn)題。Zhan 等[40]基于有界信任模型提出了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)觀點(diǎn)與行動(dòng)演化模型，其中假設(shè)每個(gè)個(gè)體對(duì)問(wèn)題具有連續(xù)取值的觀點(diǎn)和離散的行動(dòng)。觀點(diǎn)是私人的，只有鄰居可以獲得;而行動(dòng)是公開的，對(duì)所有個(gè)體可見。Aghbolagh 等[41]基于博弈論建立了觀點(diǎn)和決策的共演化模型，證明其是序數(shù)勢(shì)博弈問(wèn)題，并推導(dǎo)出觀點(diǎn)和決策收斂以及極化的充分條件。

3觀點(diǎn)最大化問(wèn)題及其研究進(jìn)展

觀點(diǎn)最大化問(wèn)題或推廣宣傳問(wèn)題[13]源自于Kempe等[42]提出的影響力最大化問(wèn)題，但更注重觀點(diǎn)的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程。觀點(diǎn)最大化問(wèn)題考慮在給定的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中如何確定宣傳策略，使個(gè)體間經(jīng)過(guò)一段時(shí)間交流討論后，實(shí)現(xiàn)宣傳目標(biāo)最優(yōu)。具體而言，觀點(diǎn)最大化問(wèn)題由3個(gè)部分構(gòu)成：1）觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型：描述個(gè)體在網(wǎng)絡(luò)中的觀點(diǎn)演化；2）宣傳策略：針對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)上討論對(duì)象的宣傳推廣的方法，例如選擇網(wǎng)絡(luò)中的k個(gè)個(gè)體作為意見領(lǐng)袖[43」、對(duì)在網(wǎng)絡(luò)中添加 k 條連接（邊）[4]等;3）優(yōu)化目標(biāo)：衡量宣傳效果的指標(biāo)，例如網(wǎng)絡(luò)中的整體評(píng)價(jià)[13]、支持者個(gè)數(shù)[44]、群體觀點(diǎn)的收斂誤差[45]等。本文以F-J模型（6）為觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型，網(wǎng)絡(luò)中的整體評(píng)價(jià)為優(yōu)化目標(biāo)這一經(jīng)典設(shè)定為例，介紹觀點(diǎn)最大化問(wèn)題的研究框架[13]。

3.1 經(jīng)典的觀點(diǎn)最大化問(wèn)題

受Kempe等[42]影響力最大化問(wèn)題中選擇傳播信息的源頭種子節(jié)點(diǎn)的啟發(fā)，Gionis 等[13]考慮了在網(wǎng)絡(luò)中選擇 k 個(gè)個(gè)體作為意見領(lǐng)袖，說(shuō)服其外顯觀點(diǎn)保持狀態(tài)1不變，通過(guò)意見領(lǐng)袖的影響力來(lái)最大化社交網(wǎng)絡(luò) G（W） 上所有個(gè)體對(duì)討論對(duì)象的整體評(píng)價(jià)，其中整體評(píng)價(jià)定義為所有個(gè)體的穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)總和，即

問(wèn)題1（節(jié)點(diǎn)選擇[13]）：給定一個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò) G（W）={V，E，W} ，其中所有個(gè)體根據(jù)F-J模型（6）調(diào)整觀點(diǎn)。目標(biāo)是確定一個(gè)包含 k 個(gè)個(gè)體的集合 ，使集合 T_node 中個(gè)體的外顯觀點(diǎn)保持狀態(tài)1不變，實(shí)現(xiàn)整體評(píng)價(jià)最大化。令 Q_node={T_node?V ： ，相應(yīng)的組合優(yōu)化問(wèn)題描述為

為了研究目標(biāo)函數(shù)性質(zhì)以及設(shè)計(jì)時(shí)間復(fù)雜度更低的求解算法，通常進(jìn)一步分析目標(biāo)函數(shù)是否具有單調(diào)性和子模性，這是組合優(yōu)化問(wèn)題重要的性質(zhì)，具體描述如下。定義4（單調(diào)性 8. 子模性[43]）：考慮集合函數(shù) f 及其定義域 Q 。

1）單調(diào)性：如果對(duì)于任意滿足 S₁?S₂?Q 的集合 S₁ 和 S₂ ，都有 f（S₁）?f（S₂） ，則集合函數(shù) f 是單調(diào)遞增的。

