基于壓縮感知的快速Bregman地震數據重建方法

中圖分類號：P631.4 文獻標志碼：A

Abstract：Due to factors such as ground environment，equipment limitations，andcosts，seismicdatacollcted inthe field oftensuffer from missing traces.Therefore，therapidand efectivereconstruction of missng seismicdata iscrucial.Toaddressthis issue，we propose a seismic data reconstruction method based on compressed sensing theory，utilizing afast Bregman approach with multiscale and multidirectional curvelet transforms asthe sparse basis.The Bregman method decomposes the solution of the L_i -norm minimization problem into a series of subproblems，which are efficiently and accurately solved usingthefast iterativeshrinkage-thresholdingalgorithm（FISTA），therebyachieving high-qualityreconstructionof misingdata.Experimentalresultsdemonstratethatthefast Bregman method basedoncompressd sensingcan eficientlyreconstruct complex synthetic seismic data and enhance the acuracyof iterativecomputations.Complared to LBMand FISTA methods， the proposed method achieves superior performance in both reconstruction efficiency and accuracy.

Keywords：seismicdata reconstruction；compressedsensing；fast Bregman method;fast iterativeshrinkagethresholding al

gorithm；curvelet transform

維反射地震勘探技木受到了業內的高度天汪」。但是，在數據采集過程中，地表障礙物的存在、地形條件、采集設備硬件等問題可能導致缺失道。大部分情況下，地震數據處理需要一個規則且密集的數據集輸入，這對于獲取高分辨率結果非常重要。地震數據重建是一種預處理的過程，即通過一定的方法對不完整采樣下的缺失地震道進行插值處理，恢復出完整的或采樣率更高的數據[3-4]，這對于后續的偏移[5-6]、表面多次波消除[7]、振幅-偏移（AVO）分析[8]等處理步驟非常重要。壓縮感知理論作為一種可以潛在減少勘探時間和增加數據分辨率的地震數據采集新方式[9]，它打破了信號采樣中 Nyquist采樣定理的限制，可以在遠低于Nyquist采樣頻率的條件下恢復地震數據。基于壓縮感知理論的地震數據重建方法主要分兩個部分：稀疏表示和迭代重建方法。地震數據首先進行稀疏表示，稀疏矩陣中非零值越少，其稀疏特性能力就越強。為此，許多學者利用不同變換如傅里葉變換[10]、Curvelet 變換[11-12]、小波變換[13]和Seislet變換[14]，對地震數據的稀疏性進行了研究。Herrmann 等[15]提出了基于曲波變換稀疏促進策略的地震數據重建技術，并取得了良好的效果。Bregman迭代方法可以用于處理各種類型的優化問題，被成功應用于圖像分析[16]領域。該方法在壓縮感知領域求解 L₁ 最小范數的最優化問題時表現出色，為地震數據重建提供了有效途徑。Bregman 算法需要通過求解一系列子問題來逼近原始問題的最優解，每個子問題的求解速度會影響整體的迭代速度。隨后，研究人員提出了許多加速迭代的方法，其中一種為線性Bregman方法（LBM），它通過只閾值化下一次的梯度項系數加速收斂，提高迭代速度，但在每一次迭代過程中，由于部分未閾值化的系數參與重建，因此會導致結果的準確性下降[17]。因此，一些學者嘗試將線性 Bregman 迭代方法與其他迭代方法相結合，提高地震數據的重建精度，白蘭淑等[18]綜合了迭代收縮閾值方法（ISTA）方法與線性Bregman方法的優點，加快了迭代初期的收斂速度，減弱迭代后期噪聲干擾的影響，使后期迭代精度提高。由于只采用普通線性Bregman方法及傳統的線性閾值公式，因此重建精度和計算效率仍受到一定限制。龐洋等[19]將加速Bregman方法與ISTA方法結合，采用指數閥值參數公式，相較于傳統聯合方法，進一步提高了計算速度;第二種是以 Breg-man迭代算法為基礎，結合不動點延續算法（FPC）的一種新Bregman迭代框架[20]，Wang等[21]利用離散正交Coiflets和Symlets小波變換使地震數據稀疏化，采用FPC與Bregman迭代方法聯合求解L₁ 范數最小化問題；第三種是由Goldstein和Osher提出來的分裂Bregman方法[22]，用于解決圖像去噪和醫學成像的壓縮感知問題。隨后，郭萌等[23]提出了一種基于雙重Bregman地震數據重建方法，它的外部迭代采用FPC迭代框架用于地震數據重構，內部迭代使用分裂Bregman迭代去噪方法來進一步提高信號的恢復效果。受到Beck和Te-boulle[24]中引入的快速迭代收縮閾值方法（FIS-TA）的啟發，筆者提出一個基于壓縮感知的快速Bregman地震數據重建方法。在壓縮感知數據恢復框架中，使用曲波變換作為促進稀疏性的變換。然后利用Bregman方法將 L₁ 問題分解為一系列子問題，簡化計算，采用FISTA快速求解子問題，實現對缺失地震數據的高精度恢復。

1重建方法原理

1.1 壓縮感知理論

基于壓縮感知重建地震數據的問題可以轉化為求解以下數學方程的問題：

y=?x.

