探尋數(shù)與運(yùn)算一致性密碼

【摘要】本文以“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”教學(xué)為切入點(diǎn)，從情境導(dǎo)入激發(fā)運(yùn)算意義探究、算理算法互融構(gòu)建運(yùn)算思維體系、深度洞察數(shù)與運(yùn)算本質(zhì)關(guān)聯(lián)、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)展望未來教學(xué)的方向等維度，剖析概念與運(yùn)算一致性的意義及操作。借教學(xué)實(shí)踐落實(shí)數(shù)與運(yùn)算一致性，為提升小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、培育學(xué)生核心素養(yǎng)提供一種路徑。

【關(guān)鍵詞】數(shù)與運(yùn)算；一致性；小學(xué)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)以數(shù)量關(guān)系與空間形式為研究對象，其核心素養(yǎng)在小學(xué)階段錨定于運(yùn)算能力—這一能力既是思維發(fā)展的基礎(chǔ)，更是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將“數(shù)的認(rèn)識”與“數(shù)的運(yùn)算”統(tǒng)整為“數(shù)與運(yùn)算”主題，強(qiáng)調(diào)其內(nèi)在聯(lián)系，對教學(xué)提出更高要求，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)化過程，更好地形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、情境導(dǎo)入，繼續(xù)運(yùn)算意義探索之旅

數(shù)學(xué)核心領(lǐng)域 “數(shù)與運(yùn)算” 構(gòu)成系統(tǒng)化知識架構(gòu)，涵蓋整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等基礎(chǔ)形態(tài)及四則運(yùn)算基本原理。教學(xué)需實(shí)現(xiàn)雙重目標(biāo)：深化算理認(rèn)知與算法建構(gòu)，體悟運(yùn)算規(guī)律的內(nèi)在統(tǒng)一性，發(fā)展運(yùn)算策略與邏輯推理能力。

以蘇教版三年級上冊數(shù)學(xué)第四單元“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”為例，其知識架構(gòu)呈現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)化分布特征：縱向銜接二年級表內(nèi)除法基礎(chǔ)，橫向支撐后續(xù)高年級復(fù)雜除法體系。由圖1可見，本課“筆算兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”，既融合前期口算與整除筆算原理，又為后續(xù)多位除法建立算法遷移基礎(chǔ)，完整展現(xiàn)“概念闡釋→算法建模”的認(rèn)知進(jìn)階過程，堪稱“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域體現(xiàn)數(shù)理邏輯一致性的典型范例。

教學(xué)片段一：創(chuàng)新導(dǎo)入，關(guān)聯(lián)生活與數(shù)學(xué)。

新課標(biāo)將“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”列為“三會”總目標(biāo)之一，強(qiáng)調(diào)借助真實(shí)情境促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提升。本節(jié)課將知識銜接與生活情境相融合，搭建數(shù)學(xué)思維實(shí)踐路徑，還引入游戲化教學(xué)理念，設(shè)計(jì)“購物大闖關(guān)”游戲，且關(guān)聯(lián)后續(xù)羽毛球分配情境，形成連貫生活應(yīng)用鏈。（如圖2所示）

教師從整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的口算切入，結(jié)合兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算復(fù)習(xí)，深化平均分概念與計(jì)數(shù)單位運(yùn)算規(guī)則，鞏固除法筆算模型的核心算法。通過梯度式復(fù)習(xí)激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)算理遷移的無縫對接。隨后自然過渡到生活化的購物場景，在“價(jià)格均分”“貨幣計(jì)算”等真實(shí)問題中展開新知探究。在游戲中，學(xué)生扮演購物者，用虛擬貨幣購買不同價(jià)格的商品，根據(jù)所給金額和商品單價(jià)，計(jì)算能購買的數(shù)量，遇到“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”的情況時(shí)，思考如何解決。

