一類五次廣義Lienard系統(tǒng)的奇點分析

【Abstract]Lienardequation isaspecial equationspeciallusedtostudy thedynamic propertiesofdifferentialsystems， whichplaysanimportantroleinvarious practicalproblemssuchasphysics，chemistryandbiology.GeneralizedLienardsystemisamoregeneralform.Thispaperappliesclassicalmethods fromthequalitative theoryofdiferentialequations toanalyzetheequilibriaofclassoffthordergeneralzedLienardsystemsunderdifrentparameerconditions，anditspecificallyexamines thepropertiesofequilibriaincertaindegeneratecasesandfinallprovides theexistenceandnumberoflocallimit cycles in the system.

【Key words] generalized Liénard system;equilibrium;limit cycle;focal quantity [中圖分類號］0175 [文獻標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-3229（2025）02-0005-11

0 引言

常微分方程定性理論是常微分方程在不求出解的情況下研究解的分布和性態(tài)的基本理論。張芷芬等]、馬知恩等[2對平面二次多項式微分系統(tǒng)的定性分析做了系統(tǒng)研究，進行了豐富的論述。但是，三次及以上系統(tǒng)的定性分析還遠(yuǎn)沒有解決，特別是平面 n 次系統(tǒng)更沒有得到解決，包括其平衡點的性態(tài)分析。近年來，生物、物理、化學(xué)領(lǐng)域中，三次多項式系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型隨處可見，對于三次及以上系統(tǒng)的研究越來越多[3-21]。

葉彥謙等3用Dulac函數(shù)方法證明了系統(tǒng)：

有兩個細(xì)焦點（即對應(yīng)的線性系統(tǒng)在此奇點有一對純虛根），每一個細(xì)焦點的階數(shù)都是1。

周良金4分析了一類三次系統(tǒng)：

的奇點性態(tài)，其中 A₀gt;0，A₁?-1 且 A₁，A₂，A₃ 不等于零。

鐘江華等[5對一類 O（0，0） 是唯一有限遠(yuǎn)奇點的 三次系統(tǒng)：

做了定性分析，并得到了其全局結(jié)構(gòu)圖。蔣自國利用平衡點性態(tài)分析的經(jīng)典結(jié)果研究了系統(tǒng)：

的平衡點的性態(tài)，并運用Poincare形式級數(shù)法進行了中心-焦點判定。

在研究微分系統(tǒng)的動力學(xué)行為時，對極限環(huán)的分析是其中一個重要環(huán)節(jié)，著名數(shù)學(xué)家Hilbert在1900年的國際數(shù)學(xué)家大會上提出的23個問題中第16個問題的第二部分是：對于給定的正整數(shù) 和全體 次多項式函數(shù)構(gòu)成的平面多項式微分系統(tǒng)，研究其極限環(huán)的最大數(shù)和分布。 n=2 時，史松齡[7]，陳蘭蓀等[8分別給出了具有四個極限環(huán)的二次系統(tǒng)的例子。但是到目前為止，對于二次以及二次以上系統(tǒng)的極限環(huán)的最大個數(shù)是否有界的問題，尚未有學(xué)者給出嚴(yán)格的證明。

Lienard方程是專門用于研究微分系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)的特殊方程，利用它可以簡化分析，從而得到極限環(huán)存在的一些條件，在物理、化學(xué)和生物等各種實際問題中發(fā)揮了重要作用。對于標(biāo)準(zhǔn)的Lienard型方程：

或其等價方程

其中 ， g（x） 代表彈力， f（x） 代表阻尼力，已經(jīng)有許多學(xué)者對其進行了研究，得到了豐富的結(jié)果[1.9-12]，比如張芷芬等[1給出了判斷系統(tǒng)（1）極限環(huán)存在性和唯一性的基本定理，但是它們都基于一個條件：原點 o 是系統(tǒng)（1）的唯一奇點。

荷蘭電氣工程師和物理學(xué)家BalthasarvanderPol 首次提出一類振子

其中 x. 和y分別是振子在時間t時的位置和速度，μ 是表示阻尼強度的標(biāo)量參數(shù)， μgt;0 。系統(tǒng)（3）及其等價形式被稱為vanderPol振子，在電子振蕩、機械工程、生物學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用[13]。ALins等[10]討論了系統(tǒng)（3）的全局相圖。VanderPol-Duffing振子的標(biāo)準(zhǔn)形式是 VanderPol 振子和Duffing振子的

