溫度-應力耦合作用下高密度聚乙烯板殼結構的導波頻散特性

中圖分類號： TE88 文獻標志碼：A

Abstract：Ultrasonic guided waves are widelyused indefect identificationanddamage monitoringof high-densitypolyethylene（HDPE）plate/shellstructuresdue to their convenience and high eficiency.However，the temperature change and structural stress intheserviceenvironmentcan bring uncertaincoupling efects tothedispersion characteristicsof guided waves，limitingthereliabilityofguidedwavedetection technology.Inthispaper，basedontheFloquet-Blochperiodic boundary，thedispersionanalysismodelof HDPEplateandshellstructureisestablishedbyconsidering the initialstrainenergyof hyperelasticmaterialunder temperature-stress coupling.The influenceof temperature-stress couplingon modal wave structure，dispersioncurveand phase velocitychangeunderdiferentguided wave propagationdirections isstudied，and the accuracyofthemodelisverifiedbyexperiments.Thetemperatureandstressensitivityfactorsareintroducedtocharacterize the sensitivityof thephase velocityoftheguided wave mode totheambient temperatureandstressatdiferent frequencies. Theresults show thatthe inhomogeneous stress state intheguided wave propagation plane under uniform temperature variationsalters thedisplacement wave structuredistributionsof theLambandSHmodes，resulting inthedispersioncurvesof the tworepellingeachotheranddeviatingfromeachotherattheiroriginalintersection points.Thephasevelocitychangesarerelatedtothetemperature-stresscouplingconditions，frequencyand propagationdirection.Theeffectoftemperaturechangeon the phasevelocityof the waveguide modes is significantly greater thanthatof thestructural stress atthesame strain.The Lamb-AO mode with a frequency range higher than 1O kHz and the SH₀ mode are both weakly sensitive to temperature changesand structural stress，andcanreducethe interference ofenvironmental factors onthe guided wave signal.Theresults explainthe coupling influence of diferentambient temperatures and stress onthe dispersion characteristicsof guided waves.

Keywords：HDPE plate/shellstructures；temperature-stresscoupling；Floquet-Bloch periodic boundary；dispersioncharac teristics； sensitivity analysis

高密度聚乙烯（HDPE）板殼結構具有很強的柔韌性、耐腐蝕性和可熔接性，被廣泛應用于油田集輸系統及城鎮燃氣輸配等石油化工領域[1-2]。但受材料特性、服役環境和加工制造過程的影響，這些HDPE板殼結構在運行過程中不可避免地會產生材料性能退化和損傷累積，嚴重威脅工業設施的可靠性和安全性[3-4]。超聲導波因其檢測范圍廣、損傷靈敏度高和便捷高效等優點，目前被廣泛應用于板殼結構的損傷檢測和結構健康監測[5-6]。然而，實際服役環境中的溫濕度變化[7]、結構應力[8]等因素會影響導波模態的頻散特性，并在損傷信號中引入不確定性特征，從而限制導波檢測技術的可靠性和準確性。為此，國內外學者針對典型環境因素對導波頻散特性的影響開展了一系列研究。環境溫度變化會改變材料模量和幾何特性，從而影響導波的頻散特性。現有研究從不同角度探索了溫度變化對導波信號幅值、相位和波速的影響規律。Raghavan等[9]通過試驗研究了溫度變化對板殼結構中Lamb波傳播特性的影響，但只分析了特定頻率下的部分低階模態。在此基礎上，Jacob等[1發展了熱致聲彈性理論，理論分析了熱致應變對鋁板相速度和群速度的影響。Yang 等[1]提出了半解析有限元模型，首次探討了非均勻溫度變化對鐵軌結構中導波頻散特性的影響，得到了不同頻率下導波波速對溫度的敏感性。然而，該研究忽略了非均勻溫度引起的結構熱應力，且缺乏試驗驗證。結構應力的存在會顯著影響導波波速、信號的幅值和相位。Gandhi等[12]采用部分體波疊加法計算了單軸應力板中蘭姆波的相速度頻散曲線。Mohabuth等[13-14]著重探究了單軸應力下高階導波模態的相速度變化規律。隨后，Pei等[15基于增量變形理論探討了鋁板中高階蘭姆波的聲彈性效應，發現截止頻率處的高階模態在應力無損評估技術中具有應用潛力[16]。近年來，Kang和Qiu等[17-18]開始考慮結構應力下壓電陶瓷片的機-電轉換特性，通過試驗和多物理場仿真進一步探究了結構應力對導波信號幅值和相位的影響機制。綜上所述，溫度和應力作為典型環境因素對導波頻散特性的影響是顯著的。然而，上述研究只考慮了單一環境因素，針對實際服役環境中溫度-應力耦合作用的影響尚不明確。對此，筆者建立溫度-應力耦合下HDPE板殼結構的頻散模型，通過多研究步疊加求解，分析不同溫度-應力耦合條件和傳播方向對導波頻散特性的影響規律，定量表征不同頻率下導波模態相速度變化的敏感程度，為導波損傷檢測中激發模態和頻率的優選提供理論依據。

