紙盒折邊機(jī)折紙段凸輪連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號：TH122；TH112 DOI：10.16579/j.issn.1001.9669.2025.08.020

0 引言

在凸輪連桿組合機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，為使機(jī)構(gòu)以最佳狀態(tài)運(yùn)行，需要對各部分的尺寸和相對位置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。目前常采用優(yōu)化算法進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，周紅妮等采用多目標(biāo)遺傳算法（NSGA-Ⅱ）實(shí)現(xiàn)了汽車前橋轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化。李秀蘭等2采用修正的遺傳算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了全局搜索，獲得了最佳的凸輪輪廓和連桿長度。顧寄南等3以曲柄齒輪齒條的齒輪擺角、齒輪角加速度以及齒輪齒條重合對為優(yōu)化目標(biāo)，運(yùn)用NSGA-Ⅱ算法對設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，并從解集中確定了最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

為獲得設(shè)計(jì)合理、結(jié)構(gòu)緊湊的擺動從動件凸輪機(jī)構(gòu)，華大年4基于類速度圖提出了根據(jù)許用壓力角設(shè)計(jì)最小尺寸擺動從動件平面凸輪的解析法。常勇等[5-6]對他提出的解析法進(jìn)行了注記和補(bǔ)充，提出了華大年方法的適用范圍和不適用情況的產(chǎn)生原理。

在一款高檔紙盒的生產(chǎn)中，需要將過膠后的紙盒面紙的包邊側(cè)翻折 180^° ，并精確貼合到內(nèi)側(cè)的灰紙板上7，針對該需求設(shè)計(jì)的紙盒折邊機(jī)采用凸輪連桿組合機(jī)構(gòu)，使用2個凸輪推動連桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)預(yù)定的工藝動作。本文針對紙盒折邊機(jī)的折紙段凸輪連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，該機(jī)構(gòu)采用凸輪擺桿與平面連桿組合從而實(shí)現(xiàn)預(yù)定的動作。在已知推桿運(yùn)動規(guī)律和凸輪許用壓力角的條件下，結(jié)合凸輪許用壓力角設(shè)計(jì)最小尺寸的凸輪擺桿機(jī)構(gòu)，并根據(jù)NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法對擺桿轉(zhuǎn)角、凸輪與擺桿中心距等參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而獲取最優(yōu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，最終通過編制程序驗(yàn)證設(shè)計(jì)的正確性。

1折紙段凸輪連桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)

圖1（a）所示為圍條未折邊時的狀態(tài)，即圍條底部和面紙初步貼合的狀態(tài)；圖1（b）所示為由上料機(jī)械手將未折邊圍條放到工位上進(jìn)行預(yù)折邊的圍條；圖1（c所示為面紙包邊貼合到圍條后的狀態(tài)。

折紙段凸輪動作過程可分為推程段、遠(yuǎn)休止段、回程段和近休止段4個部分，即將鏟刀由 M 點(diǎn)推到 N 點(diǎn)并返回，如圖2所示（虛線表示連桿機(jī)構(gòu)部分最終位置），其中 O₂ 點(diǎn)位于 X 軸上， B 和 B^′ 點(diǎn)在同一豎直線上，其坐標(biāo)分別為 B（130.12mm ， -51.65mm ）、

B^′（130.12mm，51.65mm） O₂A 與 O₂B 共線。其中未知的量有： O₁ 點(diǎn) ，O₂ 點(diǎn)的位置，擺桿 O₂B 的長度以及 O₂ 點(diǎn)到滾子 A 的距離。

1）推程段。凸輪轉(zhuǎn)動從而推動滾子 A 帶動擺桿O₂B 繞 O₂ 點(diǎn)轉(zhuǎn)動，通過各個連桿推動鏟刀移動，當(dāng) B 點(diǎn)轉(zhuǎn)動到 B^′ 點(diǎn)時，鏟刀向前移動并完成面紙折邊動作，即從 M 點(diǎn)推動到 N 點(diǎn)，推程角 φ₁=π/3 。

圖2折紙段凸輪運(yùn)動示意圖 Fig.2Origamisectioncammovementdiagram

2）遠(yuǎn)休止段。凸輪使擺桿 O₂B 保持在 O₂B^′ 位置，此時鏟刀靜止保壓，以及等待其他工藝動作完成，遠(yuǎn)休止角 。

3）回程段。鏟刀完成送紙動作后，凸輪進(jìn)入回程，通過回程段廓線使?jié)L子 A 平穩(wěn)過渡到基圓上，將鏟刀從 N 點(diǎn)推回到 M 點(diǎn)，回程角 φ₂=π/6 。

