基于數學實驗改進高中數學教學方式的探討

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0005-05引用格式：.基于數學實驗改進高中數學教學方式的探討[J].中國數學教育（高中版），2025（6）：5-8，24.

一、問題提出

著名數學家和數學教育家喬治·波利亞曾說，數學有兩個側面：一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面來看，數學像是一門系統的演繹科學；另一方面，創造過程中的數學看起來卻像一門實驗性的歸納科學．歐拉也曾說過，數學這門學科需要觀察，還需要實驗．數學實驗是一種實驗活動，但它與化學、物理、生物學、醫學等學科的實驗不同，數學學科的性質決定了數學實驗包含豐富的思維特征，2019年，《教育部關于加強和改進中小學實驗教學的意見》指出，實驗教學是國家課程方案和課程標準規定的重要教學內容，是培養創新人才的重要途徑，并提出由教育部制訂中小學實驗教學基本目錄.2023年，在教育部基礎教育司的指導下，教育部教育技術與資源發展中心（中央電化教育館）組織研制并發布了《中小學實驗教學基本目錄（2023年版）》，明確了數學實驗的內容和路徑．本文旨在探討在教學過程中如何將數學實驗中的歸納思維與高中數學教學中的演繹思維相結合，通過改進高中數學教學方式，提高學生發現和解決問題的能力，發展學生的數學核心素養.

二、數學實驗的內涵

20世紀70年代，數學實驗開始受到人們的重視.1997年，施普林格出版社出版了教材LaboratoriesinMathematicalExperimentation，其中提出了數學實驗的概念．數學實驗是從若干實例出發，在計算機上做大量實驗，發現其中可能存在的規律，并提出猜想，然后進行證明和論證，體現了用歸納方法和實驗手段進行數學教育的思想方法.

數學實驗是以學生為主體，借助數學軟件，在教師輔助下解決實際問題的數學實踐活動．以學生為主體，就要求學生善于觀察、勤于思考，在教師的引導下動手操作，在不斷實踐嘗試中探索解決實際問題的方法；計算機可以快速進行大量復雜數據的計算、圖表的繪制、模擬試驗等，能夠發揮數學在解決其他學科問題和實際問題中的作用，使學生有更多時間思考，并在此基礎上進行創造和創新.

三、高中數學實驗的特征

高中數學實驗既屬于數學實驗范疇，又因其兼容教育的鮮明特征而具有特殊性，是數學知識和方法的再現過程．數學實驗以促進學生學習為主要自的，通過引導和啟發學生發現數學實驗中的規律，將數學實驗中的歸納思維與高中數學教學中的演繹思維相結合，提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，促進學生數學核心素養的發展．高中數學實驗的特殊性主要體現在以下四個方面.

1.教育性

高中數學實驗的核心目標是服務教育，旨在通過實驗活動促進學生對數學知識的理解和掌握，培養學生的數學思維能力和數學核心素養．區別于純粹的數學研究實驗，高中數學實驗更注重教學過程中的引導和啟發.

2.情境性

高中數學實驗強調通過模擬真實情境或創設情境，讓學生在具體環境中進行操作和探索．這種情境化設計有助于激發學生的學習興趣，增強數學知識與現實生活的聯系.

3.操作性

學生通過實際操作，體驗數學知識的形成過程，從而加深對抽象概念、定理、性質的理解和掌握.

4.思維性

高中數學實驗不僅要求學生動手操作，還注重學生的思維參與，學生需要在實驗過程中提出問題、分析問題并解決問題，培養學生的批判性思維和創造性思維.

四、開展高中數學實驗的流程

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的教學建議部分明確指出：“在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，不僅重視如何教，還重視如何學，引導學生會學數學，養成良好的學習習慣；要努力激發學生數學學習的興趣，促使更多的學生熱愛數學”在高中數學課堂教學中融入數學實驗，可以更大程度地調動學生的學習積極性，發揮學生的主體作用，使學生通過動手操作和思維活動參與知識的形成過程，完成對新知識的建構．數學實驗基本流程概括如下．

1.創設情境，明確實驗目的

創設情境是開展數學實驗的前提條件．教師根據教學內容和學生的實際情況，創設真實的情境或者數學的、科學的情境，激發學生的學習興趣和探究欲望．在創設情境的基礎上提出驅動性問題，明確實驗目的．問題應該符合學生的最近發展區，具有啟發性，且有一定的思維含量，能夠讓學生經過探究和思考解決.

