巧構等腰三角形 解決有關問題

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058(2025)20-0032-03

等腰三角形是初中階段的重要圖形，有“等邊對等角\"“三線合一\"等獨特性質.在解決三角形問題時，巧妙構造等腰三角形并利用其性質，常能突破問題.那么，如何構造等腰三角形呢？筆者將分類探討.

一、利用“等腰三角形 + 平行線”構造等腰三角形

過等腰三角形任意一邊上的任意一點作另一邊的平行線，截得的新三角形是等腰三角形；過一邊延長線上一點作另一邊的平行線，與第三邊的延長線相交所得的新三角形同樣是等腰三角形.構造出等腰三角形后，便可利用等腰三角形的性質解決問題.

[例1]在 ΔABC 中， AB= AC ，點 D 在射線 BA 上，點 E 在AC 的延長線上，且 BD=CE ，連接 DE，DE 與 BC 邊所在的直線交于點 F. ① 當點 D 在線段

圖1

AB 上時，如圖1所示，求證： DF=EF ② 過點 D 作DH⊥BC 交直線 BC 于點 H 若 BC=4，CF=1 ，則BH=

解： ① 過點 D 作 DG//AE

交 BC 于點 G ，如圖2所示，

DG ，又： BD=CE ， ∴DG=CE ，在 ΔDFG 和 ΔEFC （2

中， :△DFG≌△EFC(AAS)，

?.DF=EF

② 如圖3所示，當點 D 在線段 AB 上， ∵BD=DG，DH⊥BG BC=4，∴BG=BC-CG=4-2= 2，∴BH=1

圖3

如圖4所示，當點 D 在線段 BA 的延長線上時，過點 D 作 DG//AC 交BF 的延長線于點 G ，同理可得 ΔCEF?ΔGDF ，BD=DG，∴CF=FG，BH= GH，∴FG=1，÷BG=

圖4

的長為1或3.

評析：本題聚焦等腰三角形，探究出新結論，即在一腰與另一腰的延長線上截取相等的線段，其連線被底邊平分.證明時，作平行線添加輔助線構造等腰三角形BDG，再利用平分線與等腰三角形的性質求解.

二、利用“角平分線 + 垂線”構造等腰三角形

等腰三角形有“三線合一\"性質，反之，若三角形一個角的平分線垂直于對邊，則該三角形一定是等腰三角形.證明時，既可運用全等三角形的判定與性質，也可運用等腰三角形判定“等角對等邊”.

[例2]如圖5所示，在 ΔABC 中， .AE 平分 ∠BAC BE⊥AE 于點 E ，點 F 是 BC 的中點.【探究】(1）如圖5所示， BE 的延長線與 AC 邊相交于點 D ，求證： EF= (AC -AB).(2)如圖6所示，線段AB，AC，EF之間的數量關系為 .【應用】(3）如圖7所示，ΔABC 中， AD 平分 ∠BAC，AD⊥BD ，垂足為 D ，過 D 作 DE//AB 交AC于點 E，BD=3，AD=4 ，求 DE 的長.

圖5

圖6

圖7

解： (1)∵AE 平分 ： BE⊥AE 于點 E ，： ∠BEA=∠DEA=90^° ，在ΔABE 和 ΔADE 中， .ΔABE? △ADE(ASA)，:BE=DE，AB=AD，∵BF=FC， （2號

(2)如圖8所示，延長 AC 交 BE 的延長線于 P.∵AE⊥BP ， ∴∠AEP=∠AEB=90^°，∴∠BAE+ ∠ABE=90^°，∠PAE+∠APE=90^° ?∠BAE=∠PAE，∴∠ABE=∠APE ∴AB=AP，∵AE⊥BP，∴E 為

圖8

BP 的中點，： .BE=PE. 點 F 為 BC 的中點， ∴BF=

(3）如圖9所示，延長 BD 交 AC 的延長線于點 F，?AD 平分 ∠BAC，AD⊥BD，∴AB=∠C AF ， ， D圖9： DE 是 ΔABF 的中位線，

評析：本題延長相關線段使其相交，利用角平分線與垂線構造等腰三角形.依據等腰三角形“三線合一”性質得到三角形中位線，再根據中位線定理確定線段數量關系，進而求出線段的長度.在由角平分線與垂線判定等腰三角形時，既可利用全等三角形，也可利用“等角對角等邊”.

三、利用“平行線 + 角平分線”構造等腰三角形

“平行線 + 角平分線 $$ 等腰三角形\"構成“雙平模型”.實際上，平行線、角平分線與等腰三角形中，任意具備兩個條件，便可推出第三個條件，比如平行線與等腰三角形可推出角平分線、角平分線與等腰三角形出平行線.