4）近休止段。擺桿 O₂B 回到初始位置，近休止角φ_h=π/6

鏟刀在折紙過程中要盡可能無沖擊且速度變化平穩(wěn)，以避免折邊的面紙出現(xiàn)褶皺現(xiàn)象，因此從動件運(yùn)動規(guī)律采用正弦加速度運(yùn)動規(guī)律。根據(jù)紙盒折邊機(jī)中組合機(jī)構(gòu)的動作要求，凸輪采用槽道凸輪機(jī)構(gòu)，故凸輪往返行程皆為推程。擺桿 O₂B 的運(yùn)動規(guī)律表達(dá)式為

式中， ψ 為擺角； v 為角速度； a₀ 為角加速度； φ 為凸輪轉(zhuǎn)角， φ∈[0，?]， 其中， ? 為最大推程角； ψ_max 為擺桿 O₂B 的最大擺角。

2按許用壓力角設(shè)計(jì)凸輪最小尺寸

以擺動從動件的運(yùn)動規(guī)律設(shè)計(jì)平面凸輪的輪廓線時，必須確定凸輪的基圓半徑、擺桿長度和兩者的中心距。在折紙段凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)實(shí)例中，凸輪和擺桿的中心距可根據(jù)機(jī)構(gòu)總體尺寸確定大致范圍，但凸輪基圓直徑和擺桿長度未知。

為獲得整體輕便緊湊且受力較好的凸輪機(jī)構(gòu)，需要凸輪的基圓尺寸盡可能小，基圓尺寸又與壓力角有直接關(guān)聯(lián)，而這兩者又是矛盾的。為解決這一問題，按許用壓力角設(shè)計(jì)凸輪最小尺寸便成了最優(yōu)選擇。

如圖3所示，在直角坐標(biāo)系 O₂XY 中，原點(diǎn) O₂ 為擺桿軸心， X 軸沿?cái)[桿初始位置 O₂A₀ ，由 X 軸以 O₂ 點(diǎn)為軸心沿逆時針旋方向轉(zhuǎn) 90^° 得到 Y 軸， O₂A_m 為擺桿終止位置， ψ_m 為擺桿動程角。

圖3 槽道凸輪軸心位置圖

Fig.3Diagram of slottedcamaxisposition

2.1擺桿推程與凸輪轉(zhuǎn)向相同時曲界線I

如圖3所示，當(dāng)擺桿推程與凸輪轉(zhuǎn)向相同時，設(shè)擺桿在某位置 O₂A ，在上面取 AH=lψ^′ （其中，為擺桿 O₂A 的長度； ψ^′ 為擺桿類角速度， ），過H點(diǎn)作與HA夾角為 γ （許用傳動角）的直線 h-h ，其方程為

式中， .l.γ 均為常數(shù)； ψ，ψ^′ 均為關(guān)于凸輪轉(zhuǎn)角 φ 的函數(shù)。因此，式（2）可寫為 F（X，Y，φ）=0 的形式，為關(guān)于變量φ 的直線族。當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)角 φ 變化時，直線族將會形成一條包絡(luò)曲線，包絡(luò)線的坐標(biāo)可根據(jù)微分幾何求解，即

將式（3）聯(lián)立求解，即可得包絡(luò)曲界線I為

式中， N 為符號變量，且當(dāng)擺桿推程與凸輪轉(zhuǎn)向相同時， N=1 。

2.2擺桿推程與凸輪轉(zhuǎn)向相反時曲界線IV

如圖3所示，當(dāng)擺桿推程與凸輪轉(zhuǎn)向相反時，設(shè)擺桿在某位置 O₂A ，在上面取 AH^′=lψ^′ ，過 H^′ 點(diǎn)作與 H^′A 夾角為 γ 的直線 h^′–h^′ ，其方程為

式中， N=-1 。

此時，按照由式（2）推導(dǎo)出式（4）的方法可推導(dǎo)出曲界線V的方程。因此，式（4）為兩曲界線（I，V）的通用表達(dá)式，且當(dāng)擺桿推程與凸輪轉(zhuǎn)向相反時， ?N=-1 。

2.3 槽道凸輪機(jī)構(gòu)

在槽道凸輪機(jī)構(gòu)中，擺桿往返皆為推程，根據(jù)文獻(xiàn)[8]的研究，凸輪軸心應(yīng)位于2個曲界線I和V所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)，其最小基圓半徑位于2個曲界線的交點(diǎn)，如圖3（b）所示。由于該交點(diǎn)在擺桿往返時對應(yīng)的擺角一般不重合，所以在應(yīng)用式（4）時，推程段設(shè)N=1，ψ=ψ₁ ；回程段設(shè) N=-1，ψ=ψ₂ 。由此可得