結(jié)合，為

Chen等[1]研究了vanderPol-Duffing振子的系統(tǒng)全局相圖，這個系統(tǒng)具有三個奇點，并在整個參數(shù)空間中討論了極限環(huán)的存在性，證明了它的唯一性。Chen等[2]證明了一類四次Lienard系統(tǒng)最多有一個極限環(huán)，并且極限環(huán)的存在是穩(wěn)定的和雙曲的。Rayleigh在《The Theory of Sound》中提出了以下非線性振子

其等價形式

被稱為Rayleigh振子，是一種廣義的Lienard系統(tǒng)。通過變換 ?（x，y）?（-y，x） ，Rayleigh振子可以轉(zhuǎn)化為 振子。因此，Rayleigh振子與VanderPol振子有相似的性質(zhì)。Lienard-Levinson-Smith[14-16]提出了一種更一般的形式

其阻尼系數(shù)函數(shù)隨質(zhì)點的位置和動量而變化，其特點是非線性力和阻尼系數(shù)可以控制極限環(huán)行為，系統(tǒng)（4）可以變成如下的等效系統(tǒng)

對于描述二維相空間中生物和化學(xué)振蕩的各種動態(tài)模型，變量可以轉(zhuǎn)換成Rayleigh振子或VanderPol振子或它們的任何推廣形式[14-16]。這兩種振子可以歸為一種更一般的形式，即Lienard-Levin-son-Smith（LLS）振子。對于系統(tǒng)（5），當(dāng) x≠0 時，xg（x）gt;0 的結(jié)果有很多[17-21]，意味著系統(tǒng)（5）有一個唯一的平衡點。Candido等[20]考慮了系統(tǒng)

在 agt;0 時（除了 |ε| 特別小時）極限環(huán)的存在性和不存在性，并且利用廣義旋轉(zhuǎn)向量場的性質(zhì)給出了系統(tǒng)（6）在 agt;0 和 blt;0 時極限環(huán)的唯一性，還研究了 |ε| 特別小時系統(tǒng)（6）的極限環(huán)數(shù)。Chen等[18]給出了系統(tǒng)（4）不存在周期軌道的幾個新判據(jù)。

本文分析了一類具有更一般形式的五次廣義Lienard系統(tǒng)（LLS型系統(tǒng)），該系統(tǒng)具有三個奇點以及更復(fù)雜的阻尼力函數(shù) f（x，y） ，這使其具有比標(biāo)準(zhǔn)的或低次數(shù)的Lienard系統(tǒng)更復(fù)雜的定性結(jié)構(gòu)與動力學(xué)行為。運用微分方程定性理論的經(jīng)典方法分別分析系統(tǒng)的多個平衡點，使用了一些特殊方法考慮經(jīng)典方法無法繼續(xù)分析的退化情況，運用形式級數(shù)法有效地計算出平衡點的高階焦點量。其次，考慮了同宿環(huán)的存在性。最后利用奇點的性質(zhì)通過Hopf分支定理給出了系統(tǒng)局部的極限環(huán)存在性及個數(shù)，并給出數(shù)值模擬圖像。

1 主要結(jié)論及證明

分析系統(tǒng)

其中 a₁，a₂，a₃，ε 都是實參數(shù)。在不失一般性的前提下，只需要考慮系統(tǒng)（7）在 ε?0 的情況，因為 εlt;0 的情況可以通過變換 （x，y，ε）?（-x，-y，-ε） 來得到，并且通過變換 （x，y）?（-x，-y） 可得系統(tǒng)（7）具有對稱性。

1.1奇點分析

定理1當(dāng) ε=0 時，若 a₃?0 ，系統(tǒng)（7）只有1個有奇點 O（0，0） 作為中心；若 a₃lt;0 ，系統(tǒng)（7）有3個奇點，O（0，0） 為鞍點， 為中心。

證明當(dāng) ε=0 時，系統(tǒng)（7）可以寫成如下形式

系統(tǒng)（8）關(guān)于 O（0，0） 的特征方程為 D（λ）=λ²+a₃ ，可知當(dāng) a₃lt;0 時， O（0，0） 為鞍點。當(dāng) a₃?0 時， O（0，0） 為中心或焦點。系統(tǒng)（8）關(guān)于 ， 的特征方程為 D（λ）=λ²-2a₃ ，可知 ， 為中心或焦點。系統(tǒng)（8）滿足

