基于體驗的問題解決策略的形成

在“問題解決的策略\"教學(xué)中，首要任務(wù)是讓學(xué)生解決實際問題，并將問題解決的過程和方法作為反思的對象，進(jìn)而從中提煉出具有普遍意義的策略。在此過程中，問題解決的具體方法是對實際問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系及其解題步驟的抽象，而問題解決的策略則是對這些方法的進(jìn)一步抽象。實際上，在學(xué)習(xí)特定策略之前，學(xué)生已經(jīng)對這些方法有所了解，但這些了解往往與具體情境交織在一起，顯得模糊且零散，僅停留在感性認(rèn)識階段。學(xué)生要真正掌握問題解決的策略，并將其轉(zhuǎn)化為個人素養(yǎng)，關(guān)鍵在于體驗。體驗是指學(xué)生通過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動而形成的對數(shù)學(xué)知識具有個體意義的感受、情感和領(lǐng)悟。1長期以來，數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)走不進(jìn)學(xué)生心里，根源在于缺少體驗。知識本身是具有價值負(fù)載的，任何知識的掌握都是一種意義建構(gòu)與體驗的過程。本文以蘇教版教材五年級上冊“一一列舉的策略\"的教學(xué)為例，探討如何通過體驗形成列舉策略。

一、直面問題，體驗關(guān)聯(lián)

在教學(xué)“一一列舉的策略\"時，通常會創(chuàng)設(shè)情境。學(xué)生一且置身于情境之中，便能產(chǎn)生體驗的欲望以及興趣，并迅速參與其中。傳統(tǒng)做法是教師直接呈現(xiàn)例題。例如：王老師用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？這樣的“條件 + 任務(wù)”呈現(xiàn)方式雖然有利于基礎(chǔ)知識和基本技能（簡稱“雙基”的培養(yǎng)，但不利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題以及分析問題的能力。如果學(xué)生缺乏對問題的提出、分析、解決和反思的過程，那么學(xué)習(xí)將僅停留在表面，思考的廣度和深度都將受到限制。因此，教師可陳述客觀現(xiàn)象：以“用22根1來長的木條圍成一個長方形花圃\"的情境，引導(dǎo)學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)、提出問題。此時，學(xué)生會主動聯(lián)系自己已有的知識經(jīng)驗進(jìn)行分析，得出長方形的周長為22米，并且長和寬都為整數(shù)，進(jìn)而提出諸如怎樣圍面積最大或面積最小等問題。這樣的設(shè)計使學(xué)生在面對條件時，能夠激活原有知識經(jīng)驗，主動參與觀察、猜測、計算、分析、推理、想象等數(shù)學(xué)活動。步入信息時代，人們可以迅速獲取所需信息。因此教學(xué)的重點不應(yīng)該是教什么，而應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生對未知世界的探索意識和獲得方法的能力。當(dāng)學(xué)生充分感知條件并發(fā)現(xiàn)、提出問題時，其對問題的體驗將變得直接、具體且深刻。當(dāng)學(xué)生對即將解決的問題產(chǎn)生強(qiáng)烈的欲望與感情，更易觸發(fā)想象，其激情越豐富，想象就越活躍，思維創(chuàng)造性也越得以充分發(fā)揮。

二、親歷探索，體驗思路

親歷探索是指學(xué)生通過親手畫圖、操作實驗等，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的解決過程。在此過程中，學(xué)生能夠?qū)鉀Q問題的方法形成具體、清晰的感性認(rèn)識，這是學(xué)生尋找解題思路、形成問題解決策略的基礎(chǔ)。面對新的問題，學(xué)生的內(nèi)心被喚醒，心理活動變得活躍，易于將眼前條件與學(xué)過的圖形、算式相聯(lián)系，生成新的表象和感受。這一過程必須由學(xué)生親身經(jīng)歷，無法由他人替代。在學(xué)生迷茫和疑惑時，教師應(yīng)給予他們充足的探究時間和空間，而不是直接告知方法和答案。即使學(xué)生嘗試的時間較長，解題過程不順利，教師也不應(yīng)輕易提示。然而，在實際教學(xué)中，教師往往將認(rèn)知作為學(xué)習(xí)的中心，而忽視了學(xué)生情感的獲得。例如，在通過審題得知長方形的周長為22米后，教師常急忙追問：長加寬的和是多少？若寬為1米，長是多少？這樣的教學(xué)方式，實際上是變相暗示。學(xué)生沒有經(jīng)歷列舉中出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等過程，沒有產(chǎn)生內(nèi)在的沖突、疑惑與感悟，就不可能真正掌握策略。在教學(xué)中，學(xué)生不僅要親自嘗試，還要親自發(fā)現(xiàn)自己想法的錯誤或不完善，主動改進(jìn)并追溯自己犯錯的根源，這樣才會深刻和牢固地把握策略。

