高中數學概念教學培養數學素養的路徑設計

數學概念反映的是事物的本質屬性，概念教學是幫助學生把握問題實質、理解數學思想、培養核心素養的基礎工程。然而在實踐中，許多教師將數學概念教學僅僅作為一般性知識灌輸，忽視情景導人、單向羅列闡釋、大量刷題強化，無形中虛化了知識技能的形成過程，降低了求知探索的情感體驗，更談不上思維能力的培養。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確了數學素養的四個方面：情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思。因此，應當從課標要求出發，按照創設情境、導入問題，提煉知識、形成技能，貫通思維、外化表達，互動交流、深度反思的路徑，設計切實可行的教學策略，切實培養數學素養，提高教學質量。

一、把握一個“實\"字一創設情境、導入問題

高中數學概念的抽象性較強，特別是一些核心概念，往往涉及比較復雜的內涵外延，容易造成學習理解的堵點和障礙。恰當地創設教學情境、設計導入問題，有助于“具象化\"數學原理，“興趣化\"推理過程。創設情境、導人問題，關鍵是要把握“實”的要求，按照立足實際認知、聯系真實生活、立足堅實基礎、活用現實科技的可行路徑，引導學生在情境問題中提升抽象、推理、建模等核心素養。

（一）基于實際認知能力

只有基于學生的實際認知能力創設教學情境，才能保證學生有效把握知識的意蘊。這就要求在教學設計之前，扎實做好學情分析、充分了解學生特點。在影響認知能力的諸多因素中，學生年齡和學習內容最為關鍵。例如，在講解偶函數的數學概念時，教師要充分考慮高中一年級學生抽象能力有限的認知特點，可以借助一些軸對稱的圖形剖析對稱問題，幫助學生生動理解y軸對稱的含義。

（二）聯系真實生活體驗

聯系學生的真實生活體驗創設情境，能夠迅速拉近概念與學生的距離、無縫連接現實與數學的空間。高中數學應用場景無處不在，關鍵在于選擇學生熟知的、便于學生理解的引入課堂。前提條件太多、應用背景復雜的，會“喧賓奪主\"“節外生枝”，不利于達成設計目的。這就要求教師轉變視角，從學生的角度，結合學生關注點、興趣點找到結合點。比如講解概率概念，可以導入購買體育彩票、參加抽獎活動等場景，引導學生思考自己能否中獎等問題，將概率概念建立在學生生活體驗的基礎上。

（三）立足堅實知識基礎

高中數學體系性很強，知識點與知識點之間、概念與概念之間有著緊密聯系。教學過程中，要善于利用知識遷移創設情境，將后續概念建立在前期堅實的知識基礎之上，形成循序漸進的邏輯體系。在操作中可采取“問題串”思路，針對相關數學概念設計環環相扣的一系列問題，有效引接之前知識、輔助構建知識網絡。比如在講解橢圓概念時可以有針對性地設計問題，如橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質奠定基礎？取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓，如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1、F2上，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？應該如何完善剛才對橢圓的定義？這樣就達到問題逐層深化、知識層層遞進的教學效果。

（四）利用現實科技手段

據統計，人類獲得的信息百分之八十來自視覺。隨著教學技術手段不斷進步，創設情境已不再局限于口述筆畫。教師應當“善假于物”，努力提高運用信息化、智能化教學手段的能力，為數學課堂生“趣”增“色”。例如，利用教學軟件呈現概念的動態模擬和教學互動過程，讓學生通過觀察和操作直觀理解抽象概念；借助智能化教學平臺，量化監測分析學習情況，適時反饋概念教學效果，精準匹配指導策略。

二、聚焦一個\"探\"字一提煉知識、形成技能

荷蘭數學家弗賴登塔爾所言：“數學教育是數學的‘再創造’。\"從本質上講，研究數學的過程就是解決問題的過程，這其中充滿了探索的艱辛，也蘊含著探索的快樂。提煉知識、形成技能，關鍵是要聚焦“探\"的要求，按照巧用活動探究、設計分組探究、強化獨立探究的可行路徑，引導學生在解決問題的過程中自然而然地內化知識和技能。

