集合備考要點(diǎn)探析

高考對(duì)集合內(nèi)容的考查，既有基礎(chǔ)題，又有能力題，且常與函數(shù)、數(shù)列、排列組合、解析幾何等內(nèi)容綜合考查，命題視角雖然常考常新，但考查的核心內(nèi)容主要涉及集合中元素的屬性、集合的關(guān)系與運(yùn)算等.下面就備考要點(diǎn)舉例說明，

1認(rèn)清一個(gè)本質(zhì)

利用描述法表示集合，豎線前面的符號(hào)表示的是集合中的元素，后面的關(guān)系式是元素滿足的條件.例如，集合 表示的是函數(shù) 的定義域，集合 表示的是函數(shù) 的值域，解決相關(guān)問題時(shí)要弄清集合元素的本質(zhì)屬性.

一例1設(shè)函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)?D ，對(duì)于函數(shù)f（x） 的圖像上一點(diǎn) （x₀，y₀） ，如果集合 {k∈R}k（x- x₀）+y₀?f（x），?x∈D} 中只有1個(gè)元素，則稱函數(shù) f（x） 具有性質(zhì) P_x0 .下列函數(shù)中具有性質(zhì) P₁ 的是（ ）.

A. f（x）=∣x-1∣ B. f（x）=logx C

性質(zhì) P_x0 的幾何意義是過點(diǎn) （x₀，y₀） 的直線始終位于 f（x） 圖像的下方（或重合，且該直線有且僅有一條）.易知 y=k（x-x₀）+y₀ 表示過點(diǎn)（x₀，y₀） 且斜率為 k 的直線.當(dāng) x₀=1 時(shí)，對(duì)于選項(xiàng)A中的函數(shù)，如圖1所示，由數(shù)形結(jié)合思想可知滿足k（x-x₀）+y₀?f（x） 的直線有無數(shù)條.同理，選項(xiàng)B和C中的函數(shù)不存在滿足條件的直線.對(duì)于選項(xiàng)D中的函數(shù)，如圖2所示，存在唯一的直線 y=-1 滿足條件，此時(shí) k=0 ，故選D.

2 明確兩組關(guān)系

兩組關(guān)系指的是元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系.元素與集合之間的關(guān)系有兩種，即 ∈ 或；集合與集合之間的關(guān)系有三種，即子集 （?） 、真子集（?） 、相等 （=） .一個(gè)含有 n 個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為 2ⁿ （包括空集）、真子集的個(gè)數(shù)為 2ⁿ-1. 解題中要準(zhǔn)確識(shí)別、正確應(yīng)用各種關(guān)系.

例2若非空數(shù)集 I，P 滿足如下三個(gè)條件，則稱I 是 P 的“理想子集”.

（1）? x∈I ，有 x∈P （ ，有 x+y∈I ：（ ii） ?x∈I 且 ?y∈P ，有 xy∈I 給出下列四個(gè)結(jié)論：

① 若 I={2k∣k∈Z} ，則 I 是 的“理想子集”；② 若 I 是 的“理想子集”，且存在非零實(shí)數(shù) a∈ I ，則 I=R ：③ 若 I_l，I₂ 是 P 的“理想子集”，則 I_l?I₂ 也是P 的“理想子集”；④ 若 I_l，I₂ 是 P 的“理想子集”，則 I_l∩I₂ 也是P 的“理想子集”.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

條件（i）說明集合 I 是 P 的子集；條件（i）說明集合 I 對(duì)加法封閉;條件（i）說明集合I 的任意一個(gè)元素與 P 中的任意一個(gè)元素相乘，所得的積為 I 中的元素.

對(duì)于 ① ，I為偶數(shù)集，所以 I 為 的子集，滿足條件（i）；兩個(gè)偶數(shù)之和仍為偶數(shù)，對(duì)加法封閉，滿足條件（i）；一個(gè)偶數(shù)與任何一個(gè)整數(shù)的乘積仍為偶數(shù)，滿足條件（Ⅲ），故結(jié)論正確，

對(duì)于 ② ，1是R的“理想子集”，則 I 與 滿足三個(gè)條件，若 x∈R ，且存在非零實(shí)數(shù) a∈I ，則 ax∈I ，且 ax∈R ，所以 I=R ，故結(jié)論正確.

對(duì)于 ③ ，因?yàn)?I_l，I₂ 是 P 的“理想子集”，所以I_l?I₂ 是 P 的子集，滿足條件（i）.若 I₁={2k∣k∈ Z}，I₂={3k∣k∈Z} ，則 2∈I₁，3∈I₂ ，但 2+3=5 AI_l?I₂ ，不滿足條件（ii），故結(jié)論錯(cuò)誤.

