例談新課標背景下的數學解題教學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2025）20-0004-04

一、數學解題教學現實與新課標背景

數學解題教學貫穿于數學教學各環節，如新授課的練習環節、單元習題課、考前復習課及考后試題評講課等，占比頗大.盡管教育觀念改變使學生機械練習減少，但為應付高考，題海戰術仍然盛行．

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，高中數學教育應引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.具體教學中，要落實基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，著重培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，發展學生的數學學科核心素養.基于此，筆者基于波利亞解題理論1探討數學解題教學“怎么教”與“教什么”.

二、波利亞解題理論

《中國高考評價體系》明確高考的核心功能為“立德樹人、服務選才、引導教學”，考查內容為“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”2].筆者基于波利亞解題理論，探尋契合新高考評價要求與新課標教學目標、兼具可操作性與指引性的解題教學范式，這對數學教育教學及育人教學具有重要引導作用.

波利亞是美籍匈牙利數學家，他青年時期在布達佩斯、維也納、巴黎等地攻讀數學、物理和哲學，最終獲得博士學位.同時，他還是法國、美國和匈牙利三國科學院院士，著有《怎樣解題》《數學的發現》《數學與猜想》等經典著作.波利亞有著豐富的教學經歷，他不僅教過中學，還長期投身于大學數學教學工作.退休后，他依然心系教育，積極投身中學數學教師培訓.在漫長的職業生涯中，他將教學藝術與數學研究緊密結合，逐漸形成了獨特的教育思想.波利亞對數學教育教學有著深刻且獨到的見解，他認為：中學數學教育的根本目的是教會學生思考；數學教育要培養學生的興趣、好奇心、毅力等非智力品質；學習的最佳途徑是自主探索；教學是一門藝術，需注重語言、教態和內容組織等.退休后，波利亞經常參與中學數學教師培訓活動.在此期間，不少教師向他請教“如何想出數學題好解法”.為解答困擾眾多數學教師的問題，他深人研究解題思維過程，最終著成《怎樣解題》該書的核心是“怎樣解題表”（見表1），此外還把尋找和發現解法的思維過程分解為5條建議和23個啟發性問題.

表1波利亞怎樣解題表

透過波利亞的解題理論和思想，可見其怎樣解題表的精髓在于啟發聯想.解題者有目的地自問一系列具有建議性和啟發性的問題，將問題轉化為自身能理解的問題，進而解決問題.同理，教師若能如此向學生提問，也能幫助其解決問題.

這里的問題旨在觸發思路，有思路便可繼續開展工作；若足夠幸運，或許還能產生新思路，推動深入思考.在波利亞看來，真正糟糕的是面對問題時毫無思路.

這些內容既是策略，也是信息整合.該系統將解題程序、解題基礎、解題策略與方法融為一體，理論與實踐兼備.

三、解題教學內容與策略

（一）問題呈現

八省市聯考，即“八省聯考”，是2021年1月23日第三批新高考改革省市（江蘇、福建、河北、遼寧、湖北、湖南、廣東、重慶）舉行的適應性考試.八省市新高考采用 3+1+2^： 模式，語文、數學、英語3門使用全國卷，物理、歷史、化學、地理、思想政治、生物6門由各省市自主命題.此次聯考引發了大家對各省市總分平均分、高分層次人數和比例等話題的熱議，其中數學成為各高考強省較量的熱門科目，不少數學教師和教育工作者則聚焦于數學命題.

在中國知網上，以“八省市聯考\"“八省聯考”為關鍵詞搜索，有關數學學科研討的論文達30多篇，研討熱點集中在數列題、解析幾何題以及整套試卷的綜合分析.而第22題作為整套數學試卷的壓軸題卻少有人研究和討論，截至筆者搜索時，僅有5篇.

22.已知函數 f（x）=e^x-sinx-cosx ， e^x+sinx+cosx.

（1）證明：當 5π時，f（x）≥0； （2）若 ，求 a

（二）理解題目

波利亞的怎樣解題表建議，解題第一步要盡可能明確題自要求的未知量、已知數據，判斷條件能否被滿足，以及現有已知數據和條件是否足以推出未知量.必要時可考慮畫一張圖并在圖上標注未知量和已知數據，同時選擇符號進行標示.基于此，結合本題進行題目理解.