運(yùn)算情境常源自生活、科學(xué)、文化，旨在引出運(yùn)算元素。教學(xué)中，教師巧妙將數(shù)學(xué)問題融入情境，精確聚焦運(yùn)算對象，如“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”，含數(shù)位、位值、符號等基礎(chǔ)，助力學(xué)生領(lǐng)悟運(yùn)算意義。在這節(jié)課的教學(xué)中，對運(yùn)算意義的理解通過四種方式得以實(shí)現(xiàn)：生活場景嵌入、言語邏輯建構(gòu)、具象化操作、符號抽象凝練。教學(xué)設(shè)計(jì)借助 “情境激活→操作驗(yàn)證→語言外化→符號定型”的認(rèn)知鏈條，既規(guī)避單純情境化導(dǎo)致的淺層思維，又防范了符號運(yùn)算淪為機(jī)械訓(xùn)練。全程圍繞 “數(shù)量分配”，彰顯數(shù)學(xué)運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)情境、符號抽象相互依存，脫離任一方都會阻礙思維發(fā)展與意義建構(gòu)的辯證關(guān)系。

本環(huán)節(jié)以“購買球類”串聯(lián)教學(xué)，情境貼近生活。若脫離現(xiàn)實(shí)，運(yùn)算對象就失去依托，運(yùn)算教學(xué)便難以推進(jìn)。

二、算理算法互融，構(gòu)建運(yùn)算思維體系

數(shù)源于數(shù)量關(guān)系的符號抽象，其從具象到符號的轉(zhuǎn)化構(gòu)成數(shù)學(xué)認(rèn)知基石。運(yùn)算能力發(fā)展依托算理與算法的深度互構(gòu)：算理作為運(yùn)算原理體系（陳述性知識），通過多元表征揭示本質(zhì)；算法作為操作程序框架（程序性知識），以結(jié)構(gòu)步驟規(guī)范思維。二者形成 “闡釋→建模→迭代”認(rèn)知閉環(huán)，算理奠基算法邏輯，算法激活算理認(rèn)知。當(dāng)前教學(xué)中“重步驟輕思維”導(dǎo)致學(xué)生“熟用算法卻迷失原理”，破解它需要構(gòu)建理法共生機(jī)制—在算理探究中預(yù)設(shè)算法生長點(diǎn)，在算法應(yīng)用中植入算理解析鏈，通過診斷認(rèn)知差異設(shè)計(jì)階梯任務(wù)，使數(shù)學(xué)運(yùn)算從機(jī)械操作升維為結(jié)構(gòu)化思維范式。

教學(xué)片段二：巧借小棒與AR技術(shù)，領(lǐng)悟算理。

課上，教師明確要探究52÷2這類兩位數(shù)除以一位數(shù)的運(yùn)算。為了直觀展示，教師使用一捆小棒表示一筒羽毛球，1根小棒代表1個(gè)羽毛球，并通過課件展示5筒又2個(gè)羽毛球?qū)?yīng)5捆又2根小棒的形象。學(xué)生分組研究如何將這些小棒平分。為了增強(qiáng)教學(xué)效果，教師還利用增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)AR技術(shù)，讓學(xué)生使用手機(jī)或平板掃描小棒圖片。這樣，學(xué)生就能在屏幕上看到更加生動、立體的小棒拆分和組合過程，從而多角度地研究數(shù)與運(yùn)算的一致性。

小棒在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中扮演著關(guān)鍵角色，尤其對于三年級學(xué)生來說，他們已經(jīng)具備了一定的操作經(jīng)驗(yàn)。通過“5捆又2根小棒”這樣的實(shí)物對應(yīng)，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念與具體的實(shí)物聯(lián)系起來。在分小棒的過程中，學(xué)生結(jié)合口算基礎(chǔ)進(jìn)行運(yùn)算，這不僅有助于他們理解算理，還能為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

分小棒時(shí)，學(xué)生先分整捆，取4捆平分得每份2捆。處理剩下的“1捆2根”有兩種方法：一是拆1捆為10根，與2根合成12根再平分，每份6根；二是先把1捆拆成10根平分，每份5根，再分2根，每份也是6根。學(xué)生多傾向方法一。各種分類策略與不同的豎式算法相對應(yīng)，學(xué)生在動手操作中逐步抽象出算法，并深入對算理的理解。

