一脈相通探思路 一題多解尋本源

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058(2025)20-0026-03

幾何變換型綜合探究題以幾何圖形為載體，通過平移、翻折、旋轉等變換，探究變換中產生的數量關系或位置關系.解決此類問題，關鍵在于善于發現或構造全等三角形、等腰三角形和相似三角形，可借助輔助線實現之后運用全等三角形證明、勾股定理、相似三角形等知識進行計算.這類幾何綜合題常以“鏈式\"問題形式呈現，讓學生在特定情境中探究，一道題就是一次小型研究性學習，因而成為中考試題的一大亮點.

在解題教學中，針對一道有代表性的綜合題進行多種方法探究，通過添加不同的輔助線構造多樣幾何模型，能促進學生對數學知識的整體關聯認知，助力學生構建完整的知識結構，拓展思維廣度，激發創新意識，培養幾何直觀、模型觀念等數學學科核心素養.下面以一道幾何變換型綜合探究題為例，探討如何借助多種解題方法從不同角度分析和解決幾何問題.

一、試題呈現

【綜合探究】在四邊形ABCD中，點 E 為 CD 邊上一點（不與端點重合），連接 AE ，將四邊形ABCD沿AE 折疊，點 D 的對應點為點 F

【猜想證明】

(1)數學興趣小組探究發現，如圖1，若四邊形 ABCD 為正方形，延長 EF 交 BC 于點 G ，連接AG ，當點 E 在 CD 上移動時，總有ΔABG?ΔAFG ，請你證明這個結論；

圖1

【聯系拓展】

(2)如圖2，若四邊形 ABCD 為矩形， AB=8 AD=6 ，延長 EF，AF 分別交 AB，BC 于 M，H 兩點，當FH=BH 時，求 DE 的長；

圖2

（3)如圖3，若四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC=60^° ，當點 E 為 CD 邊的三等分點時，將菱形ABCD 沿 AE 折疊，直線 EF 與 BC 所在直線交于點P ，請直接寫出 CP 的長.

圖3

二、解法探究

第(1)問比較簡單，解題過程不再贅述.

第(2)問：

解法1：“8字”“A字\"相似三角形模型.

如圖4，由折疊的性質可得 AD=AF=6，DE= EF，∠D=∠AFE=90^° ，在 RtΔABH 中， AB²+BH²= AH² ，設 FH=HB=x ，可得 x²+8²=(x+6)² ，解得 則 證明“8字”型相似ΔNCH～ΔABH， 可得 再證明

“A字”型相似 ΔCNH～ΔFNE ，可得 EC=EN 一

所以 0

圖4

解法2：“十字架\"模型.

如圖5，先同解法1求出 易證

MB=MF ，再證明 ΔAMF～ΔAHB ，解得

過點 M 作 MG⊥CD ，構造“十字架”模型證明

ΔAMF?ΔMEG ，可得 根據矩

形性質可得 BM=CG ，所以 （204

圖5

解法3：角平分線 + 平行線 $$ 等腰三角形.

如圖6，連接MH，由折疊的性質可得 AD=

AF=6 ， DE=EF ， ∠D=∠AFE=90^° ∠1=∠2 在

矩形 ABCD 中， DC//AB ，所以 ∠1=∠3 ，因此 ∠2=

∠3 ， ΔAEM 為等腰三角形，則 EM=AM. 依據 HF=

HB ，證明 ΔHMF?ΔHBM ，得出 MF=MB. 此時，

易證 ΔAMF～ΔAHB ，則 （20 設 DE=EF= 1

x，HF=HB=a ，則 易證 ΔAEF～

△HMF 則 解得 （20

圖6

該方法采用設而不求的策略，根據等腰三角形、全等三角形、相似三角形的邊長關系列出比例式，消去未知數，進而求出待解線段 DE 的長度.

第(3）問：因點 E 為三等分點，故分 ① 和 ② 兩種

折疊情況(如圖7).

圖7

第(3)問解法和第(2)問相通，可構造相似三角形求解；求線段長度時，還能構造直角三角形，利用勾股定理計算.以下展示這兩種解法.

