基于數學表達的高中數學解題書寫能力內涵與實踐路徑

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》以培養學生數學核心素養為導向，讓學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界[1]，規范的數學解題書寫能力是其表征之一，能否恰當、準確、有邏輯地書寫解題過程體現了學生思維能力和核心素養的高低，學會正確、合理地使用數學書面語言是學生學習數學的一項基本而重要的任務[2].調查發現，現實中學生解題書寫能力較弱情況存在，并與教師教學理念和行為關聯[3-4]，為此，須進一步探究解題書寫能力的內涵本質并完善實踐路徑.

1背景意義

培養學生解題書寫能力伴隨著學生學習和教師教學的過程始終，與學業成績密切相關.學生解題書寫能力是教學評價維度之一，多個研究實踐案例表明，數學解題書寫與學業成績呈顯著性較高的相關關系，書寫水平的高低會影響學生學業成績[3，4，6]，受高考評價導向作用影響，重視學生規范書寫能力已成為教學常識，提高學生數學解題書寫能力具有較強的現實意義.

培養學生解題書寫能力可在提高學生思維能力與學科素養同時實現學科育人.語言是思維的外衣，書寫是思維表達的工具之一，數學解題過程是邏輯推理、數學運算等核心素養的外顯載體.規范的書面表達可以培養學生嚴謹求實的科學態度，形成重論據、有條理、合乎邏輯思維品質和理性精神，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，實現課程標準要求的學科育人目的[1].

2 現狀分析

為尋找針對性解決措施，必須厘清現實中存在的問題，可以從師、生兩個角度分析.

學生解題書寫過程中出現的“癥狀”林林總總，因學生個體差異而不同.現實中常見以下幾個方面：一是數學語言綜合應用能力差，比如缺少文字說明、詞不達意、數學符號使用錯誤混亂、數學圖形不準確、未知量表述不清等[3]；二是邏輯鏈條斷裂、條理性差，比如漏步、跳步、重結論輕過程、不寫關鍵公式、定理與變形過程、不出現條件應用、書寫順序隨心所欲等；三是書寫不規范、布局沒計劃，比如胡涂亂抹嚴重、字體忽大忽小、邊界感差、表述冗余不簡潔等；四是態度不端正，比如書寫解題無關內容嘩眾取寵、字跡潦草難以辨識、亂寫胡寫錯誤引導等等.

從教師角度分析，存在示范不足、要求不嚴、途徑單一、缺乏指導等情況[4].常見以下狀況，教師的刷題教學擠占了學生有效學習時間，導致學生對規范解題失去自我要求，改變學生長期錯誤的書寫習慣變得更為困難；教師過度關注解法和答案正誤，對解題過程重視不足，對學生放松要求；傳統板書少、多媒體展示多影響學生對規范解題的重視與書寫方法理解；教師缺乏對學生進行有效、詳盡的學法指導和針對性分析評價等等.

3 本質探究

3.1數學解題書寫能力是一種綜合素養

數學語言是數學思維的載體，也是數學交流的工具.按照教育心理學的觀點，解題過程就是以思維為主導、以題目為定向的高級心理活動過程，學生形成良好的數學解題能力必須做到能用數學語言準確表達自己的思維活動過程，并做到表述規范[5]，這是針對于解題者自身的要求.然而，數學又不僅僅是思維上推理和演算的工具，還是表達和交流的語言，我們知道，語言交流具有對象感.事實上，數學解題書寫過程也是解題者與閱讀者的一個思想交流、思維碰撞的過程，規范的書寫可以幫助閱讀者正確、迅速、高效的理解題者表述的方法內容本質.

數學解題書寫能力是指將自己解決數學問題的觀點、思想、方法、過程等用恰當的數學書面語言準確流暢地表達出來的能力[5].數學是由問題構成的，按照問題解決論的觀點，數學解題書寫過程是數學問題分析解決的書面表達過程，體現數學知識、數學方法、數學思想、數學技能的運用，反應學生思維和問題解決水平，通過對書寫過程反思也可以幫助學生發現提出數學問題，并且數學解題書寫過程評價體現學生個性品質和審美觀念.因此，高中數學解題書寫能力可以實現學生數學知識、思維能力與品格涵養的融合，是學生的一種綜合數學素養.

3.2數學解題書寫能力的四個特征屬性

把語言表達的要求與數學學科特點相結合，數學解題書寫能力具有正確性、邏輯性、規范性與簡潔性特征[4]，分析其本質內涵得到屬性特點，如下表1.