要全面把握算理，關(guān)鍵在于對計(jì)數(shù)單位進(jìn)行精細(xì)劃分，比如將12根小棒進(jìn)行分配。通過分小棒的實(shí)踐活動，學(xué)生不僅積累了寶貴的操作經(jīng)驗(yàn)，還有效地鍛煉了邏輯思維，為豎式計(jì)算的順利開展做好了充分準(zhǔn)備。這種除法是減法逆運(yùn)算，本質(zhì)是“同數(shù)連減”，體現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算的一致性。

教學(xué)片段三：除法運(yùn)算的算理算法共生路徑。

教師以關(guān)鍵問題“商2為何定位十位”驅(qū)動深度思考，通過階梯式追問構(gòu)建認(rèn)知階梯：學(xué)生經(jīng)歷“分整十?dāng)?shù)→理解余數(shù)轉(zhuǎn)化→重組計(jì)數(shù)單位”的思維建模過程，將小棒操作經(jīng)驗(yàn)（分4捆余1捆2根）遷移至豎式算法。

教學(xué)聚焦“商→乘→減”算法模型，重點(diǎn)突破 “余數(shù)降級”的算理內(nèi)核：當(dāng)5個(gè)十無法平均分時(shí)，將52分解為50+2，通過余1個(gè)10轉(zhuǎn)化為10個(gè)1，與2個(gè)1重組為12個(gè)1繼續(xù)均分，完整演繹“細(xì)分計(jì)數(shù)單位”的除法本質(zhì)。此過程建立豎式書寫規(guī)范與小棒操作的三重對應(yīng)關(guān)系—商的位置對應(yīng)分物層次，余數(shù)轉(zhuǎn)化對應(yīng)拆捆重組，最終結(jié)果表征整體分配。

結(jié)構(gòu)化練習(xí)設(shè)計(jì)采用“□”符號框架（圖3），強(qiáng)化算法程序與算理邏輯的雙向錨定。通過具身操作向符號運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)從具體形象思維到抽象邏輯思維的認(rèn)知躍遷，為整數(shù)、小數(shù)除法的算法遷移建立普適性思維模型。

為檢驗(yàn)教學(xué)成效，開展教學(xué)實(shí)驗(yàn)，筆者選定兩個(gè)平行班級，一個(gè)運(yùn)用融入創(chuàng)新技術(shù)的教學(xué)法，另一個(gè)采用傳統(tǒng)教學(xué)法。教學(xué)結(jié)束，通過問卷調(diào)查，收集學(xué)生在學(xué)習(xí)“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”前后的興趣度與理解程度數(shù)據(jù)；同時(shí)開展單元測試，對比兩班成績，分析不同教學(xué)法對學(xué)習(xí)效果的影響。

三、深度洞察：數(shù)與運(yùn)算的本質(zhì)關(guān)聯(lián)

新課標(biāo)針對各學(xué)段 “數(shù)與運(yùn)算” 教學(xué)，給出具體建議，倡導(dǎo)從整體視角理解數(shù)概念，打通運(yùn)算間的壁壘，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)，把握運(yùn)算間的關(guān)系，從而培養(yǎng)運(yùn)算能力與推理意識。

1.細(xì)解除法，讓算理算法相融

我國著名數(shù)學(xué)教育家陳重穆在其著作《淡化形式，注重本質(zhì)》中指出，教學(xué)應(yīng)側(cè)重學(xué)生對知識實(shí)質(zhì)的領(lǐng)會，而非糾結(jié)于文字表述。在除法教學(xué)里，突破難點(diǎn)需要緊扣核心概念。一方面，“平均分”是關(guān)鍵，除法計(jì)算圍繞其展開，即“等份劃分且全部分完”。另一方面，需明晰除法與其他運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系：它既是連續(xù)減去相同數(shù)的快捷方法，也是乘法的反向操作。在進(jìn)行試商與調(diào)商時(shí)，需確保商與除數(shù)的乘積與被除數(shù)相等。

