結合BP神經網絡和畢達哥拉斯模糊數的工業機器人系統的可靠性分配

中圖分類號：TB114 DOI： 10.16579/j. issn.1001. 9669.2025.08.016

0 引言

系統可靠性分配是將規定的系統可靠性指標自上而下、由整體到局部分配給組成該系統部件，確定系統各組成部件的可靠性要求的過程[1]。其分配的本質是在現有的資源約束條件下實現系統可靠性指標的最大化。為了達到系統的可靠性目標，需要根據其可靠性分配方法來確定各部件的可靠性。其常用的可靠性分配方法可分為兩類：加權因子和最優可靠性分配[2]?；诩訖嘁蜃拥目煽啃苑峙浞椒ò▊鹘y的均衡分配方法[3、分級分配方法[4等。最優可靠性分配方法5是指應用數學規劃技術獲得組件的最優可靠性解，使整個系統的可靠性最大化或成本最低。

工業機器人是集計算機科學、控制與機制理論、信息與傳感器技術、人工智能等多學科于一體的復雜機電耦合系統[6。人工智能作為人類勞動的替代品，代表著制造業的技術水平，在自動化生產線中具有不可替代的地位。但是，生產線的高度自動化也對安全性和可靠性提出了非常高的要求[。因此，必須提高可靠性以減少低可靠性帶來的額外維護成本，提高產品的競爭力。合理分配子系統和部件的可靠性指標能保證整機滿足設計要求8，從而確定系統各單元的定量可靠性要求。FAZLOLLAHTABAR等采用可靠性框圖簡化復雜機器人系統，建立故障樹分析（FaultTreeAnalysis，FTA）模型，檢測故障原因和成功概率；BAI等[10]108248針對現有可靠性分配方法中僅存在正?；蚬收?種狀態而未考慮中間退化過程的缺陷，提出了一種綜合因子評價-層次分析法-T-S模糊故障樹分析，對具有多故障狀態的工業機器人系統進行可靠性指標分配。BAI等[1]基于2種認知不確定，結合D-S（Dempster-Shafer）證據理論和伯恩鮑姆重要度理論對工業機器人系統的可靠性指標進行了分配。由于工業機器人結構復雜，且在運行過程中，其精度會逐漸降低，振動會增大，定位時間會延長，運動軌跡會偏離。部件之間的狀態會相互影響，這時就需建立部件失效相關性的系統可靠性模型。在研究部件失效相關性的系統上，常使用Copula函數來考慮組件失效相關的系統可靠性模型，ZHANG等[12]構建了基于VineCopula函數的不同失效相關性的串聯可靠性分配模型;NAVARRO等[13]構建了基于Claytou Copula函數時刻失效相關系統剩余壽命的可靠性函數；HSU等[14]利用Copula函數對多類型-I截尾下具有相關性的壽命試驗數據進行建模，精準估計出系統及其組件的分位數和可靠性函數。

人工神經網絡作為人工智能領域的研究熱點，可以利用信息處理技術模擬人腦神經元網絡建立模型，并按照不同的連接方式組成不同的網絡。反向傳播（BackPropagation，BP）神經網絡作為典型的多層前向型人工神經網絡，在模式識別、數據預測、函數逼近、分類、圖像處理等方面應用廣泛[15]。滕凌云[16]將建筑工程造價中的特征值量化，作為模型輸入樣本，構建BP神經網絡工程造價預測模型，通過驗證，證明BP模型能夠滿足建筑工程造價預測要求。寧武龍提出根據BP神經網絡結構及其算法公式，并結合訓練已獲得的預測誤差較小的權值和閥值來編寫軸承壽命，預測M函數文件，替換掉神經網絡工具箱中的函數，成功開發了集軸承壽命預測和軸承數據存儲、查詢、統計等功能于一體的用戶平臺，可用于實際生產中對軸承隨時進行剩余壽命預測。DU等[18]首次將神經網絡與再制造系數相結合，提出一種改進的再制造機床可靠性分配方法。