表1數學解題書寫能力特征屬性分類表

數學解題書寫能力的正確性是語言表達基礎原則和根本保證；邏輯性是學生解題書寫能力高低的核心特征，這是實踐案例分析的結果[7；簡潔性是學生解題書寫能力的高階要求；規范性是外在表征，體現審美與態度，我們常說的規范解題書寫能力是上面四個性質的總和.

4 實踐路徑

把握數學解題書寫能力內涵和四個原則屬性，針對教學中師生存在問題，按照“教一學一評”一致性要求，得到如下培養學生解題書寫能力實踐路徑.

4.1 示范引領

學生數學解題書寫能力的培養從教師的示范引領開始，這是普遍共識，也是我們傳統教學優勢所在.教學中的示范引領可以分為兩個方面.

首先是教師的課堂例題教學示范．對學生來說，解題過程書寫是從模仿教師行為開始的，受教師長期的、潛移默化的影響和嚴格的要求，逐漸領悟書寫要領，所以教師在課堂上必須有規范的解題書寫示范.教師可以抓住契機對解題書寫過程進行剖析：書寫過程可以劃分為幾個部分？每個部分的功能是什么？為什么寫這個部分？為什么這么寫這一步？這么寫有什么好處？不寫這一步會出現什么問題？為什么這樣安排步驟？為什么用這個詞語連結？等等，這樣外顯的解釋可以加速學生對解題書寫能力的理解，又可以加深學生對知識、方法的理解和運用.

其次是教師組織的教學引領行為.一線教師在此積累了豐富的經驗，比如：課堂教學中的學生現場展示、優秀作業與試卷的展評、課堂教學中的生生互評和同伴互助，等等，實現情感激勵，引起共情，引領學生向完整的、規范的、優秀的解題書寫邁進.

教師要強化示范引領作用.目前高考重視學生思維過程的考查，“反套路，反刷題”，這要求教師樹立正確的教學理念，重視數學解題過程剖析與示范，加強傳統板書的書寫，引領學生通過規范解題提高邏輯思維能力，達到提高學生學業成績目的.

4.2 學法指導

當前對學生規范解題書寫能力培養最缺少的就是學法指導.對此，可以根據內容和學段，針對學生實際短板，適時開展專題學習、主題研究等，并貫穿在常規教學活動始終.

4.2.1 寫什么

（1）條件怎么用的要寫出來.

數學解題過程本質是利用條件推出結論的過程，也是尋找條件與結論關系的過程，所以書面表達解題過程必須體現條件的運用過程.如果條件怎么用不書寫，就無法體現學生表達結論的知識與思維來源，容易造成邏輯混亂、書寫無序.事實上，由條件出發的書寫方式，也有助于學生厘清解題思路，特別是解題遇阻時，可以分析哪些條件沒用到或者運用不充分，或可發現解題的方向.從另一個角度講，解題的本質就是逐個利用或綜合利用條件的過程.

（2）重要的公式與定理要寫出來，

如果說條件是“材料”、結論是“成品”的話，那么處理的“工具”就是數學上的公式和定理，因此數學解題過程的一個重要特征就是不斷的利用公式和定理進行推理和運算的過程，也就是俗語所說的“有理有據”.比如在解三角形時，先寫出余弦定理 a²= b²+c²-2bccosA ，然后再代人數字計算和推理；又如立體幾何中計算三棱錐體積時，先寫出公式形式 ，然后再運算，等等.因此，對形成解題思路、探尋解題結果產生重大作用的公式和定理，要旗幟鮮明地在題目中呈現.

（3）關鍵的變形過程要寫出來.

數學解題過程是一個不斷推理和計算的過程，需要對于數學表達式變形推導或者圖形進行分析補充，有時還需要采取特殊的處理技巧和方法，而這樣的演算過程如果不寫出來，閱讀者就不可能理解推理的緣由，因此必須把這樣的關鍵變形推演過程在解題中呈現出來.比如利用橢圓定義推導橢圓標準方程時，對 要寫出 平方得 ，再平方得， （a²-c²）x² ，此題若不寫出“移項，平方”，則結論就沒有邏輯論證基礎

（4）出現的符號、圖形要說明白.

數學解題過程中，因為推理和驗算的需要，有時需要對題目中的圖形進行補充或者引入新的變量，也就是常說的作輔助線和設輔助量，這些相對于原題的未知元素身份，必須給以介紹和闡述清楚.比如上面的橢圓標準推導過程中，令 b²=a²-c² ，才可以得到 ;又如立體幾何中引入空間坐標系，必須介紹原點 σ_{O，x，y，z} 軸準確位置和理由，等等.