式中， ?y 為實際測量的數據； x 為完整的地震數據； ? 為觀測矩陣，也稱為采樣矩陣或采樣算子，它將高維地震數據投影到低維空間中，以便于計算。

原始地震數據通常不滿足稀疏性條件，需要使用稀疏變換進行稀疏表示。完整的地震數據可以進一步表示為

式中， s 為稀疏變換域中的地震數據的系數； ψ 為稀疏變換。將方程（2）代入式（1）得到

y=?ψ^Ts=As.

式中， 為傳感矩陣。利用壓縮感知理論可以將求解等式（3）轉化為如下問題：

min_s|s|₀，s.t.As=y.

式中， |?|₀ 為 L₀ 范數，即數據的非零個數。 L₀ 范數的求解比較困難，將 L₀ 范數最優化問題轉化為 L₁

范數的最優化問題：

min_s|s|₁，s.t.As=y.

式中， |?|₁ 為 L₁ 范數。在壓縮感知理論中，稀疏系數的值 s 可以通過求解 L₁ 范數的最優解來獲得。然后，式（5）可以轉換為

式中， ?_μ 為懲罰參數，它決定 L₁ 項與 L₂ 項之間的權重； σ 為設定的迭代停止參數。通過求解稀疏系數 s 代入式（2）可求得完整的地震數據。

1. 2 曲波變換

圖1（a）為含有256道，每道含有500個采樣點，時間采樣率為 4ms 的合成地震數據，圖1（b）、（c）和（d）為傅里葉變換域、小波變換域和曲波變換域。曲波變換是一種多尺度、多方向的數學變換，它有效地彌補了傅里葉變換和小波變換的不足，能夠更好地對地震數據進行稀疏表示，因此筆者利用地震數據在曲波域的稀疏特性，重構高信噪比地震數據。二維曲波變換可以表示為

式中， s 與式（2）中的系數相同，在這里表示曲波系數； ?x，C_m? 表示 x 和 C_m 的內積運算； C_?m 表示曲波基函數； m=（j，h，l） ，其中 j，h，l 分別為尺度、方向、位置參數； t₁?t₂ 為地震數據 x 的時間窗，則地震數據可以用曲波系數和基函數表示為

將式（2）中的 ψ 域選取為曲波域，則式（8）與式（2）相對應，帶入式（1）可以得到

圖1不同稀疏變換

Fig.1 Different sparse transformations

1.3快速Bregman迭代地震數據重建方法

Bregman迭代算法不是一次求解式（6），而是簡化成一系列無約束子問題，使得子問題的每個解為s_?k，k=1，2，3，… ，其中子問題序列如下：

式中 表示與 J（θ?θ） 相關的 Bregman 距離; J（s）=|s|₁ 表示凸函數; ?y_k，s-s_k? 表示 y_k 和 s-s_k 的內積運算； y_k 為凸函數 J 在 s_k 處的次微分，Bregman迭代方法可以表示為

Bregman迭代方法的優勢在于，公式（11）中的懲罰參數 μ 為常數，因此確保能夠快速迭代，在每次迭代中，通過求解一系列簡化的子問題來更新解向量，從而逐步優化目標函數，直到收斂到滿足式（6），每一個子問題能夠通過迭代收縮閾值方法（IS-TA）求解，如下所示：

其中

式中， d 為合適步長，能保證收斂； T_λ 為軟閾值算子； λ 為閾值因子。

軟閾值和硬閾值是兩種常用的閾值函數。軟閾值相對于硬閾值具有平滑信號的特點，避免了硬閾值的截斷效應，能夠更好地保持信號的光滑性。為了解決硬閾值引起的抖動效果，本文選擇了軟閾值函數進行處理。

為了提高公式（12）的求解效率，Beck 等[24]采用了梯度加速策略，使ISTA算法的收斂速度從 σ_o 變成 。FISTA與ISTA算法相比，僅僅多了Nesterov加速步驟，以極少的額外計算量大幅提高了算法的收斂速度。本文中利用FISTA方法作為式（11）的迭代算子，并在Bregman迭代框架下求解目標函數（式（6）），可得如下方程：

式中， q_k 為中間變量。最終的重建結果為

式中， 為重建的地震數據。需要注意的是，在加速Bregman迭代公式（13）和（14）中，數據空間 y_k 和模型空間 s_k 是兩套并行的迭代體系，而ISTA和FISTA方法只有一套獨立的迭代方程，因此加速Bregman方法與ISTA以及FISTA存在本質的不同。

基于曲波變換的快速Bregman迭代地震數據重建方法實現步驟如下。

（1）輸入缺失的地震數據 y （2）利用曲波變換對數據進行分解;