溫度-應力耦合的頻散分析模型

基于Floquet-Bloch周期性邊界，采用COMSOLMultiphysics有限元軟件中的固體傳熱和固體力學模塊，建立HDPE板殼結構在溫度-應力耦合作用下的頻散分析模型。模型建立主要分為以下幾步：物理模型簡化、材料參數設置、邊界及約束條件設置、模型求解設置和網格劃分。

1.1 物理模型簡化

HDPE板殼結構可看作由若干相同幾何和物理特征的子結構排列而成，如圖1所示。將HDPE板殼結構簡化為三維子結構模型，并在其 x 和 y 方向應用Floquet-Bloch周期性邊界條件來模擬無限大均勻波導，可有效縮減數值模型的計算規模。

在此基礎上，將溫度變化與應力影響下的導波傳播問題簡化為兩個研究過程，即溫度-應力耦合作用下的結構靜態預變形，以及疊加在靜態預變形上的彈性波擾動。其中，將初始溫度 T₀=25°C 下的無應力子結構稱之為初始狀態。為了便于分析溫度-應力耦合作用下HDPE板殼結構的頻散特性，建立的數值模型基于以下假設： ① 板殼結構由連續且均勻的各向同性材料組成； ② 彈性波擾動遠遠小于溫度和應力引起的靜態預變形； ③ 材料的三階彈性常數不受溫度變化影響。

圖1物理模型簡化示意圖Fig.1Simplified schematic of physical model

1.2 材料模型設置

為考慮靜態預變形過程中材料的非線性應力一應變關系，本文中采用Murnaghan超彈性材料本構模型，并計算溫度-應力耦合作用下子結構的應變能 W ，即

式中， tr 為跡算符; E 為拉格朗日應變張量， GPa;λ 和 μ 為Lamé常數， GPa;l，m 和 n 為Murnaghan 常數， GPa 。模型中引入具有溫度依賴性的彈性模量E_T 和泊松比 v_T 來反映溫度變化對材料二階彈性常數的影響，表達式[19]如下：

式中， 25^°C 下HDPE 材料密度 ρ₀ 為 968.6kg/m³ ；線性熱膨脹系數 α_T 為 1.31×10^-4 1/K ;Lamé常數 λ₀ 和μ₀ 分別為 3.51GPa 和 0.86GPa 。采用熱致聲彈性試驗[20]可以確定HDPE 材料的Murnaghan常數 l，m 與 n 分別為 -28.43GPa -22.54GPa 和 -10.36GPa 。