（5）答案、結論要明確清晰表達

根據邏輯上三段論的形式：大前提、小前提、結論，數學解題過程是不斷獲得結論，并根據結論再獲得新結論的過程，因此數學解題的中的每一個結論都要被準確、清晰地表達出來.一方面從應試角度分析，學生可以獲得相應的步驟得分；另一個方面也給學生檢查、反思提供了依據.比如學生經常要進行分類討論解決數學問題，此時對解題總的答案要分類明確并一一寫出，這樣可以避免漏掉某種類型，從而提高解題正確率.

4.2.2 怎么寫

（1）邏輯順序的要求.

按照邏輯順序分類，一般的書寫過程可以分為“執因索果”的綜合法與“執果索因”的分析法兩種形式，前者是主流，并且一般兩種形式不混用，否則容易造成表達混亂，特別是運用分析法證明問題時要嚴格按照“要證、只需證”的形式進行.如果因為題目復雜，的確需要兩種類型都用時，需要特別進行表明.比如在綜合法論證某問題時，中間某部分需要利用分析法，就可以直接寫出“下面先運用分析法論證某結論”進行獨立表達.高中數學解題過程還是綜合法的論證演算為主，實現“步步為營，井然有序”，不會產生跳步和漏步，也可把分析法轉化為綜合法書寫.對于反證法這樣的特殊論證方法，必須嚴格符合格式要求.

（2）語言表達的要求.

數學解題過程是利用數學語言表達推理驗算解決問題的過程，通常有三種語言表達方式一文字語言、符號語言、圖形語言，三種語言表達方式各有要求.

文字語言簡潔、明確.盡管數學提倡符號化、簡潔化，但是沒有語言敘述的純符號、字母運算在高中數學解題中幾乎不存在.有了語言文字的連接，會使解題敘述表達更充分、更明確，因此解題過程中文字語言必不可少.在教學中發現，不能被恰當表達的解題過程，往往混亂且難以讀懂.要培養學生善于運用簡潔文字語言表達思維，特別注意邏輯連接詞的使用場景.同時，提醒學生注意書面語言和口語的差異化.

符號語言規范、準確.一方面要善于利用邏輯連接符號表達，比如熟練掌握常見的“··，， ?，? ， ，”這些符號要規范使用；另一個方面要準確使用數學中的專有符號，如“ ， ? ，U，∩”等等的使用絕不可亂用和錯用，這也是表達正確性的要求

圖形語言直觀、清晰.數學是研究數與形的一門學科，數形結合是處理數學問題的重要思想方法，是學生直觀思維能力與邏輯思維能力的體現.表述解決數學問題的過程中，為論證說理更直觀，需要結合題目所需的圖形來呈現.這里的圖形分為較為準確的標準圖形和為分析需要而畫的草圖、示意圖，解題做出的圖形要保證正確、清晰美觀、盡量精確，否則會給解題帶來麻煩甚至帶人誤區，我們經常遇到學生因作圖不規范而造成解題失誤的情形.

三種語言綜合使用、合理運用，才使得解題過程書寫自然流暢、富有美感.

（3）規范布局的要求.

布局有設計.學生數學素養能力的高低也會體現版面安排設計上.每一道數學題目的解題過程都是不同的，篇幅的長短變化也不相同，不同學生由于數學解題實踐經驗和技能的積累層次不一致，對于解題過程的版面設計和書寫規劃會有不同的預設，比如，書寫是否分欄；圖形大小及安排的位置；行距和左右邊距的控制等等.學生必須根據已有的經驗，合理安排文字、圖形、符號的位置與大小，形成美觀并錯落有致的布局，改掉隨心所欲的解題書寫壞習慣.

書寫要清晰.學生個體文字符號書寫能力存在很大差異，盡管期望學生書寫過程漂亮美麗，事實上卻不能要求全部學生做到這一點，但是必須讓學生做到書寫正確清晰.字體可以不漂亮，但是要保證解題過程中字跡工整、字體大小盡可能一致，讓閱讀者可以看得清、認得準，形成橫成行、豎成列的良好書寫習慣.

修改要有序.解題過程中不可避免的要出現書寫錯誤、計算錯誤或者進入誤區，需要及時修訂錯誤或者改變解題進程，學生錯誤的方法是重筆墨涂改（現在考試中也很少允許涂改液修改卷面）造成卷面失調，而應該是用筆一筆畫掉或者圈掉錯誤部分，重新書寫正確部分即可，這樣整個解題過程依然是美觀協調、干凈整潔，要堅決改正胡涂亂抹的錯誤習慣.