（一）巧用活動探究，提高課堂參與度

真正讓學生“探\"起來，首先要在提高參與度上想辦法，讓不同層次、不同性格的學生都加入進來。例如，針對錐體體積公式，設計容器演示活動獲取感性認識，讓學生親自操作三份錐體容器液體灌滿同底等高的柱體容器，在可視化基礎上用祖恒原理證明錐體體積公式。通過趣味游戲或互動活動，讓學生在輕松愉快的氛圍中觀察現象、操作實物、思考原理、推導概念，提升其數學抽象、邏輯推理等素養。

（二）設計分組探究，培養求知自主能力

學生分組合作探究，是一個非常有意義的學習經歷，不僅能夠培養團隊合作意識和溝通能力，而且可以通過互相借鑒拓展方法技巧，通過集智攻關強化自主求知。在設計分組探究時，要根據數學概念的難易程度和學生的認知水平，選擇有一定深度的問題，采取適當規模的分組形式，堅持強弱搭配、取長補短的原則，靈活運用同步探究、組間分工、限時競賽、角色限定等模式，將不同學習水平的學生都納入進來，形成集體探究、各抒己見的良好求知氛圍。

（三）強化獨立探究，提高學生獲得感

數學教學是一種慢藝術。正所謂，不憤不啟，不悱不發。要想深化教學效果，必須推動學生進行卓有成效的思考。可以按照教師啟發、個人探究、集體匯總的思路，采取課前布置任務、課下思考研究、課上討論交流、課后總結歸納等不同模式，為學生自主探索留足時間空間，讓他們在嚴格的推導證明中體會邏輯推理、數學表述的邏輯美和嚴謹性。值得一提的是，好學生都是鼓勵出來的。教師對于學生的探究成果，應當予以及時的、充分的肯定。

三、圍繞一個“融\"字一貫通思維、外化表達

思維與表達反映的是學生的思維結構和表達水平，具體體現是思維的完整性和表述的準確性。貫通思維、外化表達，關鍵是要圍繞“融\"的效果，按照知識結構融合、不同學科融合、認知表達融合的可行路徑，引導學生在深刻理解數學概念的基礎上，用自然語言和符號語言準確表達概念內容，實現概念內化、思維進階。

（一）以教材為中心，推動知識結構融合

掌握數學知識結構可以幫助學生建立起正確的數學思維模式，從而加深學生對數學概念的理解和應用。課標把高中數學教學分成了若干主題，各個主題內部的知識具有顯著的關聯，構成了概念教學的邏輯主線。推動知識結構融合，要按照“主題一主線一單元\"的整體設計路徑，在把握具體概念內容要求、教學要求及學業要求的同時，厘清概念主題屬性，遵循概念生成脈絡，呈現最佳知識結構，實現概念教學的整體性、相關性和序列性。例如，基本初等函數的應用單元知識結構梳理（人教A版高中數學必修一），按照“基本初等函數的應用單元是以什么函數、幾種常見的基本初等函數、函數的應用”梳理，符合學生的認知規律。在函數解決實際問題中又按“了解函數模型的應用、體驗函數模型的應用、自主實踐模型的應用”三部曲展開。

（二）以應用為導向，探索不同學科融合

課標在論及課程內容時強調數學與生活及其他學科的融合。在概念教學中探索不同學科的融合，關鍵是要找到恰當的應用問題，不但指向教學目標，而且具有啟發意義。因為數學是研究科學的工具，或為科學假說建立模型，或為理論探究提供證明，因此數學研究與科學研究高度耦合，恰當的應用問題并不難選擇。例如，三角函數概念是高中數學的核心概念之一，具有典型的跨學科性，通過引入物理學科中波的運動、簡諧振動等知識點，引導學生利用三角函數解決物理問題，有利于學生把握數學概念的應用價值；闡釋正四面體概念時，可以組織學生討論甲烷的空間結構，根據化學共價鍵知識論證正四面體結構的合理性；分層抽樣教學中，可以設計貼近學生生活的統計類問題，與信息技術教師合作，輔助學生設計抽樣程序、學習統計軟件、組織線上問卷調查；等等。

