考慮空氣阻尼的扭擺法轉動慣量測量分析

中圖分類號：TH71 DOI：10.16579/j.issn.1001.9669.2025.08.015

0 引言

在航空航天領域，轉動慣量影響飛行器的運行軌跡和姿態，為飛行器的運動分析和控制系統設計[2]提供了重要依據。因此，精確測量轉動慣量具有重要的現實意義。

轉動慣量測量方法可以分為在線測量3]與離線測量兩類。航空航天制造領域主要使用離線測量法測量某一具體部件的轉動慣量，離線測量方法根據測量過程中待測部件的運動范圍可以分為3類：基于剛體定軸轉動的測量方法、基于小角度振動的測量方法和基于微小尺度振動的測量方法。這些方法通過對物體運動過程中旋轉速度、振動周期或頻率響應的測量，使用合適的數學模型推導轉動慣量。現有測量方法包括能量法[4]扭擺法[5]、復擺法[、頻率響應法[7]。唐松8測量了轉動慣量測量過程的阻尼比，通過線性最小二乘法擬合了阻尼比和轉動慣量測量結果之間的方程，實現了通過阻尼比對轉動慣量測量結果的補償，將測量結果的相對誤差從 2.132% 降低至 0.4% 。CHEN等將視覺識別技術引入了扭擺裝置中，視覺識別傳感器測得扭擺的振幅，通過直接采集角位移信號消除平均周期的影響，提高測量精度。盧志輝等[10-11]提出了在同時具備扭擺和直立振復擺結構的測量裝置上測量轉動慣量的方法，借助任意兩軸轉動慣量之間的差值關系或比例關系，實現在兩個測量位姿下獲取三軸轉動慣量的目的，振復擺設備工裝方式簡單，對被測樣件的形狀要求較小[12]，因此大尺寸的待測部件也可在該測量設備上獲取三軸轉動慣量。

空氣阻尼力矩的大小與扭擺的振動速度互相影響，這意味著現有的線性方法無法準確描述實際的扭擺運動。在工程上，對氣動力的數值求解通常是基于對納維-斯托克斯（Navier-Stokes，NS）方程數值求解的收斂結果。計算流體力學（ComputationalFluidDynamics，CFD）軟件以速度場和壓強場為基礎，通過網格單元間的插值，求解出流場中每一點的各種物理特征。通過對慣性張量測量過程的CFD軟件仿真可以獲得測量過程中任意時刻作用在被測樣件上的氣動力，進而計算出空氣阻尼力矩。MENEGHINI等[3]對串聯和并排布置的兩個圓柱體之間的渦流和流動干擾進行了數值模擬，將數值模擬的結果與BEARMAN等[14]獲得的試驗結果進行了比較，通過對雷諾數、阻力系數和斯特勞哈爾數的對比，證明了數值模擬在計算阻力和湍流特性上的可行性。

本文以扭擺法為基礎建立了包含空氣阻尼的轉動慣量測量模型。分析了阻尼力矩對扭擺運動的影響，建立了基于氣動力仿真結果的補償方法，并通過試驗驗證了測量模型和補償方法的有效性。

1扭擺法動力學建模

1.1扭擺法的傳統無阻尼線性模型

本文的測試系統用于測量轉動慣量不隨時間變化的被測樣件的轉動慣量。圖1顯示了扭擺法的測量原理和測量系統的結構。在轉動慣量測量過程中，被測樣件通過測量工裝與轉接工裝固定在轉臺上，轉臺由激勵裝置驅動。

圖1扭擺法測量裝置示意圖

激勵裝置固定在設備安裝臺面上，由撥動電動機、撥片和撥齒組成，其安裝方法如圖2所示。激勵裝置開啟后，撥片和撥齒的相互作用為扭擺運動提供了初始激勵，撥片在轉過一定角度后與撥齒分離，轉臺在扭桿恢復力矩的作用下做圓周扭擺運動。