1.3 邊界及約束條件

如圖2所示，COMSOLMultiphysics有限元軟件中的固體傳熱和固體力學模塊可以通過熱膨脹接口相互耦合。在固體傳熱模塊中，子結構的初始溫度

T₀ 設為 25°C ，上下表面分別設為恒溫邊界 T_u 和T_b 。本文中僅考慮均勻溫度變化對HDPE板殼結構頻散特性的影響，故令 T_u=T_b （2號

在固體力學模塊中，沿著 x 和 y 方向在四周表面添加Floquet-Bloch周期性邊界條件，定義如下：

式中， 分別為波數 k_F 沿 x 和y 方向的分量; θ 為導波傳播方向與 x 軸的夾角; l_x 、l_y 分別為子結構沿 x 和 y 方向的長寬尺寸； u 為位移場。隨后，在子結構的外表面施加邊界載荷條件，如正應力 σ_x 和 σ_y ，以模擬實際服役環境中HDPE板殼結構的多軸應力狀態。為保證數值解的收斂性，子結構模型需添加合適的位移約束條件。在均勻溫度變化和正應力作用下，可以對點 A（l_x/2，l_y/ ^2，d） 施加 x 和 y 方向上的位移約束，對點 B（l_x/2 ，l_y/2，d/2） 施加固定約束條件。

圖2子結構模型的邊界及約束條件設置 Fig.2Boundary and constraint settings for substructuremodels

1.4 模型求解

模型求解分為兩個疊加研究步，包括溫度-應力耦合作用下的穩態分析，以及疊加在靜態預變形下的特征頻率分析，具體如下：

（1）固體傳熱模塊和固體力學模塊依據各自設置的邊界條件分別計算溫度場和應力場，并通過熱膨脹接口相互耦合，得到溫度-應力耦合作用下子結構的靜態預變形和應變能，當作研究步驟（2）的初始值。其中，溫度變化和外加應力會改變子結構的截面厚度，形成變形后的參考坐標系。但為了便于后續試驗驗證，本文中選用初始狀態下的參考坐標系來計算導波的頻散特性。值得注意的是，在穩態分析時需禁用Floquet-Bloch周期性邊界條件以確保數值求解正確。

（2）由于導波的機械擾動非常小，其對結構初始應變能的影響可以忽略不計，故采用特征瀕率分析可疊加求解靜態預變形下HDPE板殼結構的頻散關系。設置式（4）中波數 k_x 和 k_y 的掃描步長、起始值、截止值，以及待求解特征頻率的數量，通過參數化掃描波數，計算對應的特征頻率。其中，波數k_x 和 k_y 的取值范圍為 [0，π/l_x] 和 [0，π/l_y] 。為了讓問題更簡單，可以令子結構的長寬相等，即 l_x=l_y 。

在后處理中，可以定義一個垂直于導波傳播方向的二維子結構截面，從而提取任一導波模態的位移波結構。此外，依據下式可進一步得到頻率 f 與相速度 C_p 和群速度 C_g 間的頻散關系：

1.5 網格劃分及無關性驗證

網格劃分質量對數值模型的計算成本和結果精度至關重要。因此有必要開展網格無關性驗證，以確定合適的網格劃分尺寸。以 2mm 厚HDPE平板為例，建立了幾何尺寸為 0.2mm×0.2mm×2mm 的子結構模型。采用表1中6種不同尺寸的自由四面體單元進行網格劃分。在COMSOLMultiphysics有限元軟件中，可通過面網格復制來保證Floquet一Bloch周期性邊界上的網格劃分完全一致。隨后，計算了均勻環境溫度 T_u=T_b=40^°C 和單軸拉伸應力 耦合作用下HDPE平板的頻散特性。其中，依據式（2）和式（3）可以確定環境溫度 40°C 下HDPE的橫縱波波速分別為2212.5和 873.9m s，由于材料的溫度依賴性，這與初始溫度下的橫縱波波速存在明顯差異。此外，本文中規定拉應力為正值，壓應力為負值。