式中， ψ₁√ψ₁^′J/J₁^′′ 和 ψ₂、ψ₂^′、ψ₂^′′ 對應(yīng)的角位移分別為 φ₁ 和φ₂ 。將式（6）、式（7）聯(lián)立消去 X，Y 得

式（8）為含有 φ₁，φ₂ 這2個變量的非線性方程組，可采用牛頓法進(jìn)行求解，并將求解后的結(jié)果代入式（6）或（7）得到 X 和 Y ，可得出計(jì)算式為

r₀=O₁A_?0（a/O₁O₂）

l=a/O₁O₂

將 X 和 Y 代入式（9）式（10），根據(jù)選取的實(shí)際中心距 a ，代人式（11）式（12）可解出凸輪基圓半徑 r₀ 和擺桿 O₂A 長度 l

3基于NSGA-II算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)

在工程實(shí)際中，常遇到需要在給定范圍內(nèi)尋找多個目標(biāo)均為最佳情況的優(yōu)化問題，而多個數(shù)值目標(biāo)在給定區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)問題稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題[10]NSGA-Ⅱ算法是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的遺傳算法之一，具有速度快，解集收斂性較好的特點(diǎn)。由于多目標(biāo)優(yōu)化問題中的多個子目標(biāo)是相互沖突的，所以NSGA-Ⅱ算法得出的解不是唯一解，而是一組最優(yōu)解集合，稱為Pareto解集[1]。當(dāng)獲得Pareto解集后，根據(jù)工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)選出一組比較滿意的解。

3.1 目標(biāo)函數(shù)

凸輪機(jī)構(gòu)的尺寸大小往往取決于凸輪的大小，為使機(jī)構(gòu)更加緊湊，應(yīng)盡量減小凸輪的基圓半徑[12]145-148。因此定義凸輪的基圓半徑作為第1優(yōu)化目標(biāo)，即

minf（1）=r₀

擺桿 O₂B 是由滾子 A 推動而轉(zhuǎn)動的， O₂A 與 O₂B 長度的比值越小，機(jī)構(gòu)的傳力比越大，其摩擦產(chǎn)生損耗也就越大，凸輪軸受到的壓力也越大。因此，定義 O₂A 與 O₂B 長度 l 和 L 的比值為第2優(yōu)化目標(biāo)，即

minf（2）=-l/L

由于采用的算法是以自標(biāo)函數(shù)分量取極小值為目標(biāo)，所以對 l 和 L 的比值取負(fù)值以進(jìn)行優(yōu)化。

3.2 設(shè)計(jì)變量

優(yōu)化變量的選取要能影響優(yōu)化目標(biāo)且可以獨(dú)立控制 [12]145–148 。如圖2所示，根據(jù)已知參數(shù)， B 點(diǎn)和 B^′ 點(diǎn)之間距離 H₀=103.3mm，X 軸為 BB^′ 的垂直平分線，設(shè)擺桿從 O₂B 到 O₂B^′ 的轉(zhuǎn)角為 ψ_m ，則擺桿 O₂B 長度 L 為

式中， ψ_m 為擺桿 O₂B 的最大轉(zhuǎn)角； a 為凸輪軸心 O₁ 和擺桿軸心 O₂ 之間的中心距。

擺桿 O₂B 長度直接影響第2優(yōu)化目標(biāo) O₂A 與 O₂B （長度分別為 l，L） 的比值的取值，且由式（15）可知， H₀ 一定時，影響擺桿 O₂B 長度 L 的參數(shù)就只有擺桿 O₂B 的最大轉(zhuǎn)角 ψ_m 。此外，凸輪軸心 O_? 和擺桿軸心 O₂ 之間的中心距 a 決定了第1優(yōu)化目標(biāo)基圓半徑的取值。

因此，設(shè)定擺桿 O₂B 的最大轉(zhuǎn)角 ψ_m 和凸輪軸心 O₁ 和擺桿軸心 O₂ 之間的中心距 a 為設(shè)計(jì)變量，即

3.3 約束條件

考慮到紙盒折邊機(jī)機(jī)構(gòu)整體的結(jié)構(gòu)大小，限制實(shí)際中心距 a 的范圍為

0mm

由于擺桿轉(zhuǎn)角 ψ_m 關(guān)系到擺桿 O₂B 長度，太小會增大機(jī)構(gòu)尺寸，太大會增大最大壓力角且使各部件之間的比例相差過大。因此，結(jié)合本實(shí)例，為確保機(jī)構(gòu)尺寸合理，定義擺桿轉(zhuǎn)角 ψ_m 的范圍為