圖2激勵裝置示意圖

Fig.2Schematicdiagramofexcitationdevice

在進行測量前，可以通過調節撥片的長度來改變分離角度，進而改變初始激勵，本文中的初始激勵設定為 5^° 。

系統圓周扭擺的運動微分方程為

式中， J 為被測樣件對于轉軸的轉動慣量； J₀ 為轉臺（附加測量工裝與轉接工裝）對于轉軸的轉動慣量； θ 為轉臺轉過的角度； K 為轉軸剛度理論值。

由式（1）求得

式中， T 為轉臺及被測樣件的振動周期。

進而推導出

轉軸剛度可采用標準件標定法15進行測量，為避免因直接計算扭轉剛度系數引起的誤差的傳遞，在真實的測量工作中，通過測量被測樣件的振動周期與標準件的振動周期對比即可求出被測樣件的轉動慣量，在測量過程中有3組測量狀態，即測量轉臺的轉動慣量、測量轉臺與標準件的轉動慣量、測量轉臺與被測樣件的轉動慣量。

對于3組測量狀態的轉動慣量與對應的振動周期，有

式中， J₁ 為標準件對于轉軸的轉動慣量； 為轉臺（附加測量工裝與轉接工裝）的振動周期； T₁ 為轉臺及標準件的振動周期； k 為轉軸剛度的實際值，k=K/（4π²）

聯立求解式（4）可得被測樣件的轉動慣量為

1.2 扭擺法的有阻尼模型

傳統的線性測量模型假設扭擺運動是恒定的，即其周期和振幅基本不變。當被測樣件為質量較大且對空氣阻力敏感的大尺寸異形體時，這一假設便難以成立，需要考慮外力對測量系統的干擾。

在描述有阻尼的扭擺法測量模型時，可使用拉格朗日方程，其運動學方程可以表示為

式中， E 為系統的動能； U 為系統的勢能； Q 為廣義外力矩，在激勵釋放后僅包括軸承阻尼與空氣阻尼。

系統的動能可表示為

可認為系統扭轉剛度是線性，則系統的恢復力矩可表示為

M=Kθ

系統的勢能可寫為

外力矩可以表示為軸承阻尼力矩和空氣阻尼力矩的和，軸承阻尼可表述為黏性阻尼，此時式（6可轉變為

式中， C_be 為軸承引起的阻尼； M_damping（t） 為隨時間變化的非定常空氣阻尼力矩。

空氣阻尼力矩主要由空氣的阻力貢獻，當機翼在低密度流體中振動時，因流體產生的外力主要與位移和速度相關[17]。因加速度產生的附加質量效應可以被忽略，但流場仍處于非定常狀態。

為計算這一非定常氣動力，引入準定常假設，假定運動過程中的任意瞬間該機翼的氣動特性都與同一機翼以等速度進行運動時的氣動特性一致，而這些速度應等于該運動機翼在此刻的瞬時值。

假定待測異形體物體的翼面的阻力特性服從準定常假設。在應用準定常假設前要判斷流場的非定常性，其通常使用縮減頻率 k_rf 表征，縮減頻率的定義為

式中， ω 為運動角頻率， ω=2πf;L 為特征長度； v 為特征速度。

對于扭擺系統，流體的運動因被測樣件的運動而產生，認為運動的特征速度為被測樣件的運動速度，推導扭擺法測量被測樣件過程中作用于翼面上的流場的縮減頻率。翼面上任意一點的速度沿展長線性變化，在工程上可使用展向平均速度作為特征速度，展向平均速度定義為

式中， r 為翼面上任一點距離扭擺中心的距離。

本文的研究目的是研究氣動力對轉動慣量測量精度的影響，氣動力的大小與速度成正比，因此以運動過程中最大速度時的狀態進行表征。基于試驗數據和無阻尼測量模型即可估算出扭擺運動過程中的最大速度，進而計算出此時的縮減頻率。

在滿足準定常假設后，可認為任何瞬間該機翼的氣動特性都與同一機翼以等速度進行運動時所顯現的氣動特性一致，系統的阻力為

式中， C_d 為阻力系數； ρ 為流體密度； V_∞ 為無窮遠處速度；A為翼面的面積。

由此可將研究的重點從對阻力的求解轉變到對阻力系數的求解。令 R 為回轉半徑，則測量模型式（10）可以表述為

阻力的具體數據將以仿真結果作為輸入，為便于后續推導，本文中測量的阻尼板的特征尺寸為平板的迎風面積 A_pA 。測量過程中準定常阻尼力矩 M_damping 可以寫為