上述方法都改進了傳統的可靠性分配方法，但一般無法處理模糊信息。為了解決這一問題，SRIRAMDAS等[9]將梯形模糊數引入到可靠性分配中，將梯形模糊數與極大熵有序加權平均算子相結合，提出了一種可靠性分配方法；CHENG等[20]提出了語言中性數加權平均算子公式，并首次應用于系統可靠性分配領域中。CHENG等[21]將直觀的梯形模糊數與基于相似理想解的性能排序技術相結合，實現了機床可靠性的靈活分配。在直覺模糊集的決策過程中，可能會出現隸屬函數與非隸屬函數之和大于1的情況。為了克服模糊集的缺點，YAGER22率先提出了畢達哥拉斯模糊集（PythagoreanFuzzySet，PFS）理論，屬于PFS的元素的隸屬等級和非隸屬等級滿足平方和小于等于1的條件。目前PFS已廣泛應用于各種學科中。WU等[23]提出了一種畢達哥拉斯模糊馬哈赫算子，并給出了它們在基于PFS的多屬性決策中的應用。RAHMAN等24]提出了基于PFS的Einstein混合平均聚合算子（AggregationOperator，AO）來聚合多屬性決策（MultipleAttributeDecisionMaking，MADM）過程中的信息。RANI等[25]提出用PFS的散度度量來計算PFS之間的區分程度。LIU等[26提出了PFS基于綜合折中解決方案的MADM方法，用于評估具有不確定性的醫療廢物處理技術。RANI等[27研究了現有PFS相似度測度不足的問題，提出了一種新的PFS相似度測度，并應用于處理PFS背景下的醫療設備供應商評估問題。

工業機器人系統結構復雜，組成成分眾多且相互耦合。運行過程的可靠性受退化、環境等多種因素的影響，具有時變和動態性。即使是同一類型的工業機器人，如果環境發生變化，其動態特性也會有很大的不同。針對系統結構復雜、可靠性數據缺乏、現有認知不足等問題，迫切需要開發一種適用于工業機器人系統的可靠性分配方法，形成一種適用于工業機器人系統的可靠性質量保證技術。本文提出一種結合BP神經網絡和畢達哥拉斯模糊數（Pythagorean FuzzyNumber，PFN）的工業機器人系統的可靠性分配方法，使用Copula函數建立系統可靠性模型，將工業機器人的故障分為系統級、子系統級和部件級3個層次，采用3層前饋人工神經網絡將系統的可靠性分配到子系統級；考慮將重要程度、環境條件、技術水平、可維修性、費用靈敏度、復雜性6個影響因素作為分配準則，引入PFN對其進行評分，從而將可靠性從子系統級分配到部件級，最后與其他分配方法做實例對比分析，結果表明，該方法可以實現可靠性目標，并保證了可靠性的增長。

1工業機器人的可靠性模型

工業機器人的結構復雜，由多個部件組成，很難將系統的可靠性直接分配給每個部件。故根據文獻[10]108248對工業機器人進行故障樹分析，將系統分為各種子系統和零部件，其結構如圖1所示，各子系統與相應部件均通過或門連接，轉化為可靠性框圖則為串聯，框架如表1所示。在可靠性分配過程中，首先將整個系統的可靠性目標分配給子系統，然后將每個子系統的可靠性分配給每個部件。本文假設各子系統相依失效，部件也相依失效。

圖1工業機器人Fig.1Industrial robot

對系統進行可靠性分配需要建立系統和組成部件的可靠性模型，傳統的部件串并聯的方式在計算系統可靠性時假設部件之間是失效獨立的，針對部件失效相關的系統可靠性分配問題常用的方法是使用Copula函數。對于串聯系統，可靠性計算式為

表1工業機器人的子系統和相應部件

Tab.1 Subsystemsandcorrespondingcomponentsof

R_s（t）=P（X₁gt;t，…，X_ngt;t）=

Δ_F1（t）¹Δ_F2（t）¹…Δ_Fn（t）¹C_τ（u₁，u₂，…，u_n）

式中， R_s（t） 為系統在 χ_t 時刻的可靠度； P（?） 表示概率；X₁ 為系統的第1個部件； P（X₁gt;t） 代表系統的第1個部件在 Φ_t 時刻正常工作的可能性大小； Δ 為差分符號，即 C_τ 為Copula函數； u_i=F_i（t）= 1-R_i（t），R_i（t） 為第 i 個部件的可靠度。

對于并聯系統，可靠性計算式為

R_s（t）=P（X₁gt;t∪…∪X_ngt;t）=

1-C_τ（u₁，u₂，…，u_n）

為解決系統可靠性分配問題，本文采用GumbelCopula函數，其具體表達式為

式中， τ 為相關程度參數， τ∈[1，+∞），τ=1 時表示組成部件之間獨立失效。

由假設得工業機器人系統可靠性 R_s 為

（4）式中， R₁ 為減速器的可靠性； R₂ 為電機的可靠性； R₃ 為驅動器的可靠性； R₄ 為控制器的可靠性； R₅ 為示教器的可靠性； R₆ 為機械手的可靠性。