因此，向量場 （P，Q） 關(guān)于 x 軸和 y 軸對稱，則由對稱原理可得當(dāng) a₃?0 時， O（0，0） 為中心；當(dāng) a₃lt;0 時， 為中心。

在下面的分析中只討論 εgt;0 的情況。

定理2當(dāng) a₃?0 時，系統(tǒng)（7）只有一個有奇點 O（0，0） ，奇點性質(zhì)見表1。

證明系統(tǒng)（7）關(guān)于 O（0，0） 的特征方程為 D（λ）=λ²+εa₁λ+a₃ ，運用微分方程定性理論的經(jīng)典方法，通過分析 o 的特征根可以得到 o 奇點性質(zhì)。本文將一般情況省略，只討論退化的情況。

情況1 a₃=0 ， a₁≠0 即 o 的特征方程的特征根有一個為0。

做變換令 u=y+εa₁x y=y. τ=-εa₁t ，系統(tǒng)（7）化為標(biāo)準(zhǔn)型得

對 y+Q₂₁（x，y） 由隱函數(shù)定理求得

由定理7.1（[1]第二章o

情況2 a₃=a₁=0 ，即 o 的特征方程的特征根全為0。

做變換令 u=x-y ， y=y ，系統(tǒng)（7）化為標(biāo)準(zhǔn)型得

對 y+P₂₂（x，y） 由隱函數(shù)定理求得

由定理7.2（[1]第二章7）判斷得奇點 o 為中心或焦點。至此，這種方法不能再進行下一步判斷。由下文定理4得，當(dāng) a₃=a₁=0 時，系統(tǒng)（7）在平面內(nèi)沒有閉合軌道，因此 o 為焦點。

下面分析 o 的穩(wěn)定性。設(shè) L 為 S_δ（O） 中 y 軸正半軸上的一個點，設(shè) φ（L，I⁺） 為初始點 L 的系統(tǒng)（7）的正軌道。顯然， φ（L，I⁺） 必須在點 K 第一次與 y 軸負(fù)半軸相交，然后再次與 y 軸正半軸相交，交點為 Q ，見圖1（1）。分別用 （x_Q，y_Q） （x_L，y_L） 表示點 Q，L 的坐標(biāo)。通過變換 （x，y）?（-x，y） 將系統(tǒng)變換為

將系統(tǒng) （7）_x 負(fù)半平面的軌線映射到 x 正半平面上，見圖1（2）。當(dāng) y≠0 時，很顯然系統(tǒng)（7）和系統(tǒng)（9）

可以寫成

和

由式（10）和式（11）可得

比較系統(tǒng)（7）在 x 正半平面上的正軌道弧和從 K 開始的負(fù)軌道弧，由式（12）可得當(dāng) y≠0 時， φ（K，I）l_（11） 必須嚴(yán)格位于 φ（K，I）∣_（10） 的左側(cè)，因此 y_QL ，原點 o 是一個穩(wěn)定的焦點。

情況3當(dāng) a₃gt;0 ， a₁=0 時，對 O（0，0） 運用形式級數(shù)法求其焦點量。

首先，做變換 ，為了方便表示仍然用 x 代表 x^′ ，代表 τ ，得到系統(tǒng)為

令

F（x，y）=x²+y²+F₃（x，y）+F₄（x，y）+…

沿系統(tǒng)（13）的解求全導(dǎo)數(shù)得

令 ，先分析三次齊次多項式有

化為極坐標(biāo)，令

F₃（x，y）=F₃（rcosθ，rsinθ）=r³?₃（θ）

所以

?^′₃（θ）=0

可以得到

F₃（x，y）=r³Φ₃（θ）=0

再對其中四次齊次多項式進行分析，有

同樣的，

故

得到 o 的一階焦點量為

o 為一階穩(wěn)定細(xì)焦點。

定理3當(dāng) a₃lt;0 時，系統(tǒng)（7）有三個奇點 O（0，0） ，其中 O（0，0） 為鞍點，奇點性質(zhì)見表2。

證明系統(tǒng)（7）關(guān)于 的特征方程為 ，運用微分方程定性理論的經(jīng)典方法通過分析特征根可以得到 E₁，E₂ 的性質(zhì)。本文將一般情況省略，只討論細(xì)焦點的情況。

當(dāng) a₃lt;0 ， a₁=a₃-a₃² 時，分別對 E₁，E₂ 運用形式級數(shù)法求其焦點量。首先，將 移到原點，做變換 ， y=y 得到系統(tǒng)為

