提高初中生數(shù)學(xué)解題能力的有效策略研究

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）17 -0038 -03

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心概念之一，其應(yīng)用題是連接抽象的函數(shù)概念與現(xiàn)實(shí)生活的重要橋梁.在新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下，函數(shù)教學(xué)不僅要注重知識傳授，更要著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)踐應(yīng)用能力.教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決一次函數(shù)應(yīng)用題時往往存在對問題情境理解不夠深入、數(shù)學(xué)模型建立不夠準(zhǔn)確、解題思路不夠清晰等困難.究其原因，主要是學(xué)生對函數(shù)概念的理解停留在表層，缺乏深層次理解.因此，探索科學(xué)有效的教學(xué)策略，提升學(xué)生解決一次函數(shù)應(yīng)用題的能力具有重要意義.

1一次函數(shù)應(yīng)用題的基本特征

一次函數(shù)應(yīng)用題在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位，其基本特征體現(xiàn)在三個核心維度.函數(shù)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科最基礎(chǔ)的概念之一，貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程[1].一次函數(shù) y=kx+b（k，b 為常數(shù)，且 k≠0 ）作為函數(shù)概念的具體呈現(xiàn)形式，蘊(yùn)含著變量之間的依存關(guān)系和變化規(guī)律.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要準(zhǔn)確把握自變量與因變量之間的對應(yīng)關(guān)系，深入理解函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，明確正比例函數(shù)與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.解題的關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)從具體情境到數(shù)學(xué)模型的抽象轉(zhuǎn)化，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)表達(dá)式.這種轉(zhuǎn)化過程要求學(xué)生具備提取有效信息、分析變量之間關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型的能力.在解決與一次函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題時，學(xué)生須具備分析變量之間關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型、理解函數(shù)圖象、求解方程及解釋或推理結(jié)果的能力.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)圖象分析問題和解決問題，從而增強(qiáng)學(xué)生對一次函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識，提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，促進(jìn)其全面發(fā)展.

2一次函數(shù)應(yīng)用題的教學(xué)設(shè)計

2.1 實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)建模能力是解決一次函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵，具體過程為“實(shí)際問題 $$ 提取有效信息 $$ 建立函數(shù)關(guān)系 y=kx+b（k，b 為常數(shù)，且 k≠0 ） $$ 數(shù)學(xué)模型”.在數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中準(zhǔn)確識別自變量和因變量，明確變量之間的函數(shù)關(guān)系.具體轉(zhuǎn)化步驟包括確定變量并用字母表示、分析變量間的依存關(guān)系、列出函數(shù)解析式.例如，在水箱水量問題中，首先引導(dǎo)學(xué)生識別變量，時間 χ_t 為自變量，水量 y 為因變量，時間 χ_t 與水量 y 構(gòu)成函數(shù)關(guān)系；其次，確定單位時間內(nèi)水位的變化量，即確定變化率 k ；再次，確定開始時刻的水量，即確定初始值 b ；最后，通過分析單位時間內(nèi)水量變化率，建立一次函數(shù) y=kt+b 模型，當(dāng) kgt;0 時，表示注水，當(dāng) klt;0 時，表示放水.在建模訓(xùn)練中，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生提取有效信息的能力，通過簡化問題條件，將復(fù)雜問題分解為基本問題.在教學(xué)過程中，教師可采用情境分析法，讓學(xué)生理解實(shí)際問題中隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系[2].

2.2 函數(shù)圖象特征的分析方法

分析函數(shù)圖象是理解一次函數(shù)性質(zhì)的重要手段[].在教學(xué)過程中，教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生掌握一次函數(shù)圖象的基本特征，理解斜率 k 和截距 b 的幾何意義.分析圖象需從整體到局部，包括判斷函數(shù)的增減性、零點(diǎn)位置、交點(diǎn)坐標(biāo)等關(guān)鍵信息.與此同時，利用動態(tài)演示軟件，展示 k 的變化對直線傾斜程度的影響，加深學(xué)生對斜率概念的理解.在解題過程中，教師需引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想將代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀相結(jié)合，通過觀察函數(shù)圖象的位置，直觀判斷函數(shù)值的大小關(guān)系.對于具體應(yīng)用問題而言，教師需引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際意義與圖象特征相結(jié)合.例如，在“速度一時間”圖象中，斜率表示加速度，截距表示初始速度.圖象思維在函數(shù)問題解決中起著關(guān)鍵作用，圖象可以直觀展現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律，幫助學(xué)生理解抽象的函數(shù)概念.在函數(shù)圖象教學(xué)中，教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確繪制和解讀函數(shù)圖象.

