引言為燈，觀念指路，圓來搭橋，素養自得

單元教學，是教師對具有同“根\"同“源”屬性的對象與內容進行整合研究的一種教學方式。它旨在構建起具有知識整體性、思想一致性和方法延續性的學習單元，是將課程標準和教材內容有效落實到課堂教學中的關鍵橋梁。通過單元教學，教師能夠從宏觀視角把握課程，深度揭示數學知識的本質內涵。在實施單元教學時，教師需依據學生的認知特點，精心設計契合學生實際的學習路徑，引導學生進行邏輯性思考與系統性研究，逐步積累思維經驗，進而實現核心素養的培育與發展。本文將以人教A版高中數學新教材必修第一冊第五章三角函數為例，深人探討單元教學的思路與實踐。

一、著眼全局，樹立觀念

（一）從數學發展視角看：與時俱進的函數思想

三角學起源于生活，最初主要用于確定方向和計算距離。在17世紀以前，三角學側重于計算，是常量數學的核心內容之一，其首要任務是制作三角函數表，而三角恒等變形在制表過程中扮演了極為關鍵的角色，備受關注。然而，隨著微積分和解析幾何的蓬勃發展，變量數學在數學領域的地位日益重要，三角學的受重視程度有所下降。后來，無窮級數的引入為三角函數帶來了新的發展契機。18世紀中葉，歐拉（Euler）將三角函數定義為線段的比值，使得三角函數與圖形建立了緊密聯系。到了19世紀，解析幾何占據主導地位，主流的函數思想達到鼎盛。計算機發明后，三角函數表的制作變得極為簡便，三角公式的重要性相對降低，三角恒等變形逐漸退居次要位置。但三角函數依然順應時代潮流，不斷發展，擺脫了靜態的固有模式，以動態函數的全新面貌融入各個領域，尤其在描述自然和生活中的振動、波動及各種周期性現象時表現卓越。因此，在現代數學中，三角函數需與主流函數思想緊密接軌。

（二）從課程標準視角看：謀局布勢的運動思想

課程標準明確指出三角函數是一類最典型的周期函數，凸顯了周期性這一本質屬性。新課標自始至終借助單位圓對三角函數概念進行抽象概括。實際上，三角函數從誕生之初就與圓緊密相連，圓可謂是其根源。為突出這一特殊屬性，教材編寫者進行了精心設計。其一，章頭圖起到拋磚引玉的作用。從數學發展史來看，三角函數起源于圓周運動，例如章頭圖中的“月相變化”與天體運動相關，天體做周期性的勻速旋轉運動，可抽象為點在圓上繞圓心做勻速圓周運動，旋轉一周后相對于起點的位置周而復始，角的旋轉特性在圓中得以充分體現。而三角函數作為角的函數，在直角坐標系中，只需考慮角的終邊，借助單位圓能直觀地觀察到角旋轉一周后繼續旋轉時，終邊位置的周期性變化，教材通過這種方式從一開始就引導學生形成正確的思維路徑。其二，預備知識埋下伏筆。旋轉運動的本質是位置變化，涉及起始位置、終止位置及旋轉方向和大小等要素。為此，教材先將“角\"的概念擴充到“任意角”，還原了旋轉現象的本來面目，讓學生自然地觀察和體會角的擴充過程。

（三）從教材視角看：優化重構的建模思想

對比分析普通高中數學教科書2004版（以下簡稱“舊教材\"和2019新版（以下簡稱“新教材\"），可以得出幾點認識：

在教材編排方面，章節位置有所調整。“三角函數\"與“三角恒等變換\"在舊教材中分屬兩章，而新教材將其合并為一章，兩角差余弦公式依舊借助單位圓進行推導。

教材內容也發生了變化。新教材刪除了三角函數線，同時在\"函數 y=Asin（ωx+φ） \"這一章節增添了“勻速圓周運動的數學模型”，這明顯體現出對數學建模的重視。此外，內容順序也有所不同。“函數 y=Asin（ωx+φ） 的圖象”及“三角恒等變換”在新舊教材中的先后順序有別。新教材遵循函數“背景一概念一圖像與性質一應用\"的邏輯框架展開，以相似的研究思路探討不同數學對象，讓學生體會到盡管研究對象各異，但方法保持不變。通過不斷積累相同的問題思考經驗，學生能夠逐步形成自身的思維邏輯脈絡。