30^°?ψ_m?60^°

3.4優(yōu)化結(jié)果及選擇

根據(jù)所推導(dǎo)出的各個變量之間的相互關(guān)系，采用Matlab軟件進(jìn)行編程。設(shè)定優(yōu)化算法種群數(shù)為50，迭代次數(shù)為100，運(yùn)行后得到Pareto最優(yōu)解解集，如圖4所示，*號表示NSGA-ⅡI算法得出的最優(yōu)解分布。

圖4Pareto最優(yōu)解集

Fig.4Paretooptimal solutionset

由圖4可以看出，左上角的解中， O₂A 與 O₂B 長度比值較大，凸輪推動擺桿的力較小，但此時的基圓半徑較大，整體結(jié)構(gòu)尺寸較大；而右下角的解則相反，O₂A 與 O₂B 長度比值較小，將會導(dǎo)致機(jī)構(gòu)在運(yùn)動時凸輪所受到的力較大，機(jī)構(gòu)的力學(xué)性能較差。因此，從Pareto最優(yōu)解集中選取中間區(qū)域的8組方案（表1），在圖4紅色圈內(nèi)，并利用多目標(biāo)加權(quán)灰靶決策模型做決策，進(jìn)而選取出一組最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案[13]。決策過程如下：

表18組Pareto最優(yōu)解Tab.1 8groups ofPareto optimal solutions

1）8組解集對應(yīng)的矩陣R為

在優(yōu)化目標(biāo)中， O₂A 與 O₂B 長度的比值影響著機(jī)構(gòu)的力學(xué)性能，對機(jī)構(gòu)運(yùn)動狀態(tài)有主要影響，故取較大權(quán)重；基圓半徑和擺桿 O₂B 的長度 L 影響著機(jī)構(gòu)的整體尺寸，對機(jī)構(gòu)運(yùn)動有一般影響，取較小權(quán)重，因此將權(quán)重設(shè)定為

e=（e₁，e₂，e₃）=（0.3，0.4，0.3）

式中， e₁，e₂，e₃ 分別對應(yīng)基圓半徑和 O₂A，O₂B 長度的比值與擺桿 O₂B 的長度 L 的權(quán)重。

2）決策矩陣。工程項(xiàng)自的決策中，由于不同的指標(biāo)有不同的量綱，在決策中無法直接進(jìn)行比較，所以需要將決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。 [-1，1] 區(qū)間決策算子可以對高于平均水平的決策賦0～1的正值，對低于平均水平的賦-1～0的負(fù)值，從而保證對于決策有獎有罰。本次主要針對的指標(biāo)均為效益型指標(biāo)，故采用表達(dá)式為

越大越好時，為

越小越好時，為

由式（21）～式（23）得出決策矩陣 K， 為

3）結(jié)合優(yōu)化目標(biāo)，求最佳結(jié)果向量 k=

[k₁⁰，k₂⁰，k₃⁰]， 即

k=[1.000，1.000，1.000]

4）計(jì)算各個方案向量與最佳結(jié)果向量的距離：

δ_i=|k_i-k|=

其結(jié)果分別為 δ₁=1.5244，δ₂=1 1692，δ₃=1 .337 9， δ₈= 1.3260，可以看出 δ₆ 最小，表示其距離最佳結(jié)果的距離最近。因此，選用第6組作為最優(yōu)解決方案，即基圓半徑 r₀=93.3756mm ， O₂A 與 O₂B 長度比值 l/L= 0.2536 。此時對應(yīng)的凸輪參數(shù)如表2所示。

表2凸輪參數(shù)Tab.2 Cam parameters

4 凸輪設(shè)計(jì)

根據(jù)式（1）中擺桿的運(yùn)動規(guī)律和表2中擺桿轉(zhuǎn)角及凸輪基圓半徑，采用Matlab軟件繪制程序繪制凸輪理論輪廓線、實(shí)際輪廓線、基圓14，如圖5所示。

圖5凸輪理論輪廓線、實(shí)際輪廓線、基圓

編制凸輪壓力角程序，獲取凸輪的壓力角曲線，如圖6所示。

圖6凸輪壓力角 Fig.6 Cam pressure angle

由圖6可知，凸輪的最大壓力角為 40^° ，符合設(shè)定的許用壓力角 [α] ，滿足設(shè)計(jì)要求。

5基于Adams軟件的仿真分析

基于前文的計(jì)算，可以確定凸輪連桿機(jī)構(gòu)中各個桿以及凸輪的各項(xiàng)參數(shù)。為了更直觀地驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的凸輪連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動參數(shù)是否符合設(shè)計(jì)要求，在Adams軟件中建立凸輪連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動模型，并對其進(jìn)行仿真，得到了鏟刀運(yùn)動的位移、速度和加速度曲線，如圖7～圖9所示。