對(duì)于 ④ ，因?yàn)?I₁?I₂ 中的元素既屬于 I_l ，也屬于I₂ ，而 I_l，I₂ 都是 P 的“理想子集”，所以 I_l∩I₂ 也是P 的“理想子集”，結(jié)論正確，

綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是 ①②④

例3 已知集合 A={a₁，a₂，a₃，a₄}?{1，2，3 4，5，6，7，8} ，若存在 a_i，a_j∈A ，使得 ∣a_i-a_j∣=1 ，則集合 A 的個(gè)數(shù)為

集合 A 是 {1，2，3，4，5，6，7，8} 的子集，則集合 A 是由 1～8 中的4個(gè)數(shù)字構(gòu)成的，若存在 a_i，a_j∈A ，使得 ，則 A 中至少包括 1～ 8中的一組相鄰數(shù).

不考慮限制條件，從 1～8 這8個(gè)數(shù)字中任取4個(gè)，共有 C₈⁴=70 種情況，其中不符合條件的有 {1，3 5，7}，{1，3，5，8}，{1，3，6，8}，{1，4，6，8}，{2，4，6，8} 共5種情況，則滿足條件的集合 A 的個(gè)數(shù)為65.

3熟練三種運(yùn)算

集合的三種運(yùn)算，即交集、并集、補(bǔ)集 .A∩B 是由兩個(gè)集合的共同元素構(gòu)成的，其中 A∩O=O ;AUB覆蓋兩個(gè)集合中的所有元素，其中 ；C _UA 是由全集 U 中不屬于 A 的元素構(gòu)成的，其中 A∩ （ ?_UA）=? ，AU（ ?_UA）=U ， ?_v（A∪B）= （?_vA）?（?_vB） ， 解題時(shí)要準(zhǔn)確把握運(yùn)算的本質(zhì)，正確使用相應(yīng)的符號(hào)，

例4設(shè) A，B 為2個(gè)非空有限集合，定義 J（A ， TAUB|，其中|S丨表示集合 S的元素個(gè)數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、丁4名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這4名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為 S₁，S₂，S₃，S₄ .已知 物理，化學(xué)，生物}， 地理，物理，化學(xué)}， 思想政治，歷史，地理 ，給出下列四個(gè)結(jié)論：

① 若 J（S₂，S₄）=1 ，則 思想政治，歷史，生物 } ，

② 若 J（S₁，S₂）=J（S₁，S₄） ，則 地理，物 理，化學(xué) 3 .

③ 若 思想政治，物理，生物}，則J（S₁，S₄）2，S₄）=J（S₃，S₄） ④ 若 J（S₁，S₄）gt;J（S₂，S₄）=J（S₃，S₄） ，則

思想政治，地理，化學(xué)}.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

對(duì)于 ① ，若 ，則 S₂∩S₄=? 又 地理，物理，化學(xué) ，所以 思想政治，歷史，生物}，故 ① 正確.

對(duì)于 ② ，因?yàn)? 所以|S₁∩S₄|=2，|S₁∪S₄|=4 ，則 S₄ 中的元素是從 S₁ 的3個(gè)元素中任選2個(gè)，再從除 S_I 外的3個(gè)科目中任選1個(gè)構(gòu)成，共有9種情況，故 ② 錯(cuò)誤.

對(duì)于 ③ ，當(dāng) 思想政治，物理，生物 } 時(shí)，∣S₁∩S₄∣=2 ， ∣S₁∪S₄∣=4 ，則 |S₂∩S₄|=1，|S₂∪S₄|=5 ，所以 |S₃?S₄|=1，|S₃?S₄|=5 ，所以 因此， J（S₁，S₄）2，S₄）=J（S₃，S₄） ，故 ③ 正確.

對(duì)于 ④ ，當(dāng) 物理，地理，歷史 } 時(shí)， ，也滿足 J（S₁，S₄）gt;J（S₂，S₄）=J（S₃，S₄） ，故 ④ 錯(cuò)誤.

綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是 ①③

4謹(jǐn)防四類誤區(qū)

1）忽視空集：空集是特殊的集合，空集中的元素個(gè)數(shù)為0，空集是任何一個(gè)集合的子集，任何一個(gè)非空集合的真子集.在有關(guān)運(yùn)算中要考慮空集的存在性.

2）混淆符號(hào)： ∈ 或表示的是元素和集合之間的關(guān)系， ? 或表示的是兩個(gè)集合之間的關(guān)系，切勿混淆.特別地， O∈{O} 和 Osubseteq{O} ，這兩個(gè)關(guān)系都是正確的，在第一個(gè)關(guān)系中“ x ”只是一個(gè)符號(hào)，是集合{?} 中的元素；第二個(gè)關(guān)系中 x 表示空集，是集合{?} 的一個(gè)子集.

3）忽視元素的互異性：集合中的元素具有確定性、互異性、無序性.這是判斷一組研究對(duì)象能否構(gòu)成集合的依據(jù)，其中互異性指的是集合中任意兩個(gè)元素都不能相同，當(dāng)所考查的集合中的元素含有參數(shù)時(shí)，要注意討論集合的互異性，

4）忽視數(shù)集與點(diǎn)集的區(qū)別：數(shù)集是由數(shù)構(gòu)成的集合，集合中的元素是數(shù)，如實(shí)數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集等.點(diǎn)集是由點(diǎn)構(gòu)成的集合，集合中的元素是點(diǎn).

（完）