研究生組合數(shù)學(xué)課程思政“1343”教學(xué)模式構(gòu)建與實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2025）20-0125-05

Abstract：Tofurthersatisfytheneedsofgraduateeducationinthenewera，wewillexploreindepththeteachingmodeof curriculumpoliticsintheCombinationMathematicsforgraduatecourse.BasedonthetrainingprogramoftheCombined Mathematicscouse，a\"1343\"teachingmodeofideologicalandpoliticaleducationincourseswithonecore，threeobjectives，four levels，andthreemethodshasbeenformed.Theteachingpracticeresultsshowthatthe\"1343\"teaching modeofideologicaland politicalducationincourseshascultivatedtheindependentlearningabilityandinnovationabilityofgraduatestudents， effectivelyimprovedtheteachingqualityandeducationalfunctionoftheCombinedMathematicscourse.Anewteachingmodel that can be replicated and promoted has been formed.

Keywords：curiculum politics;graduate course;\"1343\" teaching model; Combination Mathematics；practice

組合數(shù)學(xué)是一門研究離散對(duì)象的學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)分支之一，計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的興起推動(dòng)了組合數(shù)學(xué)的發(fā)展。李雪珊探討了如何通過(guò)多講數(shù)學(xué)故事、整合零散知識(shí)和訓(xùn)練一題多解等方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而改善組合數(shù)學(xué)教學(xué)效果。張大坤等從教學(xué)改革方法、課程體系建設(shè)和教材建設(shè)三個(gè)維度研究了組合數(shù)學(xué)課程改革的重要性。馬昱春等從互聯(lián)網(wǎng)思維視角分析了MOOC課程設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)課堂的區(qū)別以及相同之處，探討了在線課程的主要設(shè)計(jì)要素。結(jié)合清華大學(xué)計(jì)算機(jī)系組合數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，馬昱春闡述以啟發(fā)式教學(xué)引領(lǐng)思維、以創(chuàng)新實(shí)踐激發(fā)興趣的教學(xué)理念。楊春梅等以清華大學(xué)組合數(shù)學(xué)課程為例，從課程設(shè)計(jì)、平臺(tái)與工具和課上學(xué)習(xí)等方面對(duì)基于雨課堂的翻轉(zhuǎn)式教學(xué)進(jìn)行了刻畫。

2020年教育部印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，強(qiáng)調(diào)要“圍繞政治認(rèn)同、家國(guó)情懷、文化素養(yǎng)、憲法法治意識(shí)和道德修養(yǎng)等重點(diǎn)優(yōu)化課程思政內(nèi)容供給”。研究生作為拔尖創(chuàng)新人才的主力軍，與本科生課程開展課程思政不同，研究生課程開展課程思政，能夠適應(yīng)“雙一流\"建設(shè)對(duì)人才培養(yǎng)的要求，同時(shí)也符合“三全育人”的現(xiàn)實(shí)需求，也是高校重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力和國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力，突出應(yīng)用創(chuàng)新型人才培養(yǎng)特色的重要保障。王正新等在研究生組合數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)中，將思政元素全面融人教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)反思等環(huán)節(jié)，研究了矩陣論課程思政教學(xué)的方法與成效，提高了研究生矩陣論學(xué)習(xí)的積極性和效果，為培養(yǎng)創(chuàng)新型高水平人才提供有益借鑒。高迪等研究了人工智能專業(yè)教師與思政教師合作實(shí)現(xiàn)研究生課程人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用課程思政的具體路徑，探討了二者協(xié)同教學(xué)的必要性。在研究生組合數(shù)學(xué)課程思政建設(shè)方面，沈晶等構(gòu)建了發(fā)展歷史與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用相結(jié)合的課程思政元素挖掘和融入手段，并通過(guò)若干實(shí)際案例進(jìn)行闡述。目前探討研究生組合數(shù)學(xué)課程思政的研究較少，因此有必要提出新的方式和方法來(lái)豐富完善。鑒于此，本文提出了“1343\"研究生組合數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)模式。

一 “1343\"教學(xué)模式構(gòu)建

遼寧工程技術(shù)大學(xué)（以下簡(jiǎn)稱“我校\"）組合數(shù)學(xué)課程開設(shè)于2014年，面向計(jì)算機(jī)和軟件專業(yè)研究生一年級(jí)學(xué)生，60學(xué)時(shí)，2024年研究生培養(yǎng)方案調(diào)整為32學(xué)時(shí)。“1343\"立體化的課程思政教學(xué)模式，結(jié)合研究生組合數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)方案，通過(guò)課情和學(xué)情分析，將思政元素融入課程教學(xué)中。形成了1中心、3目標(biāo)、4層面和3手段的教學(xué)模式，如圖1所示。