2.問題引導，開展實驗探究

實驗探究是高中數學實驗的核心環節.教師根據實驗目的，將情境中的問題拆解成若干個階梯式子問題，引導學生開展實驗探究，讓學生體驗數學的再創造過程，培養學生的科學精神和創新意識．子問題的設計要能夠較清晰地呈現實驗的內容和關鍵環節．學生根據教師提出的問題開展探究性實驗活動，觀察實驗現象，記錄實驗數據，并對實驗結果進行初步分析和討論.

3.歸納猜想，提出實驗假設

歸納猜想是創造的前提，是數學實驗的關鍵環節．歸納猜想與實驗探究相互融合，沒有一定的先后順序，可以先提出猜想，然后通過實驗進行驗證或舉出反例，也可以在觀察實驗現象和收集實驗數據的基礎上，引導學生結合已有的知識儲備總結規律，提出實驗假設．在具體操作時，要根據實驗目的和實驗類型調整歸納猜想與實驗探究的順序.

4.推理論證，理解實驗結論

對于數學實驗歸納的規律，不能只說明其必然性，還需要對其進行推理論證，才能應用.尤其是與高中數學概念、定理、性質、公式相關的數學實驗，它是數學知識的再發現過程，需要從邏輯上讓學生明白其中的演繹推理過程，從而讓學生深刻理解實驗結論，并在已有的認知基礎上構建新的知識體系．因此，在經過觀察實驗現象、提出實驗假設后，教師需要引導學生從實驗歸納轉向演繹推理，

5.拓展延伸，應用實驗結果

拓展延伸環節，一方面，在學生完成實驗探究、提出實驗假設和理解實驗結論的基礎上，增強學生的應用意識；另一方面，對于科研工作者來說，有些數學實驗是通過檢驗指標來檢驗實驗效果的．在高中數學教學中，存在一些不需要推理論證的數學實驗．例如，數學建模中的數學實驗、概率中的隨機模擬試驗、統計中制作統計圖描述和分析數據等，這些內容的數學實驗需要在應用中不斷改進和完善.

在將數學實驗融入高中數學課堂教學時，對于不同的教學內容和實驗類型，實驗環節要進行靈活改變和調整.

五、數學實驗融入高中數學教學的案例

以人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊第五章“三角函數”中“兩角差的余弦公式”為例，該節課的教學目標為：經歷由三角函數的定義和圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式的過程；了解兩角差的余弦公式的意義；能夠利用兩角差的余弦公式求值，并證明誘導公式，發現知識之間的內在聯系，體會數形結合、轉化與化歸、特殊與一般等數學思想.

1.回顧舊知，明確公式探究方向

在該節課之前，學生已經學習了誘導公式，教師讓學生列舉幾個誘導公式，并以其中一個誘導公式為例，簡要回顧證明過程，即先在單位圓中作出公式中涉及的角，利用圓的對稱性尋找等量關系，然后結合三角函數的定義進行驗證.通過回顧利用單位圓中三角函數的定義和單位圓的特殊對稱性獲得誘導公式的過程，體會利用數形結合思想研究三角函數的一般路徑，為探究兩角差的余弦公式作準備．

教師引導學生觀察誘導公式，并讓學生描述誘導公式的結構，進而提出該節課需要研究的問題：如果把特殊角換為任意角 β ，那么任意角 α 與 β 的差的余弦與任意角 α ， β 的正弦、余弦是否有關系？有怎樣的關系？

2.開展探究，提出等量關系假設

在引出該節課的研究問題和探究方向后，教師用問題鏈引導學生開展探究活動.

如圖1，利用GeoGebra軟件在單位圓中作出角 α 、角 β 和角 α-β （角 α 與角 β 的終邊不重合），它們的始邊為 x 軸的非負半軸，且與單位圓交于點 A ，它們的終邊與單位圓分別交于點 P₁ ， A₁ ， P ：

圖1

實驗活動1：利用GeoGebra軟件拖動最上面的滑動條，將扇形 oAP 繞著點 o 旋轉 β 角，如圖2所示，觀察其中有哪些等量關系.