式中， 為平均阻力系數。

構建非線性阻尼力矩系數 ，此時 式（10）轉變為

式（16）為非線性方程，其無法通過線性方法解析求解，一種簡單的求解方法是對非線性阻尼項 進行等效線性化。

本文中扭擺的振幅為 5^° ，在工程上仍處于小角度振動范疇，假定存在等效線性阻尼系數 C_eq ，令 C_eq≈ ，式（16）可轉化為

式中， ζ_be 為軸承引起的阻尼比； ζ_eq 為等效阻尼比； ω_n 為系統的無阻尼自振頻率。根據最小均方誤差原理， C_eq 應滿足

式中， .E（?） 表示數學期望。式（18）等價于

通過對式（19）展開求導后得

為便于推導，該系統的角位移函數可近似寫為 θ（t）=Acos（ωt+?） ，求解式（20）可得

此時的阻尼比可表示為

對于阻尼比較小的系統，振動角頻率依舊可以近似地表示為 2π/T 。以轉動慣量的計算值代替轉動慣量的真實值，此時式（22）可近似為

式中， J_mea 為實測轉動慣量。使用這一結果可以對測量結果的周期進行修正，修正計算式為

2 阻力系數的求解

特定被測樣件的阻力系數可借助CFD軟件仿真方法獲得。為驗證準定常假設的有效性，要進行驗證試驗，通過計算出驗證試驗中的真實空氣阻尼比和等效阻尼比并進行比較。

阻力系數與攻角和雷諾數相關[18]，在扭擺過程中，平板形被測樣件的攻角恒定為 90^° ，在攻角確定的情況下，理論上可以仿真求解被測樣件扭擺運動在不同雷諾數下的阻力系數。

對于以圓柱繞流為代表的鈍體繞流問題，其尾流渦街會直接影響阻力系數[19]，但相較于分離點可變的圓柱繞流，垂直平板的繞流分離點固定于平板邊緣，因此湍流狀態下，垂直平板擾流的阻力由壓差阻力主導，與雷諾數弱相關。TIAN等[20]研究了高雷諾數情況下平板繞流的阻力特性，對于平滑邊緣的平板，其阻力系數在雷諾數 250～10⁵ 范圍內變化不大，振動過程的平均阻力系數記為 。

根據仿真結果即可計算阻尼板在振動過程中的平均阻力系數，進而計算出等效阻尼比為

2.1 CFD模型建立

根據第1.2節理論分析，在OpenFoam軟件中建立平板繞流仿真算例。研究中采用的湍流模型為 k-ε 模型，對于計算域尺寸的設定，流體入口位置的選擇會直接影響來流能否充分發展，流體出口位置則影響對尾跡區渦脫落特性的捕捉。橫向和垂直方向則需要設置足夠的空間以避免壁面對流場的影響，設置如圖3所示的計算域。計算域尺寸如表1所示，邊界條件如表2所示。

圖3阻尼板繞流模型計算域 Fig.3Computational domain of the flow around the damping plate model

當阻尼板平行于入口時，計算域具備對稱性，在前面和后面邊界中心設置對稱面，構建新的計算域，以節省資源。在阻尼板上應用了壁面函數，因此網格的y+值設定為30，使用snappyHexMesh軟件劃分六面體非結構化網格。網格劃分結果如圖4所示。

2.2 阻力系數計算

繞流輸出的阻力系統將用于對轉動慣量測量結果的修正。為提前驗證計算模型的有效性，在人口設置速度為 5m/s 的氣流流人，對于鈍體繞流入口湍流強度設定為0.1，依次計算入口的湍流動能k和湍流耗散率 ε 并輸入到邊界條件中，此時對稱面上的速度云圖如圖5所示。

表1繞流問題計算域尺寸Tab.1 Dimensionsof thecomputational domain forflow arount

表2繞流問題計算域邊界條件Tab.2 Boundarycondition of thecomputational domain of flov

圖4繞流問題網格劃分圖

Fig.4Flowaroundanobstacleproblemmeshdivisiondiagram

圖5對稱面速度云圖Fig.5Velocitynephogramof symmetryplane

平板表面的氣動力基于壓力場和速度場計算，典型的氣動力計算式[21]為

式中，S為積分邊界面； U 為流體速度張量； p 為計算點處的氣體壓力； p_∞ 為無窮遠處的氣體壓力； τ 為黏性力張量； n 為控制體單位外法線矢量。

阻力為氣動力垂直于流動方向的分量，通過在controlDict中定義forceCoffient函數，即可讀取出平板表面的阻力系數為

式中， n_y 為阻力方向單位外法線矢量。

3 驗證試驗

試驗中，轉接工裝包括一個框架載物臺與夾持件，連接在測量工裝上。轉接工裝和坐標系之間的關系是已知的，通過將夾持件鎖定在框架上的不同位置，驗證阻力特性仿真的準確性與測量模型的有效性。