（一） 堅(jiān)持立德樹人為1中心

立德樹人作為新時(shí)代我國(guó)教育事業(yè)的根本任務(wù)，強(qiáng)調(diào)在教育過(guò)程中不僅要傳授知識(shí)，更要塑造學(xué)生的品格。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力方面具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也是進(jìn)行思想政治教育的有效載體。在研究生組合數(shù)學(xué)課程中堅(jiān)持立德樹人為中心，不僅關(guān)注研究生的知識(shí)掌握情況，更注重研究生的綜合素質(zhì)和道德素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過(guò)將立德樹人的理念融人組合數(shù)學(xué)教學(xué)，可以有效推動(dòng)素質(zhì)教育的實(shí)施，提升研究生的綜合素養(yǎng)。

（二） 構(gòu)建課程3目標(biāo)

通過(guò)本門課程的學(xué)習(xí)，要求研究生掌握排列與組合、組合恒等式、容斥原理、遞推關(guān)系、常生成函數(shù)、鴿籠原理和波利亞計(jì)數(shù)為知識(shí)目標(biāo)。使研究生能得到嚴(yán)格的邏輯推理與抽象思維能力的訓(xùn)練，提升學(xué)生用組合數(shù)學(xué)的思想方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力為能力目標(biāo)。同時(shí)，培養(yǎng)研究生具有家國(guó)情懷、無(wú)私奉獻(xiàn)、文化自信、誠(chéng)實(shí)守信和團(tuán)隊(duì)合作等素養(yǎng)為育人目標(biāo)。將育人自標(biāo)置于與知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)同等重要的位置，將其內(nèi)容有機(jī)融入組合數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容并貫穿于教學(xué)全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)課程思政與研究生數(shù)學(xué)教學(xué)的互融互促，使組合數(shù)學(xué)課程的課程思政完整化、體系化。

（三） 實(shí)施課程思政展開4層面

課程堅(jiān)持立德樹人為中心，為落地課程目標(biāo)，深挖思政元素。為了將思政元素有效地融入課堂，建立了知識(shí)點(diǎn)、思政元素和德育目標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，見(jiàn)表1。

從4個(gè)層面開展課程思政，組合之美，排列和組合解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，特殊的遞推關(guān)系中的Fibonacci數(shù)列，第一類Stirling數(shù)和第二類Stirling數(shù)等；組合之妙，有禁位排列問(wèn)題轉(zhuǎn)換為棋盤問(wèn)題中的軍多項(xiàng)式和命中多項(xiàng)式的處理方式。存在性問(wèn)題中的鴿籠原理的巧妙應(yīng)用等。組合之情，組合數(shù)學(xué)緒論中科學(xué)家的事例與成就，如楊輝三角形、管梅谷教授的“中國(guó)郵路問(wèn)題”南京大學(xué)張克民教授Ramsey數(shù)。組合之思，球放進(jìn)盒子模型，球是否可分？盒子是否可分？盒子是否允許空？共8種情況的計(jì)數(shù)問(wèn)題等，如圖2所示。