基于上述分析，在主流函數思想的引領下，教師應抓住本質，使“三角函數是刻畫周期性變化規律的一類最典型的周期函數模型\"這一單元核心觀念得以牢固確立。

二、整體架構，指向素養

（一）引言呈現概貌

引言是學生學習本章的燈塔。本章引言共有三段話。第一段，列舉了生活及其他學科中多種多樣的周期現象，彰顯了學習三角函數的必要性。第二段，提及學生已對一些特殊函數開展過研究，積累了一定的研究經驗，指明了本章的學習路徑。第三段，以直接的問題引出正文，明確點出了學習內容。這三段話傳達出教材編者的意圖，即以一脈相承的思想，引導學生探究新的研究對象。

（二）邏輯線指引教學

通過回顧已學的具體函數，明確了本章的學習路徑：從背景引入，到概念構建，再到圖象與性質的研究，最后是函數的應用。第5.1節是鋪墊內容；第5.2節聚焦概念；第5.3節由概念推導出一般性性質，涵蓋特殊角與任意角之間的運算；第5.4節借助定義與運算，深人探討三角函數的圖象和性質；第5.5節是關于任意角與任意角之間的運算，梳理了已學三角公式間的關系，為三角函數模型的應用提供了有力的運算支持，是第5.3節的延續；第5.6節中函數 y=Asin（ωx+φ） 的圖象可由 _y=sinx 通過變換得到，是第5.4節圖象研究的后續；第5.7節則是三角函數的應用環節。在整個學習過程中，蘊含著從個別到整體的思想，遵循循序漸進、階梯式上升的原則。

（三）單位圓串聯內容

人類最初接觸天體運動時，便認為其運行軌道是圓。圓作為源頭，是封閉圖形，具有豐富的對稱性。以單位圓主導研究過程，既能延續歷史，又能凸顯本質，化繁為簡，取得事半功倍的效果。概念的抽象過程直接針對單位圓中角與點坐標的對應關系展開，三角函數在單位圓中得以定義和研究，并順利利用單位圓的軸對稱與原點對稱圖形直觀性，推導出兩角差余弦公式（借助其旋轉變換不變性）。在研究完圖象性質后，又回歸生活去刻畫圓周運動。單位圓如同橋梁，打通了各小節知識的脈絡，將各節內容串聯成一個整體，實現以形助數、以數論形。

（四）函數模型推動素養

現實世界中，水車、摩天輪、潮起潮落等，這些現象是已學函數難以刻畫的。結合已學的 y=sinx 的性質探討，同時拋出‘ 的圖象可用變換方法研究\"的問題。借助學生熟知的摩天輪，啟發學生學會類比，以類比思想進行研究。在最后一節，探討了三角函數與其他學科相關聯的問題以及實際應用，讓學生切實感受到三角函數在現實生活中的強大應用性。

三角函數是特殊的函數，在生活中的實際應用價值頗高，在建構活動時也具有重要價值。任意角定義和弧度制的引入，是為研究三角函數模型做準備，主要培養學生的抽象素養。在“三角函數概念和性質\"的研究階段，借助單位圓的對稱性搭建橋梁，簡單直觀，有助于培養學生的直觀想象素養；在應用階段，則主要培養學生數學抽象思維和數學建模素養。

三、精準設計，落實課堂

（一）通盤感知，因材分解

在單元教學中，單元以主題作為紐帶，為數學教學賦予了活力與張力。為提升教學的可操作性，在確保知識連貫性的前提下，可突破傳統課時的限制，重新規劃和組織教學內容，依據不同的“素材”，將教學內容拆解為若干小單元。以“三角函數”單元為例：

基于內容：可按照教材編排的順序進行分解。

基于方法：能夠細分為“換元法在三角函數中的運用\"\"單位圓中的三角運算\"\"三角函數性質在單位圓中的應用\"等。

基于素養：可拆解為“三角函數定義中的數學抽象素養\"\"三角函數應用中的數學建模素養\"\"誘導公式中的邏輯推理素養\"等。

不同的設計者有著各異的思路。接下來，我們將從立足章節引言出發，以大觀念為指引，探討如何組織和分解單元內容。基于前文對本章單元大觀念的分析，在教學實施過程中，可以借助子觀念來引領教學，使相應的單元內容與之精準對應：