[例3](1）初步探究：如圖10所示，在梯形ABCD中， AB//CD ，腰BC的中點為點 E ，連接 AE，AE 平分∠BAD ，那么線段 AB，AD，DC 有何數量關系呢？小明同學采用如下解決方法：延長 AE，DC 相交于點 F ，易得 ΔAEB? ΔFEC ，從而得到 AB=FC ，然后把 AB，AD，DC 轉化在同一個三角形中即可判斷 .AB，AD，DC 之間的等量關系為

圖10

(2)深入探究：如圖11所示，在梯形 ABCD 中， AB//CD ，腰 BC 的中點為點 E ，若 AE 平分 ∠BAF 延長 AF，DC 交于點 F ，那么線段AB，AF，CF 之間有何數量關系？為什么？

圖11

（3）變式探究：如圖12所示，線段 AB，CF 互相平行，點 E 在線 （204號段 BC 上，且 點 D 是 AE （20號上一點，且 ∠EDF=∠BAE ，那么線段 AB，DF，CF 之間有何數量關系？為什么？

圖12

解：(1）如圖10所示，延長 AE，DC 相交于點 F 由 AB//DC ，得 ∠BAF=∠F ，因為 CE=BE ，在△AEB和 ΔFEC 中， ，由“角角邊”定理得 ΔAEB?ΔFEC ，由全等三角形對應邊相等得 AB=FC ，由 AE 平分 ∠BAD 得∠DAF=∠BAF ，所以 ∠DAF=∠F 由“等角對等邊”得 DF=AD ，所以 AD=DC+AB

(2)如圖13所示，延長 AE DF 相交于點 G ，由 BC 的中點為點E ，得 ，由平行線的性質得 ∠BAE=∠G ，在ΔAEB 和 ΔGEC 中， 由“角角邊”定理得 ΔAEB?ΔGEC ，由全等三角形對應邊相等得 AB=GC，∵AE 平分 ∠BAF，∴∠BAG=∠FAG ，由平行線的性質得 ∠BAG=∠G ，所以 ∠FAG=∠G ，由“等角對等邊\"得 FA=FG ，所以 AB=AF+CF

圖13

(3)如圖14所示，延長 AE ，CF 相交于點 G ，由 AB//CF 得ΔAEBΔCΔGEC ，由相似三角形對應邊成比例得 ，所以 由平行線的性質得 ∠A=∠G ，因為∠EDF=∠BAE ，所以 ∠FDG=∠G 由“等角對等邊”得 FD=FG ，： （20

圖14

評析：本題探究角平分線與平行線在不同情形下線段間的數量關系.通過延長線段使其相交構造等腰三角形，再借助等腰三角形的性質以及全等三角形或相似三角形的判定與性質，得出線段間的和差倍分關系.證明等腰三角形時，通常先利用“兩直線平行，內錯角相等”得到一組角相等，再結合角平分線得到另一組角相等，進而得出同一三角形中兩角相等，最后依據“等角對等邊”判定，

四、利用作二倍角平分線構造等腰三角形

在同一三角形中，若一個角是另一個角的二倍，可作兩倍角的平分線構造等腰三角形.此種情況在頂角為 36^° 的等腰三角形中體現得尤為明顯，作任意底角的平分線，可將該三角形分為一個鈍角等腰三角形和一個銳角等腰三角形.

[例4]已知在 ΔABC 中， ∠B=2∠A，AB=2BC 求證： ΔABC 為直角三角形.

證明：如圖15所示，作

∠ABC 的平分線 BD 交 AC 于 D

D ，過點 D 作 DE⊥AB 于 E ， E B?∠ABD=∠CBD，∵∠B=2∠A 圖15.∠ABD=∠CBD=∠A，∴AD=BD，∵DE⊥AB

： ，又： ?AB=2BC，∴BE=BC ，在∣BE=BC

ΔBCD 和 ΔBED 中，∠ABD=∠CBD，:.△BCD≌BD=BD

ΔBED(SAS)，∴∠C=∠BED=90^°，∴ΔABC 為直角三角形.

評析：本題探究當三角形中一個角是另一個角的2倍，且一邊是另一邊的2倍時，該三角形為直角三角形.作輔助線時，作2倍角的平分線得等腰三角形 ABC ，利用“三線合一”性質得 BE=BC ，再借助全等三角形證明 ΔABC 為直角三角形.

五、連接同一斜邊上的中線構造等腰三角形

在直角三角形中，斜邊的中線能將其分成兩個等腰三角形.若兩個直角三角形共用斜邊，分別作它們的斜邊中線，也能得到等腰三角形.直角三角形與等腰三角形結合，可推導更多結論.

[例5]如圖16所示，銳角ΔABC 中， CD，BE 分別是邊^AB，AC 上的高， M，N 分別是線段 DE，BC 的中點.（1)求證：MN⊥DE ；(2)連接 DN，EN 猜想 ∠A 與 ∠DNE 之間的關系，并說明理由．

圖16

解：(1）如圖17所示，連接DN，EN，∵CD，BE 分別是 AB ，AC 邊上的高， N 是 BC 的中點，： ， DN=EN ，又： M 為 DE 中點，?.MN⊥DE

圖17

(2 .理由如下：在 ΔABC 中，∠ABC+∠ACB=180^°-∠A，∴DN=EN=BN=NC， ： ∠BND+∠CNE=(180^°-2∠ABC)+(180^°-2∠ACB)= （ 360^°-2(∠ABC+∠ACB)=360^°-2(180^°-∠A)=2∠A ，∴∠DNE=180^°-2∠A

評析：若兩個直角三角形共用斜邊且已知斜邊中點，作兩條斜邊的中線可得到等腰三角形（如ΔDNE) ，進而利用等腰三角形的性質解題，如由點M 是中點得 MN⊥DE. 需注意，直角三角形斜邊的中線本身可將其分成兩個等腰三角形.

構造等腰三角形并利用其性質，能直觀呈現題目條件與數量關系，揭示問題本質.解答時需具備想象力與創造力，多觀察、思考、探索、積累，以提升解題能力.

（責任編輯 黃春香)