（四） 教學(xué)手段3融合

依托超星泛雅平臺(tái)和學(xué)堂云平臺(tái)采用 MOOC+ SPOC+ 雨課堂直播的融合式智慧教學(xué)[10]，MOOC視頻資源選擇首批國(guó)家級(jí)精品在線開放課程清華大學(xué)的組合數(shù)學(xué)課程，該課程具有設(shè)計(jì)精巧、講授清晰和極具特色的詮釋方法等特點(diǎn)，累計(jì)學(xué)習(xí)人數(shù)超過(guò)6萬(wàn)人次。教學(xué)團(tuán)隊(duì)在課程開始前對(duì)MOOC資源進(jìn)行仔細(xì)認(rèn)真研究和討論，根據(jù)課程培養(yǎng)方案和教學(xué)大綱的要求，為研究生選擇相應(yīng)的學(xué)習(xí)模塊，包括微視頻、練習(xí)題、拓展資料等。教師前一次課為研究生預(yù)留MOOC學(xué)習(xí)內(nèi)容，并為其設(shè)置課前預(yù)習(xí)引導(dǎo)問(wèn)題，讓研究生帶著問(wèn)題進(jìn)行課前預(yù)習(xí)。建設(shè)以授課視頻和豐富的習(xí)題為主的學(xué)堂云網(wǎng)絡(luò)SPOC平臺(tái)，通過(guò)設(shè)置任務(wù)點(diǎn)和討論等模塊，監(jiān)督學(xué)生學(xué)習(xí)效果，并將課堂教學(xué)活動(dòng)納入SPOC平臺(tái)進(jìn)行管理。課堂上采用雨課堂智慧教學(xué)工具進(jìn)行直播式教學(xué)，一方面通過(guò)雨課件互動(dòng)習(xí)題的結(jié)果反饋學(xué)生掌握情況，教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏。另一方面，可以兼顧線上線下、課堂內(nèi)外的每一位學(xué)生，線上學(xué)生可以同線下教師、學(xué)生進(jìn)行實(shí)時(shí)同步互動(dòng)和交流討論，實(shí)現(xiàn)同步等質(zhì)課堂。雨課堂將PPT、MOOC和手機(jī)微信融為一體，整合課前推送課件、課堂幻燈片同步、數(shù)據(jù)過(guò)程采集和統(tǒng)計(jì)分析等多個(gè)功能，將傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式與移動(dòng)學(xué)習(xí)方式有效結(jié)合起來(lái)。再者，雨課堂沉淀的視頻回放可以幫助學(xué)生有效的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)，打破時(shí)空限制。此外，采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)方法激發(fā)研究生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)研究生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力。

二 “1343\"教學(xué)模式案例

下面是2024年秋學(xué)期的教學(xué)模式中的兩個(gè)案例，案例一的教學(xué)內(nèi)容為常生成函數(shù)，案例二的教學(xué)內(nèi)容為命中多項(xiàng)式，班級(jí)為軟件專業(yè)研究生一年級(jí)學(xué)生。

（一） 教學(xué)案例一

1教學(xué)目標(biāo)及案例內(nèi)容

知識(shí)目標(biāo)：不定方程的求解；能力目標(biāo)：常生成函數(shù)的構(gòu)造；育人目標(biāo)：通過(guò)生成函數(shù)不同形式的構(gòu)造，培養(yǎng)研究生的創(chuàng)新意識(shí)。

案例內(nèi)容選取：許多組合計(jì)數(shù)問(wèn)題往往歸結(jié)為求某個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，但直接去求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往較難，而多項(xiàng)式的差分和遞推關(guān)系方法只能求解特殊通項(xiàng)，這時(shí)可考慮先求數(shù)列的常生成函數(shù)，然后把常生成函數(shù)看成是以 χ_t 為變?cè)膶?shí)函數(shù)，求出常生成函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，則通項(xiàng)就是該展開式中 tⁿ 的系數(shù)。對(duì)于對(duì)變量取值有特殊要求以及變量前系數(shù)不為1的不定方程解的計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為常生成函數(shù)中某一項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算。以不定方程 x₁+2x₂+4x₃=21 的解集為例，如何構(gòu)造常生成函數(shù)？常生成函數(shù)唯一嗎？若不唯一哪個(gè)是最優(yōu)的？通過(guò)求解和討論給出答案。

2案例呈現(xiàn)形式及教學(xué)過(guò)程

1）案例呈現(xiàn)形式： ① 課堂講授，采用雨課件、啟發(fā)式教學(xué)、翻轉(zhuǎn)課堂和雨課堂直播為主教學(xué)手段，深入淺出地分析其中原理及思政要點(diǎn)。 ② 線上拓展，通過(guò)學(xué)堂云SPOC課程學(xué)習(xí)平臺(tái)發(fā)布案例的微課視頻，供學(xué)生自主學(xué)習(xí)、深人思考。

2）教學(xué)實(shí)施過(guò)程： ① 系數(shù)為1的特殊不定方程求解。通常情況下數(shù)列的求解轉(zhuǎn)換成常生成函數(shù)中某一項(xiàng)的系數(shù)。介紹系數(shù)為1的不定方程的求解公式。給出變量取值范圍限定的不定方程求解方法，求解算例1，x₁+x₂+x₃=14 滿足條件 x₁?8，x₂?8，x₃?8 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。要注意和一般不定方程求解方法的區(qū)別，同時(shí)注意生成函數(shù)的構(gòu)造以及形式冪級(jí)數(shù)的巧妙處理。 ② 一般不定方程求解。接下來(lái)研究一般性的不定方程算例 2，x₁+2x₂+4x₃=21 的整數(shù)解的個(gè)數(shù)。提醒學(xué)生注意變量取值范圍的確定；注意生成函數(shù)的構(gòu)造；注意形式冪級(jí)數(shù)的有效處理。