4.2.3 什么可不寫

解題過程要追求簡潔，就必須讓學生明確哪些內容可以少寫或者不寫.根據一般的經驗及閱卷的一般要求，以下內容可以少寫或不寫.

首先，小學或者初中等內容可以不寫詳細過程，可直接寫出結論.比如知道三角形三個邊長，可以直接得出直角三角形的結論，而不需要點明是由勾股定理得；三角形相似直接得到邊長比例關系；解二元一次方程組直接得到解而不需要寫計算過程，等等.

其次，具體的數字運算過程或者簡單的字母運算變形可以不寫；比如上面由 平方得 的具體運算過程可以不寫；又如解析幾何中聯立直線方程和二次曲線方程消元得到一元二次方程中，具體消元、合并過程可以不寫，等等.

當然，這些不出現的過程是在打草紙上具體實現的.要始終把握這樣的原則，不寫的內容不會對解題過程的完整性、正確性產生破壞，讓閱讀者不會產生理解困難和出現思維疑惑

4.2.4 什么不能寫

要本著力所能及的原則，會多少寫多少，無用的步驟甚至借題發揮的絕不寫，否則，會讓閱讀者對解題者能力和態度產生懷疑與質疑.一線教師在批閱作業和試卷過程中，總會遇到“啼笑皆非”的解答，出現與題目無關的“借景生情”，可謂“滿紙荒唐言，一把辛酸淚”.一定要告誡學生與解題無關的內容不要寫，要把精力放在題目研究上，保持實事求是的解題態度和踏踏實實的作風，這也是文化育人要求的一部分.

4.3 評價糾正

根據解題書寫能力的四個原則要求，教師針對學生解題書寫過程中出現的問題，要進行針對性分析和及時反饋，并給與指導糾正，通過嚴格要求與實踐落實，提高學生解題書寫的嚴謹性、規范性，這是一個長期的、持久的過程.結合教學實際，有以下兩種的評價糾正范式.

（1）傳統的評價糾正模式：在實踐中，教師主要通過課堂教學中的師生互動語言評價和作業、試卷批閱中的書面評價實現糾正；采用的方式是普遍問題的統一講評糾正與個性化的單獨點評、面批糾正相結合；組織形式為教師評價糾正、同伴評價糾正、自我評價糾正.傳統模式的優點是直接、有效，是一線教師培養學生解題書寫能力采用的主要途徑，缺點就是有時不能關注學生個性化需求、效率低.

（2）信息化的評價糾正模式：隨著信息技術的飛速發展，人工智能與大數據分析技術迅速融人教育教學活動，給對學生個性化分析糾正帶來便利.例如，根據標準化賦分量表，統計分析學生個體和團體解題書寫得分變化規律，推斷其糾正成效，并提出針對性教學調整方案；基于大數據分析學生邏輯連接詞的使用頻率，推斷學生書寫邏輯性的變化趨勢；掃描識別學生作業語言，利用人工智能進行語言特點分析，給出糾正建議等等.信息技術使用具有科學、高效的特點，創新使用信息技術，推進解題書寫過程的輔助教學，會促進教學生態改變，將是今后實踐與研究的一個重要話題

綜上，高中數學解題書寫能力是用準確的數學文字語言、直觀的圖形語言、形式化的符號語言，以及多種語言形式的互通互譯來表征推理過程實現問題解決的能力[7]，是學生綜合數學素養的體現.強化教師示范引領、重視學法指導、創新評價糾正模式是提升學生解題書寫能力的有效路徑.提高學生解題書寫能力，可提高學生學業成績，促進學生邏輯思維能力發展，全面提升數學核心素養，實現數學文化育人目標.

參考文獻

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[3]羅倩.高中生數學解題規范性錯誤的調查及對策研究[D].武漢：華中師范大學，2024.

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[5]曹一鳴，張生春，王振平.數學教學論：第二版[M].北京：北京師范大學出版社，2017.

[6]閆華，鄧婷婷.數學書寫與數學解題成績間的相關性研究：以“集合”為例［J].遼寧師專學報（自然科學版），2022，24（3） ：1-7.

[7]王國才，陳靈.“五理”并舉促進數學關鍵能力發展［J].人民教育，2022，（Z3）：104-105.

作者簡介劉景武（1976一），男，山東臨沂人，中學高級教師；研究方向為高中數學教學與高考；有多篇論文發表.