表1不同大小的網格劃分參數

Table 1 Meshing parameters for different sizes

圖3為導波沿著 x 方向傳播時不同網格劃分程度的相速度頻散曲線，其中高頻區間導波模態的相速度存在較大差異。為了便于觀察，選取 k_x=1800 rad/m 的6個導波模態 Lamb-A₀ ） SH₁ ！ Lamb-S₁ 、Lamb-A₂、SH₄ 和 Lamb-S₃ ，并繪制其相速度隨網格數量的變化曲線，如圖4所示。可以發現，隨著網格數量的增加，6個導波模態的相速度迅速減小然后趨于穩定。其中，網格No.6和No.5計算得到的導波模態相速度最大相對差異僅為 1.56×10^-6 ，但網格No.6的數值計算時間卻遠大于網格No.5，如表1所列。因此，為了平衡結果精度和計算成本，本文數值模型中采用的最大網格尺寸為 0.04mm ，網格單元總數量為19465。

2 試驗驗證

2.1 試驗設備及方案

為了驗證所建立頻散分析模型的準確性，采用圖5所示的超聲導波試驗系統來測量溫度變化與單軸應力耦合作用下導波模態的相速度變化。主要試驗設備為任意函數信號發生器（型號為TektronixAFG31021）、高壓放大器（型號為AigtekATA-2022B）、環境箱、臥式拉伸試驗臺、PZT壓電陶瓷片和示波器（型號為TektronixDPO2002B）。其中，幾何尺寸為 350mm×300mm×2mm 的HDPE平板由兩側夾具夾持被放置在環境箱內，通過拉伸試驗臺可以對其施加恒定的單軸拉伸應力。HDPE平板的中心區域粘貼7對PZT壓電陶瓷，在試驗中依次進行導波信號的激勵和接收。初始狀態（環境溫度為25^°C 且無應力加載）下，所有壓電陶瓷片與板中心的距離均為 50mm 。

如圖6所示，選取3種特定頻率下群速度最大的導波模態進行驗證試驗，分別為 150kHz 下的Lamb-S₀ 模態、 400kHz 下的 Lamb-A₁ 模態和600kHz 下的 Lamb-S₁ 模態。測量時通過環境箱和拉伸試驗臺控制HDPE平板的溫度-應力耦合狀態，使用任意函數信號發生器激勵五周期漢寧窗調制的正弦脈沖信號來減少頻譜旁瓣，使能量集中于激發頻率，為后續信號分析和處理提供便利。激勵信號經高壓放大器增益后用于驅動PZT壓電陶瓷片。最后，通過示波器對PZT壓電陶瓷片接收的導波信號進行512次平均采集并分析其相速度變化。

2.2 試驗結果分析與對比

圖7為不同激發頻率下PZT壓電陶瓷片接收的導波信號時域圖。可以發現，首達波由于群速度更快可以輕易地與其他模態和邊界反射波進行區分。隨后，利用希爾伯特變換繪制了導波信號的包絡線，通過飛行時間法確定了首達波的群速度，如表2所列。可以發現，不同激發頻率下 Lamb-S₀、Lamb-A₁ 和 Lamb-S₁ 模態的理論群速度與試驗值非常接近，最大誤差僅為 4.20% 。因此后續分析中只需提取對應的首達波部分進行信號處理即可。

Gandhi等[18]推導了導波模態相速度變化 ΔC_p 與相位點時間偏移 Δt 的理論關系，表達式如下：

式中， C_p0 為初始狀態下導波模態的相速度； l₀ 為初始狀態下PZT壓電陶瓷片之間的距離，即 l₀=100 mm ΔC_p 為溫度-應力耦合作用下導波模態的相速度變化，即 ΔC_p=C_p-C_p0 。本文中選用初始狀態作為參考坐標系來計算導波模態的相速度，因此式（6）中 Δl=0 。通過分析首達波中同一過零相位點的時間偏移，即可試驗確定導波模態的相速度變化。

控制恒定拉伸應力 ，當導波沿 x 方向傳播時，不同環境溫度下3個導波模態的相速度變化如圖8所示。不難看出，試驗與數值結果吻合較好，隨著環境溫度增加呈現近似線性變化，最大相對誤差為 7.1% 。控制恒定環境溫度 T_u=T_b=40^°C 及單軸拉伸應力 ，不同傳播角度下3個導波模態的相速度變化如圖9所示。可以發現，試驗與數值結果的相速度變化趨勢基本保持一致，最大相對誤差僅為 3.4% 。考慮到壓電陶瓷片的耦合效果差異，材料均勻性等因素的影響，可以驗證溫度-應力耦合作用的頻散分析模型具有較好的準確性和可靠性。