一個組件越重要，其在系統中的結構位置對系統的影響就越大，本文引入結構重要度的概念[28]。使用結構重要度來衡量子系統變化對系統變化的影響程度。

記j為系統中任一子系統； p_j 表示第 j 個子系統的狀態； p_j=1_j 表示子系統j正常； p_j=0_j 表示子系統j故障； p 表示其他子系統的某個狀態； ?（p_j，p） 表示系統的結構函數; ?（p_j，p）=1 表示系統正常； ?（p_j，p）=0 表示系統故障。若

?（1_j，p）-?（0_j，p）=1

則表示 j 在 （p_j，p） 這種情形下是一個關鍵部件，此時式（5）等價于

?（1_j，p）=1，?（0_j，p）=0

子系統 j 正常時系統正常 ，j 失效時系統失效，故稱（1_j，p） 為 j 的一個關鍵路向量。記j的關鍵路向量總數為 n_?^′（j） ，則

n_?^′（j）=[?（1_j，p）-?（0_j，p）]

對于有 n^′ 個子系統的系統來說， p 總共有 2^n′-1 種不同的結果，因此定義子系統j的結構重要度為

式中， I_?（j） 表示 j 的關鍵路向量數目在所有 2^n′-1 種可能情形中占的比例。

2基于前饋人工神經網絡的子系統可靠性分配

本文在工業機器人系統的可靠性分配中引入了人工神經網絡。以成功分配的情況作為學習樣本，通過模型訓練，根據專家的設計經驗存儲每個神經元的權重。在將可靠性分配給子系統的過程中，只需將參數輸人模型，就可以得到可靠性分配的結果，具體操作如圖2所示。

圖23層前饋神經網絡

Fig.2Three-layerfeedforward neuralnetwork

在3層前饋神經網絡中，輸入 X={x₁，x₂，…，x_n} 是工業機器人可靠性分配的參數，如系統可靠性、子系統結構重要度、子系統復雜度等。然后通過式（9）計算第 h 個隱藏層的輸入，為

式中， n 為輸人層神經元的數量，依賴于輸人向量的維數； γ_ih 為輸入層第 i 個神經元與隱藏層第 h 個神經元之間的權值。

隱藏層的第 h 個神經元的輸出結果為

Q_h=f（α_h-τ_h）

式中 ，f（?） 為隱藏層的激活函數，這里使用線性整流（RectifiedLinearUnit，ReLu）函數; τ_h 為閾值。

通過式（9）可以計算出輸出層的第 j 個神經元的輸入為

式中， ω_hj 為隱藏層第 h 個神經元與輸出層第 j 個神經元之間的權值； k 為隱藏層神經元的數量，可通過以下方法確定：

式中， m 為輸出層神經元的數量； a 為一個介于1～10的常數。

然后，輸出層中第 j 個神經元的輸出值為

y_j=g（β_j-θ_j）

式中， 為外層的激活函數，通常為線性函數； θ_j 為閾值。

神經網絡的輸出與實際的可靠性分配值之間存在一定的誤差，誤差為

式中， 為對第 j 個神經元期望的輸出值。隨后，開始錯誤的反向傳播過程。

首先，將誤差傳播到隱藏層，即

進一步地，它被傳播到輸入層，誤差為

由式（16）可以看出，誤差是權值 ω_hj?γ_ih 的函數，因此BP算法的過程是指迭代調整權值使誤差最小化，采用梯度下降法使誤差函數收斂到最小值。訓練后的模型需要用一些樣本進行測試，當它達到要求的精度時，可以用來分配工業機器人從系統到子系統的可靠性。

3基于畢達哥拉斯模糊數的可靠性分配

3.1 畢達哥拉斯模糊數的基礎理論

定義 1^[29]119274 ：設 U={a₁，a₂，…，a_n} 是一個有限非空集合，則 U 上的一個PFS為

式中， u_p（a），v_p（a）∈[0，1] 時，表示 U 中的元素 a 屬于 P^′ 的隸屬度和非隸屬度；當滿足 0?u_P²（a）+v_P²（a）?1 時，表示 U 中的元素 Ψ_a 屬于P^′ 的猶豫度。