除法運(yùn)算即計(jì)數(shù)單位分割，基于乘法分配。以“52÷2”為例，除了常規(guī)解釋，還可聯(lián)系減法詳細(xì)說明其“同數(shù)連減”的過程：52-2-2-…-2（共減26次）=0，讓學(xué)生更直觀地感受除法與減法的緊密聯(lián)系。在學(xué)生掌握乘法運(yùn)算律與分?jǐn)?shù)除法后，教師可將52÷2=26的運(yùn)算過程呈現(xiàn)為：52÷2=（40+12）÷2=（40+12）×=40×+12×=20+6=26。不過，三年級學(xué)生尚未接觸乘法分配運(yùn)算律，這一運(yùn)算方式需在中高年級學(xué)習(xí)。

算理是回答“計(jì)算依據(jù)”的說明性知識，算法與豎式模型則是執(zhí)行“計(jì)算步驟”的操作性知識。學(xué)生即便經(jīng)由模仿掌握豎式算法中的“商→乘→減”流程，也必須建立在理解算理的基礎(chǔ)之上，因?yàn)樨Q式計(jì)算的本質(zhì)仍是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分過程。算理關(guān)乎數(shù)與運(yùn)算的基本原理，算法則是實(shí)踐中概括而來，結(jié)構(gòu)化豎式是算理的形式呈現(xiàn)。學(xué)生面對運(yùn)算時(shí)，常簡化過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，算理展現(xiàn)出清晰明確的特點(diǎn)，而算法則呈現(xiàn)出多樣性。教師應(yīng)當(dāng)積極鼓勵(lì)學(xué)生主動深入探究算理的本質(zhì)構(gòu)成，自主性地構(gòu)建出符合個(gè)人理解的算法框架，同時(shí)，要對算理進(jìn)行深入的總結(jié)與精煉，而非僅僅局限于對知識進(jìn)行簡單的、機(jī)械式的傳授。

2.直觀與抽象融合，算理算法統(tǒng)一

在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，“數(shù)與運(yùn)算”居核心，內(nèi)容循序漸進(jìn)，構(gòu)建完整知識體系。數(shù)的認(rèn)識源于計(jì)數(shù)實(shí)踐，在小學(xué)低年級階段，教師通常會結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，營造貼近現(xiàn)實(shí)生活的具體情境，運(yùn)用小棒、圓片等實(shí)物教具，引領(lǐng)學(xué)生采用逐一清點(diǎn)的方式，達(dá)成計(jì)數(shù)單位的逐步疊加，進(jìn)而領(lǐng)悟數(shù)字的含義，并學(xué)會利用數(shù)字符號來精確表征數(shù)量的技巧。隨著學(xué)習(xí)的深入，到了中高年級階段，學(xué)生認(rèn)識數(shù)的方式逐漸轉(zhuǎn)變，更多地借助示意圖、符號等，依據(jù)數(shù)的本質(zhì)含義來深入理解數(shù)。

學(xué)生在數(shù)與形之間自如切換，借直觀圖形理解抽象數(shù)字，把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀形象，用以攻克各類數(shù)學(xué)難題。這一數(shù)的認(rèn)識進(jìn)程，本質(zhì)上是對現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系的抽象提煉，對培育學(xué)生的數(shù)感、符號意識以及推理意識大有助益，恰如華羅庚先生所講，數(shù)與形相互依存，數(shù)缺形則缺乏直觀感知，形缺數(shù)則難以精準(zhǔn)深入，二者有機(jī)結(jié)合益處多多，一旦割裂則諸事不利。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出，計(jì)數(shù)環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)方法的基石，運(yùn)算的核心本質(zhì)即計(jì)數(shù)。缺乏具體數(shù)字的依托，計(jì)數(shù)單位將變得抽象難解。教師通過引導(dǎo)學(xué)生親歷“數(shù)（shǔ）”的過程，使其深刻認(rèn)識“數(shù)（shù）”，從而為計(jì)數(shù)單位注入生動內(nèi)涵。以除法運(yùn)算為例，計(jì)數(shù)單位在試商時(shí)扮演著決定性角色，確保所得商值不超過9。這一過程極大地豐富了數(shù)字認(rèn)知與運(yùn)算的層次，促進(jìn)了更大、更復(fù)雜數(shù)字體系的形成。運(yùn)算過程中，相同計(jì)數(shù)單位數(shù)量的動態(tài)變化，直觀地展現(xiàn)了運(yùn)算的本質(zhì)。雖然動手操作看似簡單，但它實(shí)際上深刻反映了學(xué)生對抽象算法的認(rèn)知進(jìn)程，標(biāo)志著他們從直觀操作思維向抽象邏輯思維的重要邁進(jìn)。為了實(shí)現(xiàn)“理解算理，掌握算法”的教學(xué)目標(biāo)，直觀操作的教學(xué)實(shí)踐扮演著舉足輕重的角色。學(xué)生在豎式計(jì)算的親身實(shí)踐中，逐步構(gòu)建起對算法的感性認(rèn)知，并通過歸納推理，提煉出具有普遍適用性的算法規(guī)則，從而深化了對算理本質(zhì)的理解。小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法基于同樣的底層原理，需要借助嚴(yán)謹(jǐn)演繹推理展開運(yùn)算。