圖8不同環境溫度下相速度變化試驗結果與數值結果對比 Fig.8Comparison between experimental results and numericalresultsofphasevelocitychangesatdifferent

圖9不同傳播角度下相速度變化試驗結果與數值結果對比

Fig.9Comparison between experimental results and numerical resultsofphasevelocity change for different propagation angles

3 數值結果分析

用COMSOLMultiphysics有限元軟件對不同溫度、應力和導波傳播方向的頻散分析模型進行耦合求解，分析不同溫度-應力耦合作用下 2mm 厚HDPE平板的頻散曲線分布和相速度變化。

3.1 頻散曲線

通過位移波結構進行模態追蹤，可以繪制HDPE平板的相速度頻散曲線。以環境溫度 T_u= T_b=40^°C 和雙軸應力 σ_x=5MPa，σ_y=3MPa 耦合作用為例，給出了不同傳播方向HDPE平板的相速度頻散曲線，如圖10和圖11所示。此外，依據波結構相對板厚度中心的分布，將頻散曲線劃分為實線代表的對稱模態和虛線代表的反對稱模態。

圖10 傳播方向 0^° 時HDPE平板的相速度頻散曲線 Fig.10 Phase velocity dispersion curve of HDPE plate with propagation angle of 0^°

對比圖10和圖11可見，當 θ=0^° 時，Lamb 和SH模態的頻散曲線在模態鄰近區域 ②③④ 內彼此交叉且互不影響。然而，當 θ=45^° 時，模態鄰近區域②③④ 內Lamb和SH模態的頻散曲線會在原本交叉點處彼此偏離。以模態鄰近區域 ② 為例進行局部放大并繪制相鄰標記點對應的位移波結構。可以發現，當 θ=0^° 時，Lamb模態只存在兩個方向的位移分量，即沿著導波傳播方向的縱向位移 u 和與板表面垂直的離面位移 w ，而SH模態只存在一個垂直導波傳播方向的面內位移 v ，此時Lamb和SH模態是相互解耦的。然而當 θ=45^° 時，Lamb和SH模態的波結構在

3個方向的位移分量都不為零，此時Lamb和SH模態間的耦合作用會導致頻散曲線在模態鄰近區域彼此排斥，從而改變導波模態的頻散曲線走向。

值得一提的是，該現象只會發生在Lamb和SH的對稱模態之間或者反對稱模態之間，所以Lamb- 與 SH₁ 模態的頻散曲線在模態鄰近區域 ① 內不受模態耦合作用影響。

3.2 相速度變化

通過對比相速度頻散曲線，定量分析不同導波模態的相速度變化規律，可以為導波環境補償技術的開發提供數據支撐。相較于高階模態，低階導波模態具有易于激發，模態干擾少，信號處理難度低等優勢，目前被廣泛應用于板殼結構的無損檢測和結構健康監測領域。由于篇幅限制，僅展示HDPE平板中低階導波模態 Lamb-A₀Ω，SH₀ 和 Lamb-S₀ 的相速度變化曲線。

圖12為雙軸應力 作用下，不同環境溫度低階導波模態的相速度變化規律。此時，導波沿著 x 軸方向傳播，即 θ=45^° 。可以發現， SH₀ 模態的相速度變化不隨頻率改變，呈現非頻散特性。相比之下，其他導波模態在不同頻率下的相速度變化會存在差異。其中， Lamb-A₀ 模態在初始低頻范圍內的相速度變化較小，對該案例中環境應力和溫度的耦合影響并不敏感。 Lamb-S₀ 模態在320～350kHz 范圍內的相速度變化最為明顯，但隨著頻率增加會逐漸減小并趨于常數。