（三）以內化為目標，引導認知表達融合

學然后知不足，教然后知困。培養數學表達能力，是內化概念的重要途徑之一。讓學生用數學語言或自然語言闡釋數學問題，能夠幫助學生融合認知與表達、感性和理性，推動具體知識和技能進階為思維能力。可以由學生擔任小老師，按照教師發布任務、課堂自主講解、學生點評交流等步驟，以講解任務驅動閱讀相關材料，主動求知求學。講解時間不宜過長，以能夠講清主要內容為宜。在講解過程中，教師需要準確研判學生對概念的理解程度，有針對性地進行引導和指點。例如，在“等比數列\"這一數學概念的教學中，學生已經有了等差數列的學習經驗，可以讓學生分析等比數列定義、通項公式、等比數列的性質等。

四、著眼一個“悟\"字一互動交流、深度反思

課堂教學的過程，是師生之間圍繞數學知識由淺入深的一場對話。教師通過交流互動、傾聽分析，捕捉學生的獨立見解，發掘學生的思維脈絡，將不成熟、不系統的思想觀點轉化為規范、系統的數學表達。互動交流、深度反思，關鍵是要著眼“悟”的目標，按照在拓展審視中深化、在互動交流中總結、在溫故知新中反思的可行路徑，將交流與反思貫穿課堂教學始終，將學生對數學概念的領悟不斷引向深入。

（一）在拓展審視中深化，完善知識體系

在數學教學中，數學概念相當于“題眼”，以概念為出發點和連接點，能夠將散亂的知識條理化、體系化。例如，在橢圓、長軸、短軸、焦點等概念基礎上，進一步探究橢圓的對稱性等幾何性質；在基本不等式概念基礎上，研究基本不等式的變形，拓展基本不等式的思想方法和解題思路。在拓展審視的過程中，練習的作用不容忽視，科學的習題設置能夠引發認知沖突，推動對概念的理解。選擇構思習題時，要把握好習題的典型性、啟發性、層次性和開放性，針對內涵外延、涵蓋基本應用、激發探究欲望，引導學生在多維度思考、多元化解題中強化批判精神、樹立創新意識、完善知識體系。例如，針對二次函數的問題，將求解二次方程、分析拋物線性質等納入進來，設置諸如二次函數的基本性質、圖像、最大值或最小值求解、與反比例函數等其他概念比較分析等問題，引導學生建構知識關聯，漸學漸深。

（二）在互動交流中總結，感悟數學思想

在對概念有了一定理解、解決一定量問題的基礎上，需要適時歸納總結。根據學生的具體情況，可以采取個人自主講解和分組研討講解的方式組織，把時間和課堂留給學生，促進學生理解，提高學生表達能力。在總結中要注重三個事項：一是向前關聯，鞏固既有知識。通過結構化教學設計，引導學生有重點地回憶散亂知識，完成新舊知識間橋梁的搭建。例如，學習基本初等函數，設置的問題可以涉及已學函數，有選擇地帶出反比例函數、二次函數、冪函數等基本概念。二是揭示思想，關注核心素養。既要注重具體知識的歸納梳理，也要同步揭示探索過程中體現的數形結合、歸納演繹等數學思想，還可結合概念形成的發展歷史挖掘課程思政價值，升華學生對數學思想的綜合理解。三是梳理脈絡，繪制思維導圖。通過思維導圖幫助學生將概念、定理、公式等有機連接，建立整體認知，促進思維外化和知識遷移，提高數學思維能力和問題解決能力。

（三）在溫故知新中反思，理解核心概念

核心概念在各自章節和模塊學習中起著引領和紐帶作用，能夠輻射其他相關概念的教學。核心概念內涵比較豐富，對其完全理解需要反復深化、溫故知新。這就要求教師增強圍繞核心概念梳理教材的意識，分析概念核心及相關概念組成的體系。例如，函數概念是高中數學的核心概念，與數列、隨機事件概率、三角函數、單調性、奇偶性、周期性、向量基本定理等后續概念都具有緊密聯系。要切實優化教學反饋效能，如借助在線學習平臺、虛擬實驗環境等手段，多時段、綜合性評估學生對核心概念的理解程度，有針對性地開展盲點補缺、強化學習。通過溫故知新，讓學生對核心概念進行理解，實現從“看山只是山\"的初步認知，到“看山不是山\"的拓展解構，再到“看山又是山”的動態遞升。

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責任編輯：唐丹丹