2）子模性：如果對(duì)于任意滿足 S₁?S₂?Q 和任意 的集合 S₁ 和 S₂ ，都有 f（S₁?{s}）-f（S₁）≥ （204號(hào) f（S₂∪{s}）-f（S₂） ，則集合函數(shù) f 是子模的。

Gionis 等[13]證明了問(wèn)題1的目標(biāo)函數(shù)是單調(diào)遞增且子模的，即領(lǐng)導(dǎo)者個(gè)數(shù)越多，網(wǎng)絡(luò)上的整體評(píng)價(jià)就越高，但隨著領(lǐng)導(dǎo)者個(gè)數(shù)的增加，評(píng)價(jià)提升的幅度降低，即邊際收益遞減。此外，由于問(wèn)題1的目標(biāo)函數(shù)是子模的，根據(jù)現(xiàn)有研究可知，貪婪算法是一個(gè) （1-1/e ）-近似算法[46]。進(jìn)一步，Gionis等[13]證明了問(wèn)題1是一個(gè)NP-hard問(wèn)題。

組合優(yōu)化問(wèn)題最直接的求解方法是枚舉法，計(jì)算每一個(gè)可行解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，選擇其中最優(yōu)解。若采用枚舉法對(duì)問(wèn)題1進(jìn)行求解，則需要計(jì)算 次整體評(píng)價(jià) 。相比之下，貪婪算法可以將目標(biāo)函數(shù)計(jì)算次數(shù)降低至 k（2n-k+1）/2 次。然而，由于目標(biāo)函數(shù)計(jì)算涉及到矩陣求逆運(yùn)算，貪婪算法的時(shí)間復(fù)雜度過(guò)高，難以應(yīng)用于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)。大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上的觀點(diǎn)最大化問(wèn)題求解仍是當(dāng)前研究的一個(gè)重要挑戰(zhàn)。針對(duì)問(wèn)題1，Gionis等[13]基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征設(shè)計(jì)了啟發(fā)式算法，包括節(jié)點(diǎn)度，自由度（即未被貪婪算法選擇的鄰居個(gè)數(shù)）等，并在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)上對(duì)這些指標(biāo)的有效性進(jìn)行了比較研究。

3.2觀點(diǎn)最大化問(wèn)題的研究進(jìn)展

本節(jié)將圍繞構(gòu)節(jié)點(diǎn)選擇、增加連接、資源分配和時(shí)機(jī)選擇等宣傳策略（如圖6所示），介紹觀點(diǎn)最大化問(wèn)題的研究進(jìn)展。

3.2.1 節(jié)點(diǎn)選擇

在Gionis等[13提出的節(jié)點(diǎn)選擇這一經(jīng)典宣傳策略的基礎(chǔ)上， Xu 等47將其拓展到符號(hào)網(wǎng)絡(luò)中，即網(wǎng)絡(luò)中具有負(fù)權(quán)重的邊表示個(gè)體間的不信任關(guān)系，證明了外顯觀點(diǎn)的整體評(píng)價(jià)最大化問(wèn)題是一個(gè)NP-hard 問(wèn)題，并設(shè)計(jì)了多種啟發(fā)式算法指標(biāo)，比較了不同指標(biāo)在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中求解的有效性。基于F-J模型（6），Sun和 Zhang[48]研究了如何在網(wǎng)絡(luò)中選擇 k 個(gè)個(gè)體，令其內(nèi)在信念 s_i=0 ，以最小化網(wǎng)絡(luò)上的整體評(píng)價(jià)。理論上，證明了最優(yōu)節(jié)點(diǎn)選擇為結(jié)構(gòu)中心性[49]與內(nèi)在信念乘積最大的 k 個(gè)個(gè)體，其中網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn) i 的結(jié)構(gòu)中心性 ρ_i=1_n^T（?I_n+L）^-1e_i，e_i 為 n 維向量，除第 i 個(gè)元素為1外其余均為0。對(duì)于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上的求解，基于采樣方法，設(shè)計(jì)了線性時(shí)間的快速算法評(píng)估個(gè)體的結(jié)構(gòu)中心性。Mackin和Patrson[43]和Clark等[45]研究了如何選擇領(lǐng)導(dǎo)者以最大化群體的觀點(diǎn)收斂誤差。此外，Mackin 和Patterson[50]引人了相互競(jìng)爭(zhēng)的領(lǐng)導(dǎo)者，研究了領(lǐng)導(dǎo)者選擇以最大化網(wǎng)絡(luò)中觀點(diǎn)的多樣性。