2.3 解題思路的構(gòu)建與優(yōu)化

解題思路的構(gòu)建是一個系統(tǒng)化的認(rèn)知過程，應(yīng)遵循“理解問題 $$ 分析條件 $$ 建立模型 $$ 求解 $$ 檢驗(yàn)”的基本步驟.在教學(xué)過程中，教師需引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握題目條件、明確求解目標(biāo)，通過設(shè)置遞進(jìn)性的引導(dǎo)問題，幫助學(xué)生理清解題思路[4].針對不同類型的應(yīng)用題，總結(jié)典型解法.對于運(yùn)動問題，分析速度與時間的關(guān)系；對于工程問題，找出工作量與時間的對應(yīng)關(guān)系；對于成本問題，建立成本與產(chǎn)量的函數(shù)模型.在求解過程中，教師需強(qiáng)調(diào)多角度思考，鼓勵學(xué)生嘗試不同解法，并通過代入驗(yàn)證、實(shí)際意義分析等方法，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)果檢驗(yàn)意識.

3一次函數(shù)應(yīng)用題教學(xué)案例

筆者以“水箱水量問題”為例，呈現(xiàn)求解與一次函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題的教學(xué)案例.

3.1 教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)設(shè)計

“水箱水量問題”在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中具有典型性和代表性，此類問題涉及實(shí)際生活情境，體現(xiàn)了一次函數(shù)的應(yīng)用價值[5].教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為知識目標(biāo)、能力目標(biāo)和情感目標(biāo)三個維度.知識目標(biāo)要求學(xué)生理解水箱注水、放水過程中時間與水量的函數(shù)關(guān)系，掌握建立一次函數(shù)模型的方法，準(zhǔn)確運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題；能力目標(biāo)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提升數(shù)形結(jié)合思維能力，發(fā)展邏輯推理能力和問題解決能力；情感目標(biāo)著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生建立時間與水量的函數(shù)關(guān)系，理解水箱水量變化率的實(shí)際意義.難點(diǎn)包括：（1）復(fù)雜情境下的數(shù)學(xué)建模過程；（2）多個水箱同時注水或放水時的函數(shù)關(guān)系分析；（3）水箱注滿或放空時間的求解方法.在重難點(diǎn)設(shè)計中，教師應(yīng)采用由簡到難、由具體到抽象的遞進(jìn)方式，幫助學(xué)生逐步克服學(xué)習(xí)障礙，達(dá)成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

3.2 教學(xué)環(huán)節(jié)的具體實(shí)施

水箱水量問題的教學(xué)實(shí)施分為情境導(dǎo)人、概念形成、規(guī)律探究和應(yīng)用提升四個環(huán)節(jié).在情境導(dǎo)入階段，結(jié)合生活中的實(shí)際場景，設(shè)計家用水箱注水、游泳池放水等問題，引發(fā)學(xué)生思考.通過觀察實(shí)際注水過程或播放相關(guān)視頻，學(xué)生能夠直觀感知水量隨時間變化的規(guī)律.在概念形成階段，引導(dǎo)學(xué)生分析單位時間內(nèi)的水量變化，理解變化率的概念，建立時間 Ψ_t 與水量 y 的函數(shù)關(guān)系 y=kt+b 在規(guī)律探究階段，教師通過多個典型例題，分析不同情況下的函數(shù)模型特點(diǎn)：注水時 k 為正值，放水時 k 為負(fù)值，初始水量為截距b.與此同時，結(jié)合函數(shù)圖象，直觀展示水量變化過程，加深學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解.在應(yīng)用提升環(huán)節(jié)，設(shè)計多樣化的練習(xí)題目，包括單個水箱的注水放水問題、多個水箱的復(fù)合問題、實(shí)際工程的應(yīng)用問題等，逐步提高題目難度，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用能力.