接下來(lái)采用翻轉(zhuǎn)課堂方式展開教學(xué)。

問(wèn)題1：算例2求解過(guò)程中，第一個(gè)變量 x₁ 的取值范圍為奇數(shù)，如果不是奇數(shù)計(jì)算量會(huì)如何？

問(wèn)題2：算例2求解過(guò)程中，第三個(gè)變量 x₃ 的取值范圍無(wú)窮，但經(jīng)過(guò)分析都是有限定范圍的，如果按照限定范圍計(jì)算，計(jì)算量如何？

結(jié)果分析：?jiǎn)栴}1回答，變量 x₁ 的取值范圍如果不是奇數(shù)，計(jì)算結(jié)果不變，但計(jì)算量會(huì)增加。問(wèn)題2回答，若取值限定范圍，計(jì)算量增加。經(jīng)過(guò)分析，只有當(dāng)系數(shù)大的時(shí)候，即 x₃ 的取值為限定，其余取值范圍為無(wú)窮，這種情形下的計(jì)算量最小。

通過(guò)討論，培養(yǎng)研究生合作精神，辯證思維能力和創(chuàng)新能力。大多數(shù)情況下問(wèn)題會(huì)有不同的求解方法，但不同的求解方法，對(duì)應(yīng)的計(jì)算量以及計(jì)算效率是有區(qū)別的。因此，應(yīng)該采用最優(yōu)的求解方法，即“擇優(yōu)而行”。通過(guò)啟發(fā)式對(duì)“一題多解\"問(wèn)題進(jìn)行講解，培養(yǎng)了研究生的創(chuàng)新能力，同時(shí)體現(xiàn)出組合數(shù)學(xué)課程在培養(yǎng)研究生科學(xué)思維意識(shí)和創(chuàng)新能力的優(yōu)勢(shì)

3教學(xué)效果評(píng)估

運(yùn)用學(xué)堂云SPOC和雨課堂智慧教學(xué)工具，加強(qiáng)師生、生生間的多維互動(dòng)，讓課堂活起來(lái)。實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂，激發(fā)了研究生學(xué)習(xí)興趣，提高了研究生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查， 97% 的同學(xué)認(rèn)為翻轉(zhuǎn)課堂模式提高了學(xué)習(xí)效果，如圖3所示。

學(xué)生們紛紛表示，通過(guò)微課視頻學(xué)習(xí)和課堂上教師的講解，不僅掌握了常生成函數(shù)在求解不定方程中的作用，而且通過(guò)不同形式生成函數(shù)對(duì)方程求解難易程度的影響，進(jìn)一步地體會(huì)到創(chuàng)新的重要性，學(xué)生們認(rèn)識(shí)到研究生階段的學(xué)術(shù)研究不能總是簡(jiǎn)單重復(fù)前人工作，而應(yīng)具有實(shí)質(zhì)性的創(chuàng)新。創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力，是推動(dòng)人類社會(huì)向前發(fā)展的重要力量。

（二） 教學(xué)案例二

1教學(xué)目標(biāo)及案例內(nèi)容

知識(shí)目標(biāo)：理解命中多項(xiàng)式概念；能力目標(biāo)：掌握命中多項(xiàng)式的計(jì)算；素質(zhì)目標(biāo)：將中醫(yī)藥文化融入教育中，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和文化自信心。

案例內(nèi)容選?。褐嗅t(yī)藥作為中國(guó)古老的醫(yī)學(xué)體系之一，代表了中國(guó)數(shù)千年的智慧和文化傳統(tǒng)。中藥的傳播和應(yīng)用，為世界各國(guó)提供了對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的了解和認(rèn)知，促進(jìn)了文化的多元發(fā)展和交流。中藥藥材是中醫(yī)藥治療的基礎(chǔ)，它們不僅具有治療作用，還對(duì)世界經(jīng)濟(jì)和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。某中藥廠用5種中草藥（A、B、C、D、E）依據(jù)不同比例配制成了5種藥（1、2、3、4、5），其中，1號(hào)藥不含成分A和B，2號(hào)藥不含成分B和C，3號(hào)藥不含成分E，4號(hào)藥不含成分D和E，5號(hào)藥不含成分C和D，問(wèn)可以配置多少種藥？