再做變換 ，將系統(tǒng)（14）轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)型

用情況3相同方法，令

F（w，v）=w²+v²+F_?（w，v）+F_?（w，v）+…

沿系統(tǒng)（14）的解求全導(dǎo)數(shù)得

令業(yè)F ，可以得到 E₂ 的一階焦點量為

當(dāng) 時， L₁^{2}=0 ，可以得到

再對其中五次齊次多項式進行分析，有

化為極坐標(biāo)，有

可以得到

再對其中六次齊次多項式進行分析，有

化為極坐標(biāo)，令 ，同樣的步驟得到 E₂ 的二階焦點量為

時，即 L₂^{2}=0 時，用同樣的步驟可以計算得到 E₂ 的三階焦點量為

當(dāng) 時， L₃^{2}gt;0 。

通過計算可以驗證 L₁^（1）=L₁^（2），L₂^（1）=L₂^（2），L₃^（1）=L₃^（2） ， E_?1 與 E₂ 的性質(zhì)相同。

引理1綜上所述，當(dāng) a₃lt;0 ， a₁=a₃-a₃² 時，下列結(jié)論成立，

（1）當(dāng) 時， E₁，E₂ 為一階不穩(wěn)定細(xì)焦點。當(dāng) 時， E₁，E₂ 為一階穩(wěn)定細(xì)

焦點。（2）當(dāng) 時， E₁，E₂ 為二階穩(wěn)定細(xì)焦點。

當(dāng) 或a ae（2a-1），alt;- 3a+1 3110√10 3 3 -2a（3a32 +62a-13） 2a（2a-1）2

時， E₁，E₂ 為二階不穩(wěn)定細(xì)焦點。（3） E₁，E₂ 為三階不穩(wěn)定細(xì)焦點。

1.2 極限環(huán)

定理4當(dāng) a₃?0，a₁?0 時，系統(tǒng)（7）沒有極限環(huán)。

證明 由系統(tǒng)（7），當(dāng) a₃?0 時， g（x）=（a₃+x²）x ，滿足 x≠0 時， xg（x）gt;0 。

f（-x，y）=ε（a₁-a₂xy+x²+y²+x⁴）

當(dāng) a₃?0，a₁?0 時， 。滿足文獻[18]中定理1的條件（i）（ii），（ii）（iv），系統(tǒng)（7）在平面內(nèi)沒有閉合軌道。

定理5當(dāng) a₃lt;0 時，存在函數(shù) ，當(dāng)且僅當(dāng) a₁=φ（a₃，ε） 時系統(tǒng)（7）存在同宿環(huán)。

證明記系統(tǒng)（7）右側(cè)函數(shù)分別為 p，q 。當(dāng) ε=0 時系統(tǒng)（7）是Hamiltonian系統(tǒng)，有Hamiltonian函數(shù)

+。由對稱性，下面只考慮≥0。由定理1，當(dāng)alt;0時，系統(tǒng)（7）有三個奇點，0（0，0）為鞍點， 為中心。不難得到與鞍點 o 相聯(lián)系的雙同宿環(huán) L₁ ，方程為

當(dāng) |ε|?1 時， L₁ 擾動破裂后，記 為從鞍點 o 出發(fā)的 x 正半平面的穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形與正 x 軸兩交點之間的軌線。當(dāng) L₁ 擾動為 后有函數(shù)

顯然，當(dāng) M（ε）=0 時系統(tǒng)（7）存在同宿環(huán)，結(jié)合式（15）（16）可以得到

因此，當(dāng) ， |ε|?1 時，系統(tǒng)（7）存在同宿環(huán) 。

定理6設(shè) a₁=φ（a₃，ε） ，當(dāng) εa_?1lt;0 時，同宿環(huán) 是漸進不穩(wěn)定的。

證明顯然有

由 a₃lt;0 ， a₁=φ（a₃，ε）lt;0 ，可得 σ₀gt;0 ，則同宿環(huán) 是漸進不穩(wěn)定的。

定理7當(dāng) a₃lt;0，a₁=a₃-a₃² 時，下述結(jié)論成立。

當(dāng) ，+）時，系統(tǒng)（7）可以分支出2個極限環(huán)。當(dāng) 時，系統(tǒng)（7）可以分支出4個極限環(huán)。當(dāng) 時，系統(tǒng)（7）可以分支出6個極限環(huán)。