定義 2^[29]119274 ：設 θ=（u_θ，v_θ） 為一個PFN，其得分函數 s 和精確函數 A 分別為

S（θ）=（μ_θ）²-（v_θ）²

A（θ）=（μ_θ）²+（v_θ）²

式中，S（0）∈[-1，1]; A（θ）∈[0，1]

定義 3^[29]119274 ：設 是3個畢達哥拉斯模糊數，則它們的運算規則為

θ^c=（v_θ，u_θ）

定義 4^[29]119274 ：設 （u_θn，v_θn） 是一組PFN，其權重分別為 φ₁，φ₂，…，φ_n ，其中 ，則PFN加權平均聚合算子為

3.2 分配權重的計算

為了提高子系統到部件的可靠性分配的合理性和有效性，本文選擇6個影響因素，即重要程度 h_1? 環境條件 h₂ 技術水平 h₃ 、可維修性 h₄ 、費用靈敏度 h₅， 復雜性 h₆ ，其遵循的可靠性分配原理30如表2所示。

在對這6個影響因素進行評分時，邀請一位專家分別對子系統的部件使用PFN進行評價，構造的決策矩陣 Z_xy（xy 代表第 x 個子系統的第 y 個部件； x= 1，2，…，6 ： y=1，2，…，n₀） 如下：

一個PFN包含隸屬度部分、猶豫度和非隸屬度部分，本文使用十一分標度3來轉化語言標量，評分標準如表3所示。例如，若 Z_x 中 則表示第 x 個系統中第 y 個部件第 k 個影響因素符合工業機器人正常工作的隸屬度和非隸屬度。

表2工業機器人子系統-部件的分配基本原則

Tab.2 Basic principles ofcomponent allocation for

由于重要程度 h_?1? 技術水平 h₃ 可維修性 h₄ 隨評分的升高，分配的部件可靠性增大，環境條件 h₂ 費用靈敏度 h_s 復雜性 h₆ 隨評分的升高，分配的部件可靠性降低，故決策矩陣需統一標準，為

然后構造得分矩陣 ，其中

則得到第 x 個子系統第 y 個部件的綜合評分為

那么 y 個部件的權重因子為

表3語言術語到模糊分數轉化的十一分制表

Tab.3Eleven-point table forconvertinglinguistic terms into fuzzy scores

假設部件的壽命分布服從指數分布，第 x 個子系統第 y 個部件的失效率為 λ_xy ，則部件的可靠性隨失效率的增大而減小，而在部件獨立失效的串聯子系統分配方式為 ，其本質反映的是分配權重 w_xy 越大（部件的重要程度 h₁， 技術水平 h₃ 可維修性 h₄ 越低，環境條件 h₂ 、費用靈敏度 h_s 復雜性 h₆ 越高），部件分配得到的可靠性越小，故部件失效率與分配權重對部件可靠性影響單調性一致，可考慮使用失效率按分配權重計算，則

通過聯立上述方程組，即可求出在 Φ_t 時刻，子系統滿足 R_x ，各個部件該分配的可靠性 R_xy（t） 。

4實例分析

假定工業機器人系統壽命服從指數分布，設定系統的目標為平均壽命達 80000h ，如果系統運行1920h ，則可靠性為 R_s=e^{（-0.0000125×1920）}=0.9763 采用3層前饋神經網絡將工業機器人系統的可靠性分配給各個子系統，表4列出了一些已成功分配的案例數據，即學習樣本。由表4可知， ，其中相關系數 τ 取值為2，這說明子系統的可靠性分配結果可以保證系統的可靠性達到設計目標。

表43層前饋神經網絡的部分學習樣本Tab.4Partof thelearningsamples forthree-layerfeedforward neural networks

系統可靠性是指整個系統的可靠性目標，復雜度是指子系統中的部件數量占整個系統的部件數量的比例。根據式（7）～式（9）選擇由輸入層的3個節點組成的前饋神經網絡，即系統可靠性、結構重要性和復雜性。隱藏層有4個節點，輸出層有1個節點。40個樣本按照 70% 的訓練樣本、 15% 的驗證樣本和 15% 的測試樣本的比例輸人到模型中。將工業機器人的相關參數輸人到具有足夠精度的模型中，并對其進行了分配，可以得到如表5所示的6個子系統。由式（14）知，誤差 E=0.000048 ，非常小，這說明BP神經網絡預測數據合理。