3.3 典型問題的解決方法

水箱水量問題的典型解法包括三種情境：單水箱注水問題、單水箱放水問題和多水箱復(fù)合問題.對于單水箱注水問題，關(guān)鍵是確定單位時間內(nèi)的水量增加量 k 和初始水量 b ，建立函數(shù)模型 V=kt+b. 通過分析水箱容積 V 與注水時間 χ_t 的關(guān)系，求解注滿時間或某一時刻的水量.單水箱放水問題則需注意k 值為負(fù)數(shù)，函數(shù)圖象為下降趨勢的直線，解題時應(yīng)關(guān)注水箱放空的時間點(diǎn).多水箱復(fù)合問題涉及多個函數(shù)關(guān)系的疊加，解題思路是分別建立各水箱的函數(shù)模型，通過函數(shù)加減運(yùn)算得到最終的函數(shù)關(guān)系.對于求解臨界狀態(tài)的問題，可利用函數(shù)的零點(diǎn)或函數(shù)值等于容積時的時間點(diǎn).在具體解題過程中，強(qiáng)調(diào)畫圖輔助分析，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想理解問題，并注重結(jié)果的實(shí)際意義檢驗(yàn)，避免出現(xiàn)與實(shí)際不符的解.

4一次函數(shù)應(yīng)用題解題能力的培養(yǎng)方法

4.1 圖象分析與代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合應(yīng)用

在一次函數(shù)應(yīng)用題的解題過程中，圖象分析與代數(shù)運(yùn)算的有機(jī)結(jié)合是提高解題效率的關(guān)鍵方法.函數(shù)圖象能夠直觀展現(xiàn)變量之間的依存關(guān)系，通過觀察直線的位置、斜率和截距，能快速判斷函數(shù)的基本性質(zhì).圖象分析方法包括繪制函數(shù)圖象、觀察圖象變化趨勢、確定特征點(diǎn)位置、分析圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和零點(diǎn).在實(shí)際應(yīng)用題中，函數(shù)圖象往往蘊(yùn)含豐富的實(shí)際意義，如“速度一時間”圖象中斜率表示加速度，面積表示位移.代數(shù)運(yùn)算則提供了精確的計算手段，通過解方程、代人求值等方法獲得準(zhǔn)確結(jié)果.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建立圖象思維，利用函數(shù)圖象輔助分析問題，再通過代數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證猜想.對于涉及多個函數(shù)的復(fù)雜問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖分析函數(shù)圖象的交點(diǎn)，再利用代數(shù)方法求出精確坐標(biāo).在建立函數(shù)模型時，函數(shù)圖象能幫助學(xué)生理解變量關(guān)系，正確寫出函數(shù)表達(dá)式.

4.2 類比思維與解題策略的內(nèi)化

類比思維在一次函數(shù)應(yīng)用題的解題中具有重要價值，它通過已知問題類型推導(dǎo)新問題的解題方法，建立知識遷移的橋梁.常見的類比主要包括同類型問題之間的解法類比、不同背景下數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)類比、解題思路的方法類比.在教學(xué)實(shí)踐中，教師可將水箱注水問題與勻速運(yùn)動問題類比，引導(dǎo)學(xué)生理解變化率的共同特征；將工程問題與行程問題類比，掌握工作效率的數(shù)學(xué)模型.學(xué)生需要通過大量練習(xí)和思考內(nèi)化解題策略，形成系統(tǒng)的解題思維模式，從而提升問題解決能力.

5 結(jié)束語

在一次函數(shù)應(yīng)用題的教學(xué)實(shí)踐中，結(jié)合生活情境設(shè)計教學(xué)內(nèi)容、強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練、注重思維方法指導(dǎo)、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力，是提高學(xué)生解題能力的有效途徑.通過圖象分析、類比遷移等多元化教學(xué)方法，學(xué)生能夠形成系統(tǒng)的解題思維模式.在未來的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)函數(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，注重解題策略的遷移與內(nèi)化，持續(xù)探索更加有效的教學(xué)方法，從而全面提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)其全面發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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