3.2.2 增加連接

增加連接已被廣泛使用于實(shí)際推廣宣傳活動(dòng)中，例如社交媒體平臺(tái)通過(guò)將特定信息推送給用戶進(jìn)行宣傳推廣[51]。基于具有相互競(jìng)爭(zhēng)領(lǐng)導(dǎo)者的DeGroot 模型（1），人們研究了如何為領(lǐng)導(dǎo)者添加 k 個(gè)連邊實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)上對(duì)討論對(duì)象的整體評(píng)價(jià)最大化[4452-53]，其中領(lǐng)導(dǎo)者保持觀點(diǎn)值為1不變。理論上，已證明目標(biāo)函數(shù)具有單調(diào)性和子模性[4，52]，并且優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè) NP-hard 問(wèn)題[44]。在求解方面，上述研究側(cè)重點(diǎn)不同：Zhao 等[44]設(shè)計(jì)了基于網(wǎng)絡(luò)中心性指標(biāo)的啟發(fā)式算法，并在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)比了指標(biāo)的有效性;Zhou 和 Zhang[52]等提出了一個(gè) （1-1/e- ε）-近似算法，其時(shí)間復(fù)雜度為 ，其中 εgt;0 為可調(diào)參數(shù)；進(jìn)一步地，Zhou等[53]提出了一個(gè)亞線性時(shí)間算法。此外，Zhao 等[44]假設(shè)個(gè)體觀點(diǎn)定義域?yàn)?[-1，1] ，考慮了支持者總數(shù)（即 ））最大化問(wèn)題，指出該目標(biāo)函數(shù)不具有子模性。

基于F-J模型（6），已有研究考慮了如何向網(wǎng)絡(luò)中增加 k 條連邊以最小化網(wǎng)絡(luò)極化-分歧指數(shù) I（G）= P（G）+D（G）^[54-57] ，其中極化指數(shù) P（G）=x^*TLx^* ，分歧指數(shù) 。具體而言， Zhu 等[54]證明了以極化-分歧指數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)具有單調(diào)性，但不具有子模性，推導(dǎo)了貪婪算法求解問(wèn)題的近似度，并且設(shè)計(jì)了時(shí)間復(fù)雜度為 ）的快速求解算法。Musco等[55]研究了如何設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以最小化網(wǎng)絡(luò)極化-分歧指數(shù)，理論證明了該問(wèn)題是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題。Racz 和Rigobon[5]以及Wang 和Kleinberg[5]深人理論分析了加人連邊對(duì)網(wǎng)絡(luò)極化指數(shù)和極化-分歧指數(shù)的影響，以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)加入連接的影響。

Amelkin和Singhp[58]定義了網(wǎng)絡(luò)平均觀點(diǎn) π^Tx ，其中 π 為行隨機(jī)的鄰接矩陣 W 特征值 λ=1 對(duì)應(yīng)的單位左特征向量， x 為群體觀點(diǎn)向量。假設(shè)已知網(wǎng)絡(luò)受到攻擊，導(dǎo)致群體觀點(diǎn)由 x 變?yōu)? ，提出了基于連接推薦的禁止外部影響問(wèn)題，旨在研究通過(guò)在網(wǎng)絡(luò)中增加 k 條連接，使得圖的鄰接矩陣變?yōu)? ，以最小化修改后的網(wǎng)絡(luò)平均觀點(diǎn)與受攻擊前網(wǎng)絡(luò)平均觀點(diǎn)的差異，即 。