圓周旋轉的刻畫：圓周上點的旋轉能夠借助圓心角大小的變化來描述。與之對應的單元內容為任意角和弧度制。通過對圓心角與點的旋轉關系的研究，為后續三角函數的學習奠定基礎，讓學生理解角的概念在三角函數體系中的重要性。

周期現象的模型構建：周期性重復的現象可以通過三角函數模型進行刻畫。對應的單元內容涵蓋三角函數的概念、誘導公式、三角函數的圖象和性質、三角恒等變換以及函數 y=Asin（ωx+φ） 的圖象和性質。這些內容系統地構建了三角函數模型，使學生能夠從多角度認識和運用三角函數來描述和分析各種周期現象。

解決周期問題的工具：三角函數模型是解決各類周期問題的有效工具。相應的單元內容為三角函數的應用。這一部分內容強調了三角函數的實用性，引導學生運用所學知識解決實際生活中涉及周期變化的問題，實現從理論到實踐的跨越。

在子觀念的指導下，單元的劃分應保持整章內容的完整性，不能因拆解而破壞知識體系的連貫性。單元目標的確立需依托教材內容，深人理解課程標準的要求，并在主問題的框架下設計支撐結構，將單元目標細致地分解到每一個課時當中，確保教學目標的有序實現和教學過程的系統性。

（二）聚焦課時，教學相融

數學學科具有整體性，擁有完整且循序漸進的知識結構。課堂教學是激發學生學習興趣、培養學習能力的重要平臺，而課時教學設計則是其中的關鍵要素。然而，常規教學常以單個課時為基礎，存在知識結構碎片化的問題。每節課的課堂教學活動應緊密圍繞核心概念展開，做好充分預設，順應學生思維發展，以增強課堂教學的效益和連貫性。教師應引導學生體會概念產生的必要性，嘗試表達概念抽象的過程，親身經歷概念生成環節，感受一般性的數學方法。因此，教師需深入理解教材、關注學情，以單元整體觀為指導，精準定位課時目標，精心設計教學流程，讓學生深度參與概念探究，在知識的發生發展過程中揭示其本質。

課時知識之間應體現關聯性。在章節起始課、中間課時以及章末復習課中，要以最核心的知識和方法為載體，展現這種關聯。例如，三角函數以單位圓為依托，借助其幾何直觀探究三角函數的周期性、單調性、奇偶性和最值等性質。在完成圖象和性質的研究后，為了讓三角函數更好地用于研究廣泛的周期性現象，便不再局限于單位圓，這使得知識之間形成了豐富的聯系。

課時方法之間應突出層次性。起始課應總覽全章，解決“為何學\"的問題；中間課時聚焦“怎樣學”，引導學生親身思考、探索，直面問題本質，積累數學經驗；復習課則著重完成“構建知識網絡”“形成數學思想\"等任務。如此，各課時之間便能形成邏輯連貫、層次分明的知識體系。

課時前后應能承上啟下。在進行課時設計時，設置恰當的呼應點以及適時、精準的問題，大膽地給予學生思考的時間和空間，讓學生在思考過程中暴露思維誤區，展現犯錯、糾錯以及優化思維的歷程，使學生在知識的發生發展過程中獲得參與感與成就感，進而實現有效教學。

為切實落實對學生核心素養的培養，教師在設計課時教學時應注重過程而非僅僅關注結果。從最簡單的問題入手，整合概念的發展過程與學生的認知過程，使教學簡明易懂，自然地引導學生主動探究，實現從舊知到新知、從無到有的轉化，讓學生從學會知識轉變為學會學習，促進教與學深度融合，讓數學教學充滿思想性。

正所謂“不謀全局者，不足謀一域”。教師只有從數學本質出發，挖掘簡單知識背后蘊含的思想，引導學生觀察、表達、思考，促進學生之間相互合作、合理質疑，才能使知識的背景、生成、應用及聯系自然且合理。要講究教學格局，關注細節，深入挖掘教材，立足引言，抓住知識主線，在大觀念的指引下，精心設計單元教學的各個環節，疏通知識脈絡，并將其切實落實到課堂教學中，讓學生在潛移默化中提升數學素養。

參考文獻：

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責任編輯：趙瀟晗