證明當(dāng) a₃lt;0，a₁=a₃-a₃² 時， ，由引理1和Hopf分支定理，下述結(jié)論成立。

（1）當(dāng) 時 L₁^{2}≠0 ，發(fā)生一階Hopf分支，通過擾動系統(tǒng)（7）分別從 E₁，E₂ 分支出一個極限環(huán)。當(dāng)agt;一 -時，系統(tǒng)（7）擾動分支出不穩(wěn)定極限環(huán)。當(dāng)alt;-a 時，系統(tǒng)（7）擾動分支出穩(wěn)定極限環(huán)。擾動后存在極限環(huán)的參數(shù)條件滿足： l₀L₁^{2}lt;0，|l₀|?1°

（2）當(dāng)a= ae（2a-1）8 3a+1 -2a（3a2+62a-13）時， 2a（2a-1）2 發(fā)生二階 Hopf分支，通過擾動系統(tǒng)（7）分別從 ?_E1，E2 分支出兩個極限環(huán)。當(dāng) 時，系統(tǒng)（7）分支出的極限環(huán)中靠近 E₁（ 或 E₂） 的為不穩(wěn)定極限環(huán)，外側(cè)的為穩(wěn)定極限環(huán)。當(dāng) 中 ，系統(tǒng)（7）分支出的極限環(huán)中靠近 E₁（ 或 E₂） 的為穩(wěn)定極限環(huán)，外側(cè)的為不穩(wěn)定極限環(huán)。擾動后存在極限環(huán)的參數(shù)條件滿足：l₀L₁^（2）lt;0，L₁^（2）L₂^（2）lt;0，|l₀|?1，|L₁^（2）|?1°

（3） 2a32+62-時，，L=0，，發(fā)生階Hopf分支，通過擾動系統(tǒng)（7）分別從 E₁，E₂ 分支出三個極限環(huán)。靠近 的為不穩(wěn)定極限環(huán)，中間的為穩(wěn)定極限環(huán)，最外側(cè)的為不穩(wěn)定極限環(huán)。擾動后存在極限環(huán)的參數(shù)條件滿足： l₀L₁^（2）lt;0，L₁^（2）L₂^（2）lt;0，L₂^（2）L₃^（2）lt;0 |l₀|?1，|L₂^{2}|?1，|L₁^{2}|?1°

2 數(shù)值模擬

例1：取 a₁=-879.46，a₂=0.5499950，a₃=-29.16 ， ε=0.1 ，系統(tǒng)（7）分別從 E₁，E₂ 分支出1個極限環(huán)，如圖2、圖3所示。

例2：取 a₁=-879.499 a₂=33.33003423 ， a₃=-29.16 ε=0.0015 ，系統(tǒng)（7）分別從 E₁ ， E₂ 分支出2個極限環(huán)，如圖4、圖5所示。

3結(jié)語

Lienard系統(tǒng)在物理、化學(xué)、生物等領(lǐng)域具有重要的理論意義和應(yīng)用價值，例如電子電路中的振蕩、機械振動系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)以及描述化學(xué)振蕩的微分方程都可以轉(zhuǎn)化為Lienard系統(tǒng)的形式來研究它們的動力學(xué)。本文分析了一類具有更一般形式的五次廣義Lienard系統(tǒng)，將微分方程定性理論的經(jīng)典方法運用在高次系統(tǒng)上，通過一些特殊方法來分析退化平衡點的性質(zhì)，并且運用形式級數(shù)法計算平衡點焦點量。最后，通過奇點的性質(zhì)比如細(xì)焦點的Hopf分支現(xiàn)象以及鞍點的同宿軌線分析，給出了系統(tǒng)奇點附近局部的極限環(huán)存在性，通過細(xì)焦點的性質(zhì)討論系統(tǒng)局部的極限環(huán)個數(shù)，并給出數(shù)值模擬圖像。本文給出了具有六個極限環(huán)的五次系統(tǒng)的例子。但是，對系統(tǒng)遠(yuǎn)離奇點的軌線的定性分析沒有完成，沒有得到系統(tǒng)的全局動力學(xué)，這將是下一步的工作。

例3：取 a₁=-879.4655 a₂=60.236 a₃=-29.16 ε=0.00083 ，系統(tǒng)（7）分別從 E₁，E₂ 分支出3個極限環(huán)，如圖6、圖7所示。

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責(zé)任編輯 孫澗