3.1轉動慣量測量試驗

首先，在僅裝載框架載物臺的情況下測量扭擺運動的振動周期，將此周期作為空載周期 ；然后，將圓柱形轉動慣量標準砝碼放置在轉臺中心，將此周期作為標準件周期 T₁ 。轉動慣量測量系統的標定過程測量系統的狀態如圖6所示。

圖6轉動慣量測量系統標定

Fig.6Calibrationofthemomentof inertiameasurementsystem

圖7 400mm 回轉半徑夾角為 90^° 狀態下轉動慣量測量 Fig.7Moment of inertiatesting in 90^° orientationwith 400mm gyrationradius

驗證試驗中，被測樣件的布置如圖7所示，在轉動慣量測量系統上安裝了兩個板狀被測樣件，此類物體運動過程中受到的空氣阻力較大。利用SolidWorks軟件的質量評估功能，精確計算了被測樣件相對于自身中心線的三軸理論轉動慣量。

被測樣件是密度均勻的矩形板。夾持件用于防止阻尼板在扭擺過程中晃動，通過螺栓連接到夾持件底座上，由單邊螺母鎖緊。底座通過螺栓連接到框架載物臺上，表面畫有角度參考線。

a 為被測樣件與載物臺的夾角，當被測樣件平行于載物臺時，角度 a 為 0^° ，通過調整夾持件與夾持件底座之間的位置關系，將被測樣件對準角度參考線并鎖緊定位螺母，即可實現特定角度下的轉動慣量測量。

測量試驗測量了回轉半徑為 400，800，1200mm 情況下的轉動慣量 J_x 數據，記錄夾角 a 為 0^°，45^°，90^° 共9個狀態下的測量數據。具體試驗結果如表3所示。轉動慣量測量試驗的周期按照式（4）進行處理，計算出阻尼板的轉動慣量，具體結果如表4所示。

表3阻尼板轉動慣量測量周期

Tab.3Measurement period of the moment of inertia of the damping

為消除因加工過程產生的誤差，分析阻尼板在各測量角度之間的誤差，研究阻尼板轉動慣量的測量過程中空氣阻尼的作用。計算 0^°，45^° 時的實測轉動慣量與 90^° 時的實測轉動慣量之間的誤差，并將結果填人表5。

表4阻尼板轉動慣量測量試驗數據分析Tab.4Testdataanalysisof themomentof inertia measurementof thedampingplate

表5阻尼板轉動慣量試驗數據修正

表5中可見迎風角度對轉動慣量測量值的影響，0^° 時阻尼板垂直于來流方向，此時產生的測量誤差大于 45^° 時的測量誤差， 0^° 時風阻產生的效應大于 45^° 時的效應。

3.2 等效阻尼比驗證

在現有試驗數據的基礎上，可借助同一組阻尼板在不同試驗條件下總阻尼的變化間接計算氣動阻尼的變化。首先求解系統的扭轉剛度，通過式（4）可得

計算系統的扭轉剛度并填寫在表6中，計算出系統扭轉剛度的平均值 ，轉臺的轉動慣量為 。測量系統的扭轉剛度 。

計算3種回轉半徑下 0^° 狀態進行測量時的縮減頻率，分別為 0. 029?0. 014?0. 009 5 。根據文獻[22]，在對非定常氣動力的升力分量進行準定常近似時，縮減頻率的閾值在0～1，當縮減頻率小于0.01時，流動可以認為處于準穩定狀態；當縮減頻率處于 0.001～0.1 時，流動可認為處于弱非定常狀態，此時可以通過動態系數進行修正；當縮減頻率大于0.1時，流動的非定常特性不可被忽略。