3.2.3 資源分配

資源分配是影響力營(yíng)銷的重點(diǎn)，商家通過(guò)給網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體提供資金等資源，勸說(shuō)其修改內(nèi)在信念或初始觀點(diǎn)，以最大化整體評(píng)價(jià)等宣傳目標(biāo)。基于節(jié)點(diǎn)選擇和增加連邊策略的觀點(diǎn)最大化問(wèn)題通常建模為一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題，而資源分配問(wèn)題的決策變量通常為連續(xù)取值，即可以決定對(duì)個(gè)體的觀點(diǎn)修改程度或提供給個(gè)體的資源量。基于符號(hào)網(wǎng)絡(luò)上的F-J模型（6）， Xu 等[47考慮了如何修改總和為 μ 的個(gè)體內(nèi)在偏見以最大化整體評(píng)價(jià)，并且提供了最優(yōu)解的解析形式，與結(jié)構(gòu)中心性相關(guān)，可通過(guò)貪婪算法求解;Zhou 等[59]考慮如何調(diào)整 k 個(gè)個(gè)體的內(nèi)在信念以最大化整體評(píng)價(jià)，提供了時(shí)間復(fù)雜度為 O（n³） 的最優(yōu)解計(jì)算方法，并設(shè)計(jì)了快速求解算法。Varma等[]構(gòu)建了一個(gè)博弈框架研究資源分配問(wèn)題，其中兩個(gè)對(duì)立的商家（影響者）參與博弈。在群體討論開始前，每個(gè)商家對(duì)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體進(jìn)行一定的投資以改變其初始觀點(diǎn)，隨后個(gè)體間進(jìn)行討論交流，觀點(diǎn)更新過(guò)程由連續(xù)時(shí)間的DeGroot模型描述，討論將持續(xù)一段時(shí)間，商家以社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體在某個(gè)給定時(shí)刻的觀點(diǎn)值總和減去投資成本作為推廣宣傳的收益。Varma等[6研究了商家如何將固定的資源分配給個(gè)體以最大化推廣宣傳的收益，證明了博弈問(wèn)題具有唯一納什均衡，基于KKT條件給出了最優(yōu)反應(yīng)策略的解析形式。此外，這個(gè)基于博弈框架的資源分配問(wèn)題進(jìn)一步被拓展到多輪宣傳中[61-65]，研究了納什均衡的存在性以及解析形式。

本質(zhì)上，節(jié)點(diǎn)選擇、增加連邊和資源分配為網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的識(shí)別問(wèn)題。實(shí)證研究表明，推廣宣傳的效果還取決于策略實(shí)施的時(shí)機(jī)[66-67]。

3.2.4 時(shí)機(jī)選擇

時(shí)機(jī)選擇關(guān)注個(gè)體在網(wǎng)絡(luò)中宣傳時(shí)刻對(duì)群體觀點(diǎn)演化的影響。基于級(jí)聯(lián)F-J模型，Wang等[14]提出了社會(huì)權(quán)力博弈問(wèn)題，研究了個(gè)體如何將有限的固執(zhí)程度總和分配到每輪討論中，以最大化最終個(gè)體的社會(huì)權(quán)力。研究發(fā)現(xiàn)，個(gè)體最優(yōu)反應(yīng)策略為\"先發(fā)優(yōu)勢(shì)\"策略，即在早期階段表現(xiàn)頑固能夠獲得最高的社會(huì)權(quán)力。Bernardo 等[68]基于關(guān)于氣候問(wèn)題的談判數(shù)據(jù)驗(yàn)證了先發(fā)優(yōu)勢(shì)策略的有效性。

近期，我們基于DeGroot模型提出了領(lǐng)導(dǎo)者最優(yōu)時(shí)機(jī)選擇問(wèn)題[4]，旨在研究當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者只能在群體討論中發(fā)言k次，如何選擇發(fā)言的時(shí)刻以最大化網(wǎng)絡(luò)上的整體評(píng)價(jià)，其中領(lǐng)導(dǎo)者觀點(diǎn)保持1不變，普通個(gè)體觀點(diǎn)可以視為對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者觀點(diǎn)的支持程度，且只有當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者發(fā)言（參與群體觀點(diǎn)討論）時(shí)，其觀點(diǎn)影響普通個(gè)體的觀點(diǎn)。考慮到產(chǎn)品推廣、輿論宣傳等實(shí)際宣傳場(chǎng)景通常具有時(shí)效性，可能沒有足夠的時(shí)間使所有個(gè)體觀點(diǎn)達(dá)到平衡狀態(tài)，因此引入了一個(gè)具體的民調(diào)時(shí)刻 T∈N⁺ ，以該時(shí)刻所有個(gè)體的平均觀點(diǎn)作為優(yōu)化目標(biāo)，即

其中， Γ={{t₁，t₂，…，t_k} 1 0?t₁lt;…k {T?N：|Γ|=k，max_t∈Tt 表示普通個(gè)體在 t∈N 時(shí)刻的觀點(diǎn)向量。具體宣傳期間的觀點(diǎn)演化過(guò)程如下[4]：

