淺談函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在初中教材中，對一次、二次、反比例函數(shù)進(jìn)行了學(xué)習(xí)，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖像以及單調(diào)性、奇偶性、周期性）靈活應(yīng)用，不但要對二次函數(shù)再深入學(xué)習(xí)，而且還要研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等。顯然函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容。函數(shù)的思想也貫穿了整個高中，具有極其廣泛的應(yīng)用價值。下面主要就高中數(shù)學(xué)常遇的幾個方面入手，談?wù)労瘮?shù)在高中數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)的概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后又重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)----二次函數(shù)為例來重新認(rèn)識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應(yīng)，記為f（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）

這里我們可理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè)f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）

這個問題理解為，已知對應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

（1）" 配湊法：f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6

（2） 換元法：令t=x+1，則x=t-1" ∴f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6從而f（x）= x2－6x+6

二、進(jìn)一步深入領(lǐng)悟函數(shù)的思想方法

函數(shù)的思想方法就是按照RMI原則，把一個數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題，并利用函數(shù)的性質(zhì)研究、解決問題的一種解題思想方法。它的具體思維模式可用下表刻畫：

函數(shù)思想的最大的特點(diǎn)就是從變化、動態(tài)的觀點(diǎn)來認(rèn)識數(shù)學(xué)對象和它們的性質(zhì)之間的關(guān)系，這能夠更全面、深入地認(rèn)識事物的本質(zhì)，因此這種思想方法適應(yīng)性廣，可適用于數(shù)學(xué)的各分支，此類方法的一般步驟是：1、尋找等量關(guān)系求函數(shù)關(guān)系，2、尋找限制條件求定義域，3、由函數(shù)性質(zhì)解決相應(yīng)問題。

下面探討一下函數(shù)思想方法在以下幾個方面的應(yīng)用：

1、在比較大小中的應(yīng)用

對一些具備某種相同結(jié)構(gòu)的數(shù)值進(jìn)行大小比較，可通過構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)作函數(shù)值并利用函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。

例1、設(shè) ， ， ，試比較 ， ， 的大小。

思路分析：設(shè) ，利用導(dǎo)數(shù)可求 ， 單調(diào)遞增； ， 單調(diào)遞減。

因為 ， ， ，

所以 最大，又因為 ， ，所以 ， 所以

2、在最值（范圍）問題的應(yīng)用

此類題求解的基本方法是用函數(shù)來解決。

例2、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知（a＋b）（b－a）＝ab，且cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C." " "（1）證明：△ABC是直角三角形；" " " "（2）求 的取值范圍.

思路分析：（1）（略）（2）由（1）知B＝ ，所以sin C＝sin（ －A）＝cos A.

所以 ＝ ＝sin A＋cos A＝ sin（A＋ ）.

因為c＜b，所以ac＜ab＝c2，所以a＜c，" "所以0＜A＜ ，所以 ＜A＋ ＜ ，

所以1＜ sin（A＋ ）＜ ，" " "即 ＝ ＋1∈（2，1＋ ）.

3、在方程問題中的應(yīng)用

函數(shù)與方程有密切的聯(lián)系，可以說方程是函數(shù)的一個局部，而函數(shù)則包括方程的全部內(nèi)涵，因此用函數(shù)的思想方法解決方程問題往往是一種很有效的方法。

例3、方程2x＋3x＝k的解在[1，2）內(nèi)，則k的取值范圍為" " .

思路分析：令函數(shù)f（x）＝2x＋3x－k，則f（x）在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x＋3x＝k的解在（1，2）內(nèi)時，f（1）·f（2）＜0，解得5＜k＜10.當(dāng)f（1）＝0時，k＝5.綜上，k的取值范圍為[5，10）.

4、在不等式問題中的應(yīng)用

由于函數(shù)反映變量之間的相互關(guān)系，由它的整體性，自然可反映變量間的不等情況，因此，不等問題可看成函數(shù)問題的另一個局部。利用函數(shù)思想方法，能更深入了解不等式問題的本質(zhì)。

例4、若不等式ax2－x＋agt;0對任意的x∈（1，＋∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．

思路分析：當(dāng)a＝0時，原不等式可化為xlt;0，易知不合題意；

當(dāng)a≠0時，令f （x）＝ax2－x＋a，要滿足題意，需" "或

解得a≥ ，所以實數(shù)a的取值范圍是 .

函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，當(dāng)問題中涉及的一些關(guān)鍵量為變動的量時，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.如求某量的最值、范圍問題等.此類題有意識地凸顯其函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而用函數(shù)思想及函數(shù)方法研究、解決問題，不僅能獲得簡便的解法，而且能促進(jìn)科學(xué)思維的培養(yǎng)，提高發(fā)散思維的水平.