3.融匯算理算法，助推運(yùn)算能力展翅騰飛

在數(shù)的運(yùn)算范疇，算理、算法、運(yùn)算律是核心要素。按邏輯，本應(yīng)從算法歸納算理，再由算理推導(dǎo)運(yùn)算律。然而在教學(xué)時(shí)，教師多逆向引導(dǎo)，借助課件展示小棒操作等直觀方式輔助學(xué)生理解，隨著學(xué)生對算理算法的領(lǐng)會，推理意識初步形成。這時(shí)，教師需創(chuàng)設(shè)兼具科學(xué)性與趣味性的問題情境，激發(fā)學(xué)生思考，助力其深入理解運(yùn)算對象，實(shí)現(xiàn)算法的靈活運(yùn)用。

創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科問題情境，將數(shù)學(xué)運(yùn)算與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理相結(jié)合。例如在科學(xué)課上，學(xué)生測量物體在不同時(shí)間內(nèi)移動的距離，計(jì)算平均速度時(shí)會遇到 “兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）” 的情況，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決科學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)在不同學(xué)科中的應(yīng)用價(jià)值。

給學(xué)生布置有關(guān)生活實(shí)際的運(yùn)算題，既能檢驗(yàn)其對算理算法的掌握水平，還能推動他們在數(shù)學(xué)與生活間建立聯(lián)系，培養(yǎng)應(yīng)用和創(chuàng)新思維。運(yùn)算能力的養(yǎng)成是長期過程，學(xué)生從口算開始，借助小棒操作理解算理，經(jīng)大量練習(xí)轉(zhuǎn)化為技能。在形成比較穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)后，就能實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法遷移，像從整數(shù)除法拓展到小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法，為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筑牢基礎(chǔ)。

四、總結(jié)展望

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，深挖數(shù)與運(yùn)算一致性頗為關(guān)鍵。創(chuàng)設(shè)貼近生活的啟發(fā)性情境，能讓學(xué)生輕松理解運(yùn)算意義。融通算理算法，既助學(xué)生掌握運(yùn)算技能，又能培養(yǎng)邏輯與推理能力。而引導(dǎo)學(xué)生感悟二者一致性、把握運(yùn)算本質(zhì)，正是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心。

教師教學(xué)應(yīng)具備整體觀，融合數(shù)概念與數(shù)運(yùn)算的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象、從特殊到一般，關(guān)注過程與差異，采用多元教法，激發(fā)學(xué)生興趣與主動性，促進(jìn)知識理解與運(yùn)用，落實(shí)課標(biāo)、培育素養(yǎng)，為學(xué)生發(fā)展奠基。

未來還需持續(xù)探索創(chuàng)新，深挖“數(shù)與運(yùn)算一致性”的教學(xué)價(jià)值，提升教學(xué)質(zhì)量。緊跟教育技術(shù)發(fā)展步伐，探索人工智能輔助、在線互動平臺等在教學(xué)中的應(yīng)用。深入鉆研學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)與需求，制定個(gè)性化教學(xué)策略，滿足不同學(xué)生學(xué)習(xí)需要，推動小學(xué)數(shù)學(xué)教育不斷進(jìn)步。

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