2案例呈現(xiàn)形式及教學(xué)過(guò)程

1）案例呈現(xiàn)形式：采用雨課件、啟發(fā)式教學(xué)，雨課堂直播為主教學(xué)手段，深入淺出地分析其中原理及思政要點(diǎn)。

2）教學(xué)實(shí)施過(guò)程： ① 車多項(xiàng)式回顧和有禁位的排列。通過(guò)車多項(xiàng)式的練習(xí)題，達(dá)到溫故而知新，為引出命中多項(xiàng)式做鋪墊。接下來(lái)介紹有禁位的排列：規(guī)定某些元素不能排在某些位置上的排列問(wèn)題稱為有禁位排列。通過(guò)分析將有禁位的排列問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化為帶有禁格棋盤的多項(xiàng)式的計(jì)算，這樣的處理方式形象直觀。 ② 命中多項(xiàng)式。首先給出命中多項(xiàng)式的概念，即給定一個(gè)帶有禁格的棋盤，使得恰有固定個(gè)數(shù)車落在禁格上的好布局?jǐn)?shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)。簡(jiǎn)要說(shuō)明命中多項(xiàng)式求解方法的推導(dǎo)過(guò)程，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)容斥原理在其中的作用。接著討論：車多項(xiàng)式和命中多項(xiàng)式的聯(lián)系和區(qū)別。

通過(guò)上面的討論分析后，引導(dǎo)學(xué)生分析中草藥不同比例配制藥的問(wèn)題，最終將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如圖4所示的帶有禁格棋盤的命中多項(xiàng)式的計(jì)算，形象巧妙地處理了這類問(wèn)題。

通過(guò)中草藥配置問(wèn)題，將其巧妙地轉(zhuǎn)化為帶有禁格棋盤的命中多項(xiàng)式的求解。讓同學(xué)體會(huì)問(wèn)題處理方式的獨(dú)特性，提高將實(shí)際問(wèn)題抽象為命中多項(xiàng)式問(wèn)題的能力，感受組合數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的技巧。同時(shí)讓學(xué)生們深刻認(rèn)識(shí)到中醫(yī)是中華文化的瑰寶，中草藥是中國(guó)對(duì)世界醫(yī)學(xué)的重要貢獻(xiàn)。

3教學(xué)效果評(píng)估

學(xué)生們對(duì)引入中草藥配置問(wèn)題來(lái)講解有禁位排列和命中多項(xiàng)式方法表示很新穎、有趣。以往覺(jué)得抽象復(fù)雜的組合數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)與熟悉又極具民族文化特色的中草藥配置相結(jié)合，變得更容易理解和接受，不再覺(jué)得枯燥。學(xué)生們不僅學(xué)到了專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還深入了解到中草藥配置背后蘊(yùn)含的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。

通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，如圖5所示， 97% 的同學(xué)深刻認(rèn)識(shí)到我國(guó)傳統(tǒng)中醫(yī)藥文化的博大精深，切實(shí)增強(qiáng)了民族自豪感，收獲了知識(shí)與情感的雙重體驗(yàn)。課堂上思維活躍度良好，進(jìn)一步體現(xiàn)出思政融入課程的方式得到了學(xué)生的認(rèn)可，鍛煉了學(xué)生應(yīng)用命中多項(xiàng)式解決實(shí)際問(wèn)題的能力，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，也側(cè)面反映出思政教育目標(biāo)在一定程度上得以實(shí)現(xiàn)。

三 結(jié)束語(yǔ)

在組合數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)過(guò)程中，以立德樹人為中心，構(gòu)建知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)和育人目標(biāo)，從組合之美、組合之妙、組合之情和組合之思層面開展課程思政，采用 MOOC+SPOC+ 雨課堂直播的教學(xué)手段，形成了行之有效的模式，歸納為“1343\"課程思政教學(xué)模式。教學(xué)實(shí)踐表明， 93% 的同學(xué)認(rèn)為在提升團(tuán)隊(duì)合作、辯證思維、創(chuàng)新意識(shí)和民族自豪感等方面具有非常大的幫助，取得了良好的效果。在本學(xué)期的 MOOC+ SPOC+ 雨課堂直播智慧教學(xué)模式中， 91% 的同學(xué)認(rèn)為較好地掌握了組合數(shù)學(xué)內(nèi)容。今后，課程團(tuán)隊(duì)將聯(lián)合其他院校，共同探索課程思政聯(lián)盟建設(shè)。

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