考慮普通個(gè)體的社會(huì)網(wǎng)絡(luò) G（W_N）={V_N，E_N，W_N} ，其中 V_?N={1，2，…，n} 表示普通個(gè)體集合。領(lǐng)導(dǎo)者 L 的觀點(diǎn)保持不變，即

x_L（t）=1，?t∈N

由于領(lǐng)導(dǎo)者通常具有顯著影響力[69]，假設(shè)當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者發(fā)言時(shí)，其觀點(diǎn)可以影響所有個(gè)體[4]。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于任意時(shí)刻 t∈N ，普通個(gè)體 i∈V_N 觀點(diǎn)調(diào)整過(guò)程為

其中，領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)個(gè)體 i∈V_N 的影響 w_iL（t） 滿足：

時(shí)機(jī)選擇問(wèn)題描述如下。

問(wèn)題2（時(shí)機(jī)選擇[4]）：考慮領(lǐng)導(dǎo)者 L 參與普通個(gè)體的群體討論以獲得民眾支持，其中普通個(gè)體社會(huì)網(wǎng)絡(luò)G（W_N）={V_N，E_N，W_N} ，普通個(gè)體初始觀點(diǎn)向量為 x_N（0）∈[0，1]ⁿ ，根據(jù)DeGroot模型（23）-（25）調(diào)整觀點(diǎn)。民意調(diào)查在 T∈N⁺ 時(shí)刻進(jìn)行，領(lǐng)導(dǎo)者將討論中發(fā)言 k?T 次，目標(biāo)是確定領(lǐng)導(dǎo)者發(fā)言時(shí)機(jī) Γ∈Q_timing（k，T） ，以最大化民調(diào)時(shí)刻的民意 H（T，T，x_N（0）） ），最優(yōu)時(shí)機(jī)選擇問(wèn)題描述為

理論上，我們分析了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、發(fā)言時(shí)機(jī)以及初始觀點(diǎn)對(duì)觀點(diǎn)演化的影響[4]。研究結(jié)果顯示，目標(biāo)函數(shù)H（T，T，x_N）（ 0））關(guān)于發(fā)言時(shí)間集合 Γ∈Q_T={0，1，…，T-1} 單調(diào)遞增且具有子模性。然而目標(biāo)函數(shù)H（T，T，x_N（0） ）并不是一個(gè)關(guān)于領(lǐng)導(dǎo)者發(fā)言次數(shù) |Γ| 的單調(diào)函數(shù)，即在某些情況下，領(lǐng)導(dǎo)者在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行干預(yù)可能比更多次但時(shí)間不恰當(dāng)?shù)母深A(yù)得到更好的宣傳效果，即存在 ∣r₁∣lt;∣r₂∣，H（r₁，T，x_N（0））gt; H（T₂，T，x_N（0） ）的情況。這一性質(zhì)符合傳染病控制研究[70]中早期的干預(yù)比后期更長(zhǎng)期的干預(yù)更有效的結(jié)果。此外，我們給出了一個(gè)關(guān)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) G（W_N ）的充要條件，使得領(lǐng)導(dǎo)者發(fā)言時(shí)間集合 T 不影響宣傳推廣效果。具體而言，對(duì)于任意初始觀點(diǎn) x_N（0）∈[0，1]ⁿ ，任意民調(diào)時(shí)間 T 和發(fā)言次數(shù) k?T ，領(lǐng)導(dǎo)者發(fā)言時(shí)間 T 不影響民調(diào)結(jié)果 H（T，T，x_N（0）） 當(dāng)且僅當(dāng) G（W_N） ）是一個(gè)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，即存在 dgt;0 ，使得 D=dI_n 。針對(duì)描述社交網(wǎng)絡(luò)中意見領(lǐng)袖與其跟隨者影響關(guān)系的星型網(wǎng)絡(luò)，推導(dǎo)了領(lǐng)導(dǎo)者在星型網(wǎng)絡(luò)中的最優(yōu)干預(yù)時(shí)機(jī)。分析發(fā)現(xiàn)，若星型網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點(diǎn)（即意見領(lǐng)袖，影響網(wǎng)絡(luò)中其余所有個(gè)體，但不受其影響）度小于所有非中心個(gè)體的度，則領(lǐng)導(dǎo)者在討論開始時(shí)進(jìn)行發(fā)言（即 {0，1，…，k-1} ）效果最好;否則，即中心節(jié)點(diǎn)度大于所有非中心個(gè)體的度，則在民調(diào)前進(jìn)行發(fā)言（即 {T-k，…，T-1} ）效果最好。對(duì)于時(shí)機(jī)選擇問(wèn)題的求解，由于目標(biāo)函數(shù)具有子模性，貪婪算法是一個(gè)（1-1/e ）一近似算法。為了進(jìn)一步降低計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度，我們定義了時(shí)間重要性指標(biāo)，基于此設(shè)計(jì)了啟發(fā)式算法，在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)和生成式隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中驗(yàn)證了貪婪算法和啟發(fā)式算法的有效性。