三、多維交互，體驗方法

學(xué)習(xí)具有建構(gòu)性，學(xué)生根據(jù)自己的喜好、知識經(jīng)驗等去理解，會生成自己獨特的感受，形成不同的學(xué)習(xí)方法。不同的方法蘊含不同的思維，教師要尊重和接受學(xué)生的不同思維，即使是錯誤的方法，也可以作為教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行評價，從中獲取有益的成分。因此，教學(xué)中教師要通過呈現(xiàn)不同資源及多維互動來促使學(xué)生完善思維，形成問題解決的方法。例如，收集如下資源：列舉不全、列舉全但排列無序、列舉全但有重復(fù)、列舉全并且排列有序（寬按從小到大的順序排列等），然后開展交流。首先是小組維度的交流，通過小組合作、討論、協(xié)商等方式實現(xiàn)人人參與。其次是小組向全班匯報討論結(jié)果，實現(xiàn)小組與全班的交流，進(jìn)而形成正確的解題思路，實現(xiàn)問題解決。最后是師生維度的交流。當(dāng)小組向全班匯報時，教師的引導(dǎo)才真正發(fā)揮作用。在課堂教學(xué)中，教師要讓學(xué)生的思維向縱深發(fā)展。就本內(nèi)容教學(xué)而言，教師要引導(dǎo)學(xué)生從對數(shù)學(xué)“問題解決的策略\"的理解上升到“學(xué)科教學(xué)的本原性問題”上來，一一列舉蘊含的數(shù)學(xué)教學(xué)的本原性問題是分類思想以及相應(yīng)的分類方法。教師要先引導(dǎo)學(xué)生觀察不同的解題方法，辨析隱藏于其中的區(qū)別與聯(lián)系。例如，通過觀察比較列舉不全、無序、寬按從小到大的順序排列等，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要按照一定的順序列舉，就能克服列舉不全、無序等問題，從而使列舉的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏。由此得出一一列舉的方法是：根據(jù)寬或者長進(jìn)行分類，然后按照從小到天或從天到小的順序排列。再比較畫圖、列表、列舉的異同點，讓學(xué)生體會到雖然它們的表征方式不同，但它們都是依據(jù)“長 + 寬 ⁼¹¹ （米）\"進(jìn)行一一列舉的，從而得出運用一一列舉的策略是有條件的這一結(jié)論。經(jīng)過這樣的交流，學(xué)生將吸收來自同伴和教師的積極影響，能改進(jìn)自己的認(rèn)知，使思維走向深入。

四、反思抽象，體驗策略

學(xué)生通過親歷探索，獲得了具有鮮明個性的解題思路。這些解題思路在交流中得到完善，并逐漸形成正確的解題方法。通過典型個例形成的解題方法具體而直觀，是形成數(shù)學(xué)“問題解決的策略\"的重要基礎(chǔ)。經(jīng)過概念化與形式化的過程，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)“雙基”，而轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵在于反思，即皮亞杰所說的“反身抽象”。學(xué)生需要從探索的過程中抽身而出，將自身的思考過程作為反思的對象。反思需要問題的引領(lǐng)，通過對問題的思考，抽象概括出知識的本質(zhì)，將感性認(rèn)識轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識，實現(xiàn)認(rèn)識質(zhì)的飛躍。例如，教學(xué)“一一列舉的策略\"時，教師可以提出如何列舉才能確保不重復(fù)、不遺漏，以及一一列舉有什么條件等問題。學(xué)生在回答這些問題時，需要回顧活動過程，發(fā)現(xiàn)要想列舉不重復(fù)、不遺漏，必須明確從哪里想起（如從長想起或從寬想起），并按照一定的順序列出所有可能的情況。由此可知，在數(shù)學(xué)上，按照順序羅列所有情況的做法叫作一一列舉。在分析一一列舉條件時，本題是根據(jù)“長 ⁺ 寬\"的和一定，并且長和寬均為整數(shù)，因此長與寬的可能性是有限的，可以一一列舉。由此引發(fā)思考，若差一定或乘積一定，是否也能進(jìn)行一一列舉？引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，拓展思路。反思抽象，建構(gòu)意義是數(shù)學(xué)策略體驗過程最核心的階段。數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于抽象。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生親身參與教師創(chuàng)設(shè)的活動情境，真正體驗一一列舉的實質(zhì)，在此基礎(chǔ)上理解“一一列舉的策略”。通過親身參與獲得問題解決的策略，相較于其他方式獲得的策略更具活力。