解法1：角平分線 + 平行線 $$ 等腰三角形

情況 ① ：如圖8，延長線段 PE，BA 交于點 G ，分

別過點 ^E，A 作 EH⊥BA，AI⊥CD. 根據折疊的性質

可得 ∠1=∠2 ，根據菱形對邊平行可得 ∠1=∠3 ，因

此 ∠2=∠3 ， ΔAGE 為等腰三角形.易證四邊形

HAIE 為矩形，則 ，設

GE=AG=x ，則 GH=x-1 ，在 RtΔGEH 中，利用勾

股定理可得 EH²+HG²=EG² ，列出方程

1)²=x² ，解得 x=14. 根據 EC//BG ，易證 ΔPEC～

ΔPGB ，則 設 PC=a ，解0 .

得 （204

圖8

情況 ② ：如圖9，方法同情況 ① ，延長線段 PF AB 交于點 Q ，分別過點 Ψ_E，A 作 EM⊥BA，AN⊥CD 先證明 ΔAQE 為等腰三角形.在 RtΔEMQ 中，利用勾股定理求出 QE=AQ=14. 證明 ΔPEC～ΔPQB 即可通過比例關系解得 （20

圖9

解法2：利用旋轉和軸對稱性質情況 ① ：如圖10，利用菱形的軸對稱性質，將ΔADE 繞點 A 旋轉 60^° 得到 ΔACG ，易證四邊形AGPE是箏形，線段 EG 和 AP 互相垂直平分.根據ΔCEG～ΔDEH 可得 則 EH= OE=OG ， HD=1 ，再證明 ΔPOG～ΔAOH ，因此 解得 （2號

圖10

情況 ② ：如圖11，同情況 ① 方法，將 ΔADE 繞點 A 旋轉 60^° 得到 ΔACM ，易證四邊形AMPE是箏形，線段 EM 和 AP 互相垂直平分.根據 ΔCEMO ΔDEN 可得 ND=8，NE=4MQ ，再證明 ΔPQM～ △AQN，由PN 得到 ，解得 PC=

圖11

三、試題評價

本題為幾何綜合壓軸題，以折疊活動為主線，對特殊平行四邊形進行不同折疊并設置問題，難度層層遞進.解題以全體學生的認知基礎知識為切入點探尋思路，借助幾何模型、代數推理等方法推進，滲透分類討論思想、數形結合思想、方程思想、模型思想等，有效考查學生的綜合能力和數學素養.

(一)立足基礎知識，探尋解題思路

本題基于正方形、矩形、菱形的基本性質，以及三角形全等、相似的性質與判定，深入挖掘折疊問題隱含的軸對稱性質以找到解題關鍵.先從學生熟悉的正方形人手，利用全等三角形證明，充分應用折疊的軸對稱性質，為后續解題奠定基礎.當圖形變為矩形或菱形時，學生能自然拓展思路，從證明全等聯想到證明三角形相似，進而用比例式求線段長度.

(二)關注通性通法，兼顧模型建構

試題的通性通法是多數學生能掌握的利用相似三角形求線段長的方法，輔助線添加較常見，如構造“8字”、“A字”相似三角形.此外，還可借助幾何模型解題，如構造直角三角形用勾股定理、構建“十字架”模型；連接含 60^° 角的特殊菱形的對角線得兩個全等的等邊三角形；利用角平分線和平行線構造等腰三角形；根據軸對稱性質發現箏形圖等.這些幾何模型的構建是對通法的巧妙變化，能助力學生解答幾何綜合題，降低學生對復雜圖形的探索難度，幫助其快速形成思路、找準方向、添加輔助線，靈活運用幾何模型和代數推理進行論證，極大地提高解題效率.

(三)回歸數學本源，培養核心素養

本題從折紙活動抽象出數學問題.前兩問給出圖形，學生只需分析圖形性質、探索解題思路；第三問要求學生根據數學語言描述在腦海中“折疊\"圖形，并將圖形畫出，還需結合生活經驗對折疊的兩種情況進行分類討論，在探尋折疊前后不變量中挖掘數學本源.通過用數學符號列方程表示數量關系與變化規律、構造數學圖形進行解題方法類比遷移，充分體現幾何直觀能力，提升推理能力，增強模型觀念.

四、教學導向

初中幾何教學需整體規劃.學生學完幾何基礎知識后，以螺旋式拓展深化課程內容，適當融入常見的基本數學模型，引導學生用數學思維分析要素之間的關系、發現規律.教師要重視數學知識與方法的層次性和多樣性，通過一道題多種解法的探究，促進學生對數學知識的整體關聯認知，助力學生構建知識結構，拓展思維廣度，激發創新意識，培養幾何直觀、模型觀念等數學學科核心素養.

（責任編輯 黃春香)