表6系統剛度計算

以此準則作為參考，取縮減頻率接近0.01時的狀態進行近似處理。即選擇 800，1200mm 回轉半徑下的實測空氣阻尼 ，如表7所示。

表7近似定常狀態空氣阻尼

Tab.7Airdampingof theapproximate steady-state

根據仿真結果計算阻尼板在振動過程中的平均阻力系數，計算出等效阻尼比。

以阻尼板替換第1類計算模型中的平板，同時等效替換彈簧剛度，計算出運動過程中的最大雷諾數為16000。進而對阻尼板進行繞流仿真，取雷諾數 200～ 16000 內5個工況的雷諾數，計算對應工況的阻力系數，其結果如表8所示。

表8不同雷諾數下的阻力系數

Tab.8DragcoefficientatdifferentReynoldsnumbers

計算出平均阻力系數 ，代人式（25）得到該計算模型的等效阻尼系數為 ζ_eq=0.017 和 ζ_eq= 0.044，ζ_eq 與 間的誤差分別為0.014與 0.003 。

縮減頻率大于0.01時使用準定常假設存在較大誤差，二者之間的誤差可歸因為將非定常氣動力近似為準定常氣動力導致了非定常損耗，這一規律與縮減頻率表征非定常性的規律一致。

使用計算出的等效空氣阻尼比和分離出的軸承阻尼比對回轉半徑為 1200mm 的轉動慣量測量結果進行修正。以 90^° 狀態為只有軸承阻尼的狀態，計算出軸承阻尼比為 ζ_be=0.143 ，在式（24）中代人 ζ_be= 0. 143?ζ_eq=0.044 ，得到補償后的周期為2.005s，轉動慣量的相對誤差為 0.2% 。證明了在縮減頻率較小時使用氣動力仿真結果進行等效補償的方法能有效地提高轉動慣量的測量精度。

4結論

建立了基于準定常氣動力的空氣阻尼補償模型，研究了平板型被測樣件的阻力特征，設計了驗證試驗，證明了分析結果的有效性。得出以下結論：

1）使用氣動力仿真對轉動慣量測量結果進行修正，該修正模型補償了空氣阻尼對扭擺法測量結果的影響，補償后的周期更接近理論振動周期，誤差約為0.1% 。

2）使用準定常近似的方法簡化了修正模型，這一方法只能應用于準定常狀態。準定常性可由縮減頻率判斷，在縮減頻率小于0.01時，使用等效線性化的方法近似計算空氣阻力的阻尼效應可達到較好的結果，其與從測量結果中分離出的空氣阻尼比間的誤差約為 7% 。

3）非定常性較強的氣動阻力的準定常化會導致計算出的空氣阻力小于真實阻力，這一誤差還需要進一步分析。

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Abstract：To address the isue of accuracy degradation caused by aerodynamic damping when measuring the moment of inertia of irregularspecimens with large airfoilsurfaces usingthe torsionalpndulum method，acompensationapproachbased ondragsimulationresults wasproposed.Initialy，themechanismof aerodynamicdampingintorsional oscilltions was analyzed，andameasurement modelincoporating compensation throughcalculationofaerodynamicdamping torque was established.Subsequently，thereducedfrequencyparameterwas introduced tocharacterizetheunsteadyaerodynamicnatureof the aerodynamic damping torque.By employing aquasi-steady assumption combined with equivalent linearization techniques， theunsteadytime-varying aerodynamic damping torque Was equivalently represented as viscous damping.Furthermore， computational fluid dynamics （CFD）simulations were conducted toobtain drag coefcients during specimen motion，from whichacompensation formulabasedondragcoeficients was derived.Finallvalidationtest weredesignedandperformedto verifythe proposedmethod.The findings indicatethatunderlowreduced frequencyconditions （reduced frequencylessthan 0.01），therelativeeror betweentheequivalentaerodynamicdampingratiocalculatedviaquasi-steadyasumptionandtest separationvaluesisapproximately 7% .Aftercompensating using the proposed equivalent aerodynamic damping ratio，the error between measured and theoretical moments of inertia is approximately 0.2% ，demonstrating that the proposed method effectively enhancesmeasurementaccuracy formoments ofinertiaof iregularspecimens withlarge airfoil surfaces.

Keywords： Moment of inertia measruement; Aerodynamic damping; Irregular specimen; Unsteady aerodynamic force; Drag coefficient

Correspondingauthor：MAWeiping，E-mail： jxsmwp@163.com Received：2025-05-06