五、變式應(yīng)用，體驗思想

練習(xí)是學(xué)生形成策略、發(fā)展思維、提升素養(yǎng)的重要手段。判斷學(xué)生是否理解某個概念的證據(jù)包括：感知、表征、聯(lián)結(jié)、應(yīng)用。3學(xué)生策略意識的形成與發(fā)展，本質(zhì)上是“自悟”，是經(jīng)歷獨立思考以及和他人的討論與反省，逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣。因此，練習(xí)中需要進(jìn)一步幫助學(xué)生應(yīng)用策略。

首先，教師設(shè)計練習(xí)時應(yīng)考慮對策略內(nèi)涵與外延的把握。指向內(nèi)涵的練習(xí)不應(yīng)僅滿足于學(xué)生運用策略正確解題，還應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注列舉的前提條件，即從哪里想起。例如，“一一列舉的策略”中的和一定，還應(yīng)包括差一定、積一定等情況。如果問題較為復(fù)雜，還應(yīng)考慮先分類再一一列舉，以確保列舉時不重復(fù)、不遺漏、有順序。學(xué)生在問題解決過程中掌握的是方法，形成的是策略，內(nèi)化的是數(shù)學(xué)思想。因此，需要通過不同情境，體驗一一列舉背后所指向的分類思想及方法。在指向外延的練習(xí)設(shè)計時應(yīng)提供不同情境的材料，呈現(xiàn)不同的問題，給予學(xué)生充足的時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生在新情境中主動運用列舉的策略解決問題，養(yǎng)成自覺運用策略的思維習(xí)慣。

其次，應(yīng)在列舉方法的比較中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行精細(xì)加工并融入推理等思維方式，促進(jìn)思維發(fā)展。例如，用1元和5元的紙幣購買一本19元的書，有多少種不同的付款方法？列舉方法可以從1元開始或從5元開始。在交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：從5元開始列舉，次數(shù)較少。學(xué)生由此感悟到兩種列舉方法都可行，但從較大數(shù)開始能更快地找到所有情況。進(jìn)一步觀察還發(fā)現(xiàn)：每增加1張5元，將減少5張1元。在驗證與解釋中，學(xué)生的推理能力進(jìn)一步得到了提升。

最后，將學(xué)過的各種策略進(jìn)行縱橫聯(lián)系，在比較中形成知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生理解策略的本質(zhì)。縱向聯(lián)系是指將一一列舉與之前學(xué)過的數(shù)的分解、用幾張數(shù)字卡片能組成多少個多位數(shù)等聯(lián)系起來。學(xué)生發(fā)現(xiàn)列舉的策略早就會用，于是將新策略與已有認(rèn)知融合，形成新的知識結(jié)構(gòu)。橫向聯(lián)系是指將不同年級的解題策略建立聯(lián)系，實現(xiàn)策略互通。例如，針對上述例子，學(xué)生可能會用畫圖、列表、列舉等策略來解答。教師進(jìn)而提出：這些策略有什么不同？學(xué)生思考后得出：畫圖的依據(jù)是數(shù)形結(jié)合，列表與列舉的共同點在于先分類，再列表或列舉。對于“這些策略有無共同之處\"這一問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：它們都是基于“19元始終不變”這一條件進(jìn)行嘗試的，經(jīng)過多次的比較和調(diào)整，找到答案。其背后依據(jù)的是假設(shè)的思想方法以及運用不斷逼近的方法。縱橫聯(lián)系后，學(xué)生獲得的不僅僅是列舉的策略，還有對問題解決策略知識的整體感受與領(lǐng)悟。這樣的練習(xí)有助于學(xué)生逐步建立一個完整的關(guān)于“問題解決的策略\"的知識結(jié)構(gòu)，感受數(shù)學(xué)的“某種心智地圖”。

盡管本文僅結(jié)合“一一列舉\"這一問題解決策略中的“基于體驗的問題解決策略的形成\"來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，但其活動過程“直面問題，體驗關(guān)聯(lián)；親歷探索，體驗思路；多維交互，體驗方法；反思抽象，體驗策略；變式應(yīng)用，體驗思想”具有普遍性，也適用于其他問題解決策略的形成之教學(xué)。

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（江蘇省南京市中華中學(xué)浦口雨山小學(xué)）