圖7鏟刀運(yùn)動位移

Fig.7Movementdisplacementof theblade

由圖7可知，鏟刀從起始位置（ 2.35mm 運(yùn)動到最遠(yuǎn)位置（ 45.86mm ），總位移為 43.51mm ，滿足鏟刀位移需在 40～50mm 的要求。并且在15～35s間鏟刀的位移沒有太大的變化，可以滿足在折邊后對紙板進(jìn)行保壓的要求，使面紙與灰紙板貼合緊密。

由圖8可知，鏟刀的運(yùn)動速度最高達(dá)到46.55mm/s ，滿足設(shè)計(jì)需求。雖然在33～36s段速度存在突變，但此處屬于凸輪的回程段，并且在第5節(jié)中已經(jīng)驗(yàn)證回程段的凸輪壓力角滿足設(shè)計(jì)要求，故此處突變合理，不影響機(jī)構(gòu)整體的運(yùn)行和功能的實(shí)現(xiàn)。

圖8鏟刀運(yùn)動速度

圖9鏟刀運(yùn)動加速度Fig.9 Blademovementacceleration

由圖9可知，鏟刀的運(yùn)動加速度在33～36s產(chǎn)生突變并且達(dá)到峰值 149.37mm/s² ，與圖8中的情況類似，此階段屬于凸輪回程段，且此加速度由于數(shù)值較小，所產(chǎn)生的力和沖擊不大，故不會影響機(jī)構(gòu)的整體運(yùn)行和功能的實(shí)現(xiàn)。

6結(jié)論

以紙盒折邊機(jī)折紙段凸輪連桿機(jī)構(gòu)為例，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，得出以下主要結(jié)論：

1）根據(jù)凸輪許用壓力角設(shè)計(jì)凸輪，并用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)算法對凸輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，隨后用Matlab軟件驗(yàn)證了優(yōu)化后的凸輪壓力角符合設(shè)計(jì)要求，證明了該方法的有效性。

2）利用Adsms軟件對優(yōu)化后的凸輪連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了該凸輪連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動的可靠性和可行性，為其他凸輪連桿組合機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了可借鑒的方法。

所提的方法還可以通過改變凸輪推程角、遠(yuǎn)休止角、回程角與近休止角和采用不同的組合機(jī)構(gòu)進(jìn)一步優(yōu)化凸輪連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動速度和加速度，以降低其速度和加速度的峰值。限于篇幅，這些研究暫時還未開展，這也是后續(xù)需要進(jìn)行研究的內(nèi)容。在仿真得到的擴(kuò)力運(yùn)幼加還反圖中，近休止孜加還反有所文化，此變化的原因也需要進(jìn)一步思考。

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Abstract：This article took the folding sectioncam linkage mechanism ofa carton folding machineasanexample. Firstly，apreliminarydesignof thecam wascariedout basedonactual workingconditions.Then，combined with the analyticalmethoddesigning thecammechanismbasedontheallowablepressureangleof thecam，amathematicalmodel was establishedwiththeswingrodangleandthecenterdistancebetween thecamandtheswingrodasdesignvariables.Using the NSGA-Ioptimizationalgorithm，perform multi-objectiveoptimizationdesignonthecam linkagemechanismandselectthe optimal solution from the generated Pareto solution set.Basedontheoptimization results，the preliminarydesignof thecam linkage combination mechanism was adjusted，and the contour of the cam was obtained through Matlab programming， verifying that theoptimizedcam pressure angle met theallowable pressure angle.Finally，simulationanalysis was conducted ontheoptimizedcamlinkagemechanismusingAdamssoftware.Itisfoundthatthedisplacement，velocity，andacceleration oftheblade movementmeetthedesignrequirements，verifyingthecorrctnessand feasibilityof theoptimizationresults.At the same time，it also provides areference methodforthe optimizationdesignofothercam linkage mechanisms.

Keywords：Cam linkagemechanism;Alowablepressureangle;NSGA-Ioptimizationalgorithm;Multi objective optimization; Simulation analysis

Corresponding author： DENG Yuanchao，E-mail： 269911900@qq.com

Fund： Innovation Methods Special Project of the Ministry of Science and Technology （2020IM020800-01）

Received：2023-10-09 Revised：2023-12-04