對一道教材習題的解法探究與思考延伸

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058(2025)20-0023-03

高中數學教材在高中學習中具有無可替代的作用，高中數學教材中的例題、習題蘊含豐富的數學思想和多樣的解題技巧，很多數學高考試題能在高中數學教材中找到原型.教師應深入挖掘教材例題、習題的內在聯系，通過一題多解、多思拓展其深度與廣度，引導學生深度思考，激發其好奇心，提升其數學學科核心素養.對教材習題進行解法探究與深人思考，不僅能幫助學生掌握知識和分析方法，還能引導學生多角度理解知識，探尋不同解題思路，進而實現舉一反三、靈活解題變題.

一、試題呈現

[人教版A版(2019年）高中數學教材必修第二冊習題6.4第12題]如圖1，在ΔABC 中，已知 AB=2，AC=5 ∠BAC=60^°，BC，AC 邊上的兩條中線 AM，BN 相交于點 P ，求∠MPN的余弦值.

圖1

本題常見的思維方法有：利用“向量\"的基本屬性結合數量積公式進行運算；依據“形”的幾何結構解三角形；運用“數形結合\"建立平面直角坐標系求解.

二、解法探究

解法1：基底法

解：取 為基底，設 ，· （24號 ，即 由圖1可知， ∠MPN 為銳角，

評析：基底法是體現向量基本屬性的基礎知識和基本方法，常見形式是用已知向量作基底表示未知向量.選取基底時要注意基底的模和基底間的夾角．合理選取基底并結合數量積運算，是解決此類問題的通性通法.

解法2：坐標法

解：建立如圖2所示的平面直角坐標系.由題可知 圖2 （2 cos 由圖2可知， ∠MPN 為銳角，：

評析：依托題目已知的角和邊長建立平面直角坐標系，利用向量坐標表示便于后續計算與推理，這是高考求解幾何問題的常用方法.建立平面直角坐標系能為數學運算與邏輯推理創造條件.

解法3：解三角形

解：如圖3所示，連接 MN，?M N 為 BC，AC 的中點， ∴MN=1 ，在 ΔABC 中，利用余弦定理可 在 ΔABN 中，利用余弦定理可得

圖3

在△ABM中，利用余弦定理可得AM =√39.由題可知， P 為 ΔABC 的重心， 在 ΔPMN 中，

評析：分析幾何圖形的直觀特征構建三角形，運用正弦、余弦定理并結合三角形性質，是解決此類問題的基本技巧.解三角形時往往還需構建與應用輔助線，此過程考查了計算能力和轉化思想.

解法4：一次函數的斜率

解：過點 P 作 PF//AC 令 θ₁=∠MPF，θ₃=∠BNC= 180^°-∠FPN，∠MPN=∠MPF+∠FPN=θ₁+(π-θ₃)， 令 θ₂=∠FPN=π-θ₃，∴∠MPN=θ₁+θ₂，

建立如圖4所示的直角坐標系，

圖4

∴直線 AM 的斜率為 （204號 直線 BN 的斜率為 .ta 即 tan(θ₁+ 由圖4可知， ∠MPN 為銳角，： cos(θ₁+θ₂)= 即

評析：利用斜率與傾斜角的關系求解夾角問題，體現了將代數關系轉化為幾何關系的技巧.建立平面直角坐標系是分析幾何圖形的重要解題方法，運用坐標系運算求解幾何問題，是新高考數學試卷的創新點與熱點.在解決不同數學問題時，可運用向量進行運算，借助“形”進行直觀呈現，或通過“數形結合”以形化數，選擇有效方法分析問題并得出結論.對數學問題多思多解，既能引導學生多角度分析問題，靈活運用已有數學知識和解題技巧，又能讓學生通過觀察、類比和猜測，從不同方向重組已知信息，突破單一解題思路[2].

三、思考延伸

《怎樣解題》中提出：分解題目后，需嘗試用新方法重組其元素.難題尤其需要獨創性、特殊性的組合方式.新高考全面圍繞高中數學教材的知識框架與基礎知識展開.一道好題能幫助學生領悟教材魅力、激發創新欲望、拓寬知識視野.