值得注意的是，降溫變化對導波模態相速度的影響明顯大于升溫變化。從圖12（b）中可以發現，在相同應力狀態和變溫間隔下，環境溫度從 25°C 升溫至 40°C 引起的 SH₀ 模態相速度變化為 -89.6m s，而降溫至 10% 引起的相速度變化僅為 64.3m/s 。

圖13為環境溫度 T_u=T_b=40°C 和雙軸應力 耦合作用下，不同傳播角度低階導波模態的相速度變化規律。可以發現，傳播平面內的不均勻應力會導致相速度變化呈現角度依賴性。但對于 Lamb-A₀ 模態，特定頻率 16.8kHz 下的相速度變化卻與傳播角度無關。其中，沿非主應力方向傳播的 Lamb-S₀ 和 SH₀ 模態只繪制了500kHz 前的相速度變化曲線。這是由于模態耦合作用導致兩者的頻散曲線走向在該頻率處發生變化。

3.3 敏感性分析

為了描述不同頻率下導波模態相速度對環境溫度和結構應力的敏感程度，引入溫度敏感因子 S_T 和應力敏感因子 S_σ ，定義如下：

式中， ε_T 為溫度變化引起的熱應變； ε_σ 為結構應力引起的應變。

圖14為單軸拉伸應力下，應力敏感因子分布和HDPE平板相速度頻散曲線的疊加圖。此時，導波傳播方向與單軸應力方向平行。可以發現，截止頻率附近的高階Lamb模態具有很強的應力敏感性，而 Lamb-A₀ 模態僅在低頻范圍 0～10kHz 對結構應力敏感。

圖14 應力敏感因子分布

Fig.14 Distribution of stress sensitivity factor

圖15為均勻升溫變化下，溫度敏感因子分布與HDPE平板相速度頻散曲線的疊加圖。可以發現，高階Lamb和SH模態在截止頻率附近的溫度敏感性較強。相比之下， Lamb-A₀Ω，SH₀ 和 0～200kHz 范圍內的 Lamb-S₀ 模態對溫度變化的敏感性較弱。

圖15 溫度敏感因子分布

Fig.15Distribution of temperature sensitivity factor

對比圖14和圖15可以發現，相同應變下溫度變化對導波模態相速度的影響大于結構應力。當f=200kHz 時， SH₀ 模態的溫度敏感因子為 3.9× 10^-5 ，而應力敏感因子僅為 3. 0×10^-6 。值得一提的是， SH₀ 模態和中高頻范圍大于 10kHz 的 Lamb-A₀ 模態對溫度變化和結構應力的敏感性都很低，作為激發模態可以降低環境因素帶來的信號干擾，從而提高導波損傷定位技術的可靠性。

4結論

（1）在單軸應力加載下，不同溫度和導波傳播方向的試驗數據與數值計算結果的最大相對誤差僅為 7.1% ，驗證了該頻散分析模型的正確性。

（2）在均勻溫度變化下，導波傳播平面內的不均勻應力狀態會使HDPE平板呈現“各向異性”。當導波沿著非主應力方向傳播時，所有模態的波結構在三個方向上的位移分量都不為零。此時，Lamb和SH模態相互耦合，會導致其頻散曲線在原本的交叉點處以高局部曲率彼此偏離。

（3）導波模態的相速度變化與溫度-應力耦合條件、頻率和傳播方向有關。其中， SH₀ 模態的相速度變化不隨頻率改變，可極大程度降低導波信號的分析和后處理難度，而其他導波模態的相速度變化隨著頻率增加會趨于常數。

（4）相同應變下，溫度變化對導波模態相速度的影響明顯大于結構應力。分別引入溫度和應力敏感因子來表征不同頻率下導波模態相速度對環境溫度和結構應力的敏感程度，可以發現， SH₀ 模態和中高頻范圍大于 10kHz 的 Lamb-A₀ 模態對溫度變化和結構應力的敏感性很弱，可以降低環境溫度變化和結構應力對導波信號的干擾。

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