圖2

在扇形 OAP 的旋轉過程中，學生能夠直觀感受圓的旋轉對稱性．將扇形 OAP 繞著點 o 旋轉 β 角后，扇形 OAP 與扇形 OA₁P₁ 重合，即點 A ， P 分別與點 A₁ ，P₁ 重合， 與 重合，從而得到 .所以對應的弦長相等，即 AP=A₁P₁

實驗活動2：利用GeoGebra軟件改變角 α 和角 β 終邊的位置（兩角差的大小不變），觀察當角的終邊位置改變時，等量關系 AP=A₁P₁ 是否發生變化.

拖動滑動條，可以改變角 α 和角 β 終邊的位置學生可以觀察到角 α 和角 β 的終邊在坐標系中任意位置時的不同情況．在改變角終邊位置的過程中，選取兩種情況，如圖3和圖4所示.

圖3

圖4

在圖3中，角 α 的終邊在第三象限，角 β 的終邊在第二象限，則 αgt;β ， AP=A₁P₁=1.23 ；在圖4中，角 α 的終邊在第一象限，角 β 的終邊在第二象限，則αlt;β ，此時 AP=A₁P₁=1.58

改變角 α 和角 β 終邊的位置，弦 AP 和 A₁P₁ 的長度在數值上始終相等，從而提出實驗假設：無論角 α 和角 β 終邊的位置如何，總有 AP=A₁P₁

3.推理論證，得出兩角差的余弦公式針對提出的實驗假設，學生思考以下問題.

問題1：根據圓的旋轉對稱性，你能解釋為什么弦 AP 與 A₁P₁ 始終相等嗎？

問題2：利用三角函數的定義，你能寫出點 P₁ ，A₁ ， P 的坐標嗎？當改變角 α 和角 β 終邊的位置時，交點坐標是否發生改變？

問題3：利用 AP=A₁P₁ ，你能否推導出兩角差的余弦公式？

問題4：當角 α 與角 β 的終邊重合時，上述結論成立嗎？

在這一環節中，用問題鏈引導學生的思維活動，推導出兩角差的余弦公式，讓學生從邏輯上明晰其中的演繹推理過程，從而深刻理解實驗結論.

首先，根據圓的旋轉對稱性，驗證實驗假設．根據三角函數的定義，無論角 α 和角 β 終邊的位置如何改變，點 P₁ 的坐標總可以表示為 （cosα，sinα） ，點 A₁ 的坐標總可以表示為 （cosβ，sinβ） ，點 P 的坐標總可以表示為 （cos（α-β） ， sin（α-β）） ．然后利用兩點間的距離公式推導出兩角差的余弦公式 cos（α-β）=cosαcosβ+ sinαsinβ ．最后，通過驗證“當 α=2kπ+β（β∈Z） 時上述結論仍然成立”完善探究過程，體現了數學的嚴謹性.

4.拓展延伸，體驗公式應用

在獲得實驗結論后，通過以下題目檢測學生對實驗結論的掌握情況，以及學生是否理解實驗結論并能夠遷移應用.

（1）利用兩角差的余弦公式證明 和 cos（π-α）=-cosα.

通過利用兩角差的余弦公式證明誘導公式，學生能夠初步掌握公式的結構和用法，并體會知識之間的聯系.

（2）已知 β 是第三象限角，求 cos（α-β） 的值.

（3）利用兩角差的余弦公式求 cos50^°cos20^°+ sin50^°sin20^° 的值.

通過公式的正用、逆用，從不同角度檢驗學生是否能夠靈活應用公式．根據學生的反饋情況，反思實驗目標是否達成，以及下一步如何優化、改進實驗過程.

六、結語

數學實驗融入高中數學教學的方式是：以學生為主體，以問題為載體，以思維為主線．通過經歷情境化探究活動，將抽象的數學知識轉化為可操作的認知體驗．有效利用數學實驗改進高中數學教學方式，啟發學生發現數學實驗中的規律并提出猜想，然后進行證明和論證.這種做法不僅與新課程改革“重過程、重應用”的理念相契合，還可以提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，發展學生的數學核心素養，為學生的終身學習奠定基礎.

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