此外，Zhao 等[71]將領(lǐng)導(dǎo)者建模為間歇控制方式，提出了領(lǐng)導(dǎo)者間歇式控制不影響最終群體穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)的條件，Shen等[72]將其研究進(jìn)一步拓展到了符號(hào)網(wǎng)絡(luò)。

4未來(lái)展望

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)分析與干預(yù)作為連接網(wǎng)絡(luò)科學(xué)、控制理論與社會(huì)行為科學(xué)等的交叉領(lǐng)域，雖已取得豐富的研究成果，但仍面臨模型有效性驗(yàn)證以及與現(xiàn)實(shí)復(fù)雜性適配的差距。在人工智能等技術(shù)以及社交媒體平臺(tái)蓬勃發(fā)展的背景下，人們參與社會(huì)活動(dòng)的方式發(fā)生了深刻變化，一些值得深入探討的方向包括：

1）共演化模型理論體系深化。當(dāng)前內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)共演化研究仍集中于構(gòu)建模型以重現(xiàn)實(shí)際社會(huì)現(xiàn)象方面，理論分析大多局限于特定具體的條件假設(shè)。內(nèi)隱觀點(diǎn)與外顯觀點(diǎn)的耦合，以及為描述個(gè)體認(rèn)知偏差等因素對(duì)觀點(diǎn)演化影響而引入的非線性項(xiàng)，使得系統(tǒng)的理論分析非常困難。因此，深化共演化模型的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)理論分析方法具有重要的理論價(jià)值，還有助于理解輿論演化機(jī)理，為信息治理與輿論引導(dǎo)提供理論基礎(chǔ)。

2）基于學(xué)習(xí)算法的最優(yōu)策略求解。針對(duì)大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上的觀點(diǎn)最大化問(wèn)題，如何快速有效地求解最優(yōu)策略仍面臨很大挑戰(zhàn)。已有一些通過(guò)結(jié)合學(xué)習(xí)算法對(duì)影響力最大化問(wèn)題中的種子節(jié)點(diǎn)選擇問(wèn)題的研究，通過(guò)圖嵌人、圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法在小規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行訓(xùn)練，用于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性的預(yù)測(cè)[73-74]。雖然觀點(diǎn)最大化問(wèn)題中涉及具體的觀點(diǎn)演化規(guī)則，但節(jié)點(diǎn)選擇、增加連邊等宣傳策略本質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為重要節(jié)點(diǎn)識(shí)別問(wèn)題。目前結(jié)合學(xué)習(xí)算法的組合優(yōu)化問(wèn)題研究已初現(xiàn)潛力[75-76]。

3）結(jié)合大語(yǔ)言模型（Large Language Model，LLM）的模型驗(yàn)證及宣傳策略研究。目前，通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型的有效性的研究非常少。仿真實(shí)驗(yàn)也主要基于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)或生成式的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，隨機(jī)生成或人為設(shè)定觀點(diǎn)初始狀態(tài)和參數(shù)，定性分析觀點(diǎn)研究結(jié)果與經(jīng)典的社會(huì)學(xué)理論以及實(shí)證研究結(jié)果是否一致。LLM技術(shù)的發(fā)展為觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行研究帶來(lái)可能。近期研究已嘗試?yán)肔LM進(jìn)行觀點(diǎn)演化仿真[7-79]。結(jié)合LLM對(duì)觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型有效性驗(yàn)證以及社交網(wǎng)絡(luò)上推廣宣傳策略研究將是未來(lái)的重要研究?jī)?nèi)容。

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（責(zé)任編輯 耿金花）