思考1：改變條件是否可行？

1.將中線改為高線

問題1：如圖5所示，在 ΔABC 中， AB=2 AC=5 ， ∠BAC=60^° ，BC，AC 邊上的兩條高線 AM，BN 交于點 P ，求 ∠MPN 的余弦值.

圖5

解：令=AB 是與 同向的單位向量， 是與 同向的單位向量， 設存在實數 m ，使 （20已知AM是 BC 邊上的高， 同理，存在實數 n ，使 ，即

（204號已知 BN 是 AC 邊上的高，

即 ，： # 0

：∠MPN為

銳角，

2.將中線改為角平分線

問題2：如圖6所示，在 ΔABC 中， AB=2 AC=5 ， ∠BAC=60^° BC，AC 邊上的兩條角平分線 AM BN 交于點 P ，求∠MPN的余弦值.

圖6

解：令=AB 是與AB同向的單位向量， 是與 同向的單位向量，

令 是與 同向的單位向量， 的方向與 同向， 的方向與 同向，： （20

評析：三角形中線、角平分線、高線的應用，既是新高考常見的創新點，也是解三角形知識的延伸拓展.單位向量是高中數學的重要概念，運用它可簡化計算過程，更聚焦于向量的方向和夾角問題.上述兩題均巧妙運用單位向量和數量積運算來解題，這不僅凸顯了對學科基本概念和原理的靈活運用，強調了數學知識間的內在聯系及數學基本思想方法的重要性.

思考2：能否只保留部分條件而舍棄其他部分？3.角不固定，求解重心的軌跡

問題3：如圖7所示，在 ΔABC 中， AB=2 ，AC=5，BC，AC 邊上的兩條中線 AM，BN 交于點P ，當 ∠BAC 發生變化時，點 P 的軌跡是什么？

圖7

解： ∴AM，BN 為 ΔABC 的中線，：點 P 是 ΔABC 的重心，設 設 （ α 是參數， α∈(0，π) ），

：點 P 的軌跡是半圓.

若在平面直角坐標系中， ΔABC 的點 A 落在原點，點 C 在坐標軸上， ΔABC 的兩條邊 AB，AC 分別為定長 ^b，c ，則三角形重心軌跡所形成半圓的圓心和原點相距 ，且圓心在點 c 所在的坐標軸上， b 的長度決定圓的半徑，圓的半徑為

4.若點 N 為動點

問題4：如圖8所示，在 ΔABC 中， AB=2 ， AC=5 ∠BAC=60^° ，AM是邊 BC 上的中線， N 在 AC 上移動，當 AN 為多少時， AM 與 BN 垂直？

圖8

解：取 為基底，設 ，即 λ=

評析：保留部分條件并重組數學問題，既能啟發學生思考，又能提升其解題能力，讓習題教學事半功倍.正所謂“莫讓浮云遮望眼，除盡繁華識真顏”，數學問題的外在形式雖變化多樣，但方法內核始終不變.解決平面幾何問題，可借助“向量”“形”或“數形結合”，有效促進知識與能力的融合.

平面向量是解決幾何問題的新工具，也是高一下學期數學教學的重要內容.近三年，其考查主要呈現三大趨勢：一是聚焦核心概念，考查學生的邏輯推理能力；二是以向量為載體，考查學生的數學運算能力；三是在復平面內，運用向量解決復數問題.

數學教育家波利亞曾言：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與研究，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平.”因此，教師應引導學生創造性地利用教材習題，圍繞教材習題開展課堂活動，通過深化思考，多視角引導學生探索數學問題的規律和方法，實現“做一題，變一題，通一類\"的教學目標.摒棄傳統的灌輸式教學，讓學生感受解題樂趣，將“新課程、新教材\"理念落到實處，推動學生數學學科核心素養的提升.

[參考文獻］

[1]張杰.一題多思一題多解[J].中學生數理化（學研版），2012(9):18.

[2]程華.從“一題多解”審思解題教學的思維培養[J].數學通報，2020，59(8)：50-54.

（責任編輯 黃春香)