（3）初始化變量。閾值參數 λ_max=|Cy|_∞gt;λ₁gt; λ₂gt;…gt;0 ，誤差 σ，q₀=y₀=s₀=0，k=0，d₁=1 ;最大迭代次數 L ，懲罰參數 μ ：

（4）迭代開始。

循環：判斷

（5）執行 k=k+1 ：

（6）輸出 s_k+1 ，根據 x=C^Ts_k+1 計算重建的地震數據。

上述算法在迭代過程中，閾值因子可能會隨著迭代線性或指數下降，以減少截斷效應。線性閾值模型一般設置為

指數閾值模型[25]一般設置為

式中， N 為最大迭代次數； λ_max 和 λ_min 分別為設置的最大和最小閾值。指數閾值模型相比線性閾值模型在保證求解精度的同時收斂速度更快，節省計算工作量，故本文中閾值參數選擇為指數閾值參數。

2 理論模型實驗及方法對比

2.1 性能評價指標

為了比較各方法的重建效果，本文中引入信噪比 R_sN 評價指標[26]，其定義如下：

式中， x 為完整數據模型； 為重建地震數據，顯然R_sN 值越大說明重建效果越好。

2.2 復雜構造模型測試

本文中所用的復雜地質構造模型如圖2（a），該模型為采用有限差分法模擬的單炮記錄，共600道接收，時間采樣個數為3000，時間采樣率為 1ms 。圖2（b）為隨機缺失 50% 的數據，圖2（c）和圖2（d）分別為其對應的頻譜圖。選用LBM方法、FISTA方法和本文中提出方法進行地震數據重建，得到如圖3所示的重建結果及對應的頻譜圖。

圖3（a）為使用LBM方法重建的地震數據。可以觀察到，淺層的強能量軸和地質構造比較復雜的數據的重建效果較差。從圖3（d）的頻譜圖中可以看出，由于數據缺失分散的能量沒有被很好地集中在低波數部分，分散在高波數的能量依然很多。

圖3（b）展示了使用FISTA方法重建的地震數據。可以觀察到，即使是淺層的強能量軸和地質構造較復雜的數據也能夠較好地恢復出來。從圖3（e）的頻譜圖中可以看出，部分能量得到了一定的恢復，但仍然有一部分能量分散在不同的波數成分中。

圖3（c）為使用本文中提出的快速Bregman方法進行地震數據重建得到的結果。相較于前兩種方法，本文中提出的方法在重建同相軸的連續性和光滑性方面有了很大的提高，能夠準確恢復缺失道數較多的位置。特別是對于淺層的強能量軸和構造變化復雜的位置，重建效果較好。根據圖3（f）的頻譜圖，可以看到由于數據缺失造成的假頻現象已經得到很好的抑制，重建的能量較前兩種方法更加集中。

從圖4收斂速度對比可以看出，本文方法在30次迭代后就開始收斂，而其他方法需要50次才開始收斂，迭代60次才能達到與本文方法相當的重建效果。因此，在復雜地震數據處理中，本文方法在較少的迭代次數下能有效地對缺失道進行重建，提高了地震記錄的信噪比

圖2復雜構造地震數據及頻譜

Fig.2Complex structure seismic data and spectrum

圖3三種方法復雜模型重建結果及頻譜

Fig.3Results and spectrum of complex data reconstruction by three methods

圖4LBM、FISTA和本文方法復雜數據的重構信噪比及收斂速度對比Fig.4 Comparison of signal to noise ratio and convergence speed for LBM，FISTA and the proposed method on complex data

3 實際資料測試

為了進一步驗證本文方法的有效性和實用性，對某陸上二維實際資料進行了試處理。圖5（a）為含有335道，每道含有1000個采樣點，采樣間隔為4ms 的單炮記錄。由于原始地震數據存在較強的隨機噪聲，并且在局部地段存在壞道，缺失地震道較多，如果不對地震道進行良好的重構，將對后續的處理產生影響。應用本文中提出的方法對該數據進行處理，得到如圖5（b）所示的地震剖面。可以觀察到經過恢復后，各缺失道和壞道均得到了很好的恢復，地震同相軸光滑且連續。

圖5實際地震記錄測試結果

Fig.5Test results of real seismic data

4結束語

本文中提出了一種基于壓縮感知Curvelet域的快速Bregman地震數據重建方法。該方法在Breg-man迭代算法基礎上，通過引入FISTA迭代方法求解一系列子問題進行迭代重建缺失地震數據，提高了迭代計算的速度和重建精度，過程中采用軟閾值公式和指數閾值模型。由模型數據重建結果分析可以看出，本文方法能夠快速有效的重建缺失地震數據，并且重建精度高于LBM和FISTA方法。在實際地震資料處理中也得到了較好的重建效果，進一步體現了本文方法具有較強的適應性。

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（編輯修榮榮）