表4子系統的可靠性分配結果

Tab.5Reliabilityallocationresultsofsubsystems

將工業機器人系統可靠性分配給相應子系統后，下一步將子系統可靠性分給相應部件，以減速器子系統為例，其組成部件有齒輪、軸承、轉動軸、針齒，邀請3 位專家采用 PFN 分別對相應部件的重要程度 h1、環境條件h2、技術水平h3、可維修性h4、費用靈敏度h5、復雜性h6進行評分，構造6個決策矩陣，評分結果為

由文獻[32]可知工業機器人各部件的失效率，由此可得 t=1920h 時各部件的當前可靠性，如表6所示。

與表5數據對比可知，基于BP神經網絡的分配方法與文獻 [10]¹⁰⁸²⁴⁸ 的研究方法得出的各子系統可靠性相對誤差分別為 0.009 8.0.012 5…0.011 9.0.005 8. 0.0018、0.006，說明誤差小，該方法有效，不同的是，本文方法要求減速器、電機、驅動器、控制器、示教器、機械手的可靠性均略低于文獻[10]108248方法。這說明在考慮系統可靠性、子系統結構重要度、子系統復雜度的情況下，利用BP神經網絡預測的可靠性結果比較樂觀。由于工業機器人是集機械、電力、計算機科學、控制和機制理論、信息和傳感器技術、人工智能等學科為一體的復雜耦合系統，考慮其部件相關失效更符合實際情況，并且運用BP神經網絡預測的結果也能減少工業機器人的成本。

由表6可知，在工作 1920h 時，大多數部件的工作狀態能滿足工業機器人平均壽命達 80000h ，剩余一些部件如軸承、轉動軸、針齒等則需要進行維修，增強一些可靠性，方能滿足條件，以達到可靠性目標。

表6各部件分配的可靠性和當前可靠性

Tab.6 Reliability ofcomponent allocationandcurrentreliability

5結論

提出一種結合BP神經網絡和PFN的工業機器人系統的可靠性分配方法，通過該方法得出主要結論如下：

1）建立了考慮部件失效相關的工業機器人系統可靠性模型，并提出了可靠性分配的原理

2）在系統可靠性分配到子系統可靠性的過程中，引入BP神經網絡來預測子系統可靠性，輸人變量考慮了系統可靠性、子系統的結構重要度和子系統復雜度。

3）在考慮子系統可靠性分配到部件可靠性的過程中，將重要度、環境條件、技術水平、可維修性、費用靈敏度、復雜性6個影響因素作為分配準則，引入了模糊理論和PFN來評價，以此減少了專家評價過程中的主觀性。

4）完成工業機器人的可靠性分配后，分別與相關文獻和部件當前可靠性作對比，結果表明，此法可以在減少成本的同時完成可靠性目標，并且可以將不滿足要求的部件檢驗出來并及時維修。

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Abstract：Inorder toensure theindustrialrobotrealizes thereliabilitygoal，reliabilityalocationisatasktobe accomplished initsmanufacturing design stage.According tothecharacteristicsof industrial robots，suchas complex structure，highucrtaintyewmplesndilureoelationtweencomponntparts，aabilityaloationtodfor industrialrobot systems basedonBP neural network and Pythagorean fuzzy numbers was proposed.Using Copula functionto establishasystemreliabilitymodel，thefailuresofindustrialrobotswereclasifiedintothreelevels，thesystemlevel，the subsystem level，andthecomponentlevel.Byusingthebackpropagation（BP）neuralnetwork，thesystemreliability subsystem structureimportanceand subsystemcomplexityweretakenas the input variablestocompletethesystem-tosubsystemreliability allcation.The Pythagoras fuzzy number was introduced toscore the influence factorsof importance， environmentalcondition，technicallevel，maintanabilitycostsnsitivityandcomplexityompletetheeliabilitylatio fromthesubsystem leveltothecomponentlevel.Theresultsshowthatthe methodologyachieves reliability goals and nsures reliability growth.

Key Words：Reliabilityalocation; Industrial robot; Copula function; BPneural network; Pythagorean fuzzy number

Corresponding author： DONG Qiuxian，E-mail： dongqiuxian@163.com

Fund：National Natural Science Foundation ofChina （72071099）

Received：2023-11-05 Revised： 2024-01-08