對于第一問，已知函數 f（x） 的解析式由 e^x ）sinx 和 cosx 構成，問題是當 時 ?，f（x） 是否大于或等于0.可猜測當 x 足夠大時 ?，f（x） 會大于或等于0，但臨界值較難確定，需對 ?f（x） 進行變形.在這一步中，能發現題目條件和要實現的結論簡潔

明了.

（三）擬訂方案

波利亞的怎樣解題表指出，解題第二步擬訂方案時，要自問能否想到相似題目或可能用到的定理，思考已知數據和條件的用途，判斷是否需引入輔助元素，還可嘗試削弱結論條件以試探解題方案.

結合本題擬訂方案如下：已知唯一條件 f（x）= e^x-sinx-cosx ，我們應能聯想到許多與之相似的、由兩個三角函數相加或相減構成的函數.結合第一步“當 x 足夠大時 ?_I（x） 會大于或等于0，但臨界值較難確定\"的猜想，可知需對 ?f（x） 進行變形.對該函數進行常見變形 ：f（x）=e^x-sinx-cosx=e^x-

此時，函數變為 e^x 和 的差，要證的結論可理解為：當 時， e^x 要大于 為實現這一判斷，可借助函數圖象進行大致分析.由于當前函數由 e^x 和 構成，容易分別作出圖象（如圖1）.

圖1

通過圖象可明顯看出，自變量 x 在 [a，b] 和[c，+∞） 區間上.根據 e^x 和 兩個函數圖象的上下相對位置關系可知 f（x）=e^x- 進一步結合函數 的初相以及周期，可求得 ，此時 所以 ，即當 時，顯然 f（x）?0. 對于第一問，接下來只需討論 是否也有 f（x）?0

對于自變量 和 兩個函數圖象的交點 G（0，1） 至關重要，此時f（0）=0. 我們猜想： G（0，1） 是否是 e^x 和 在區間 上的唯一交點？若答案是肯定的，問題便迎刃而解.因此，關鍵在于證明該交點的唯一性.

帶著證明交點唯一性的期望，我們觀察在區間 的圖象（如圖2）.若要使 時有 f（x）?0 ，則需論證 e^x 和 圖象的間隙在 x=0 左側越來越小，在 x=0 右側越來越大，且僅在 x=0 處間隙為0.換言之，需說明 f（x） 在 單調遞減，在 單調遞增.自然想到對 求導，得 f^′（x）=e^x- 注意到 f^′（x） 在 x=0 處的導數值為0，且其解析式使我們無法確定它在 和（0， ）上的正負，也就無法用一階導函數說明 f（x） 在 單調遞減，在 單調遞增.

圖2

因為 f^′（0）=0 ，且希望當 時 f^′（x）lt; 0，當 時 f^′（x）gt;0 ，所以想到可通過論證一階導函數 在 上單調遞增來實現.為此，求原函數的二階導數 經計算，易驗證 又因為 f^′（0）=0 ，所以當 時 f^′（x）lt;0 ，當 ）時 f^′（x）gt;0 .又因為 f（0）=0 ，所以當 時 f（x）lt;0 ， ）時 f（x）gt;0 ，即當 綜上，當 時，f（x）?0.

（四）執行方案

波利亞的怎樣解題表指出，執行擬訂方案時需確保每一步正確，必要時應加以證明.就本題而言，執行第二步擬訂方案便能得到本題第一問的詳盡答案.

（1）證明：由題意得 當xE 時， e^xgt;0 ， ，所以 ： e^x= ，求得 所以，當 時， ，所以 ，求得 ，因為當 f^′（0）=0 ，所以當 時 f^′（x）lt;0 ，而當 時 f^′（x）gt;0 ，又因為 f（0）=0 ，所以當 時 f（x）gt;0 ，而當 時 f（x）gt;

0，即當∈[-，In√2].f（x）≥0.綜上，當xgt;-5π時 I（x）?0

（五）回顧反思

在“回顧反思\"這一步，波利亞希望解題者檢驗第三步的結果，并嘗試用不同方法解題對題目進行變形.結合本題，筆者對已有答案進行了反思、比較和變式.

我們可從網絡上找到該題的多個參考答案.部分答案將 劃分為 三個區間進行討論.理論上做法可行，但這些答案未向學生說明這樣劃分區間的底層邏輯，未讓學生領會答案中突然使用一階導數、二階導數的邏輯.而這些在數學解題教學中本應是重點，沒有說明，那么可能會導致出現學生看見函數就條件反射求導的現象.

對于該題第一問，我們可適當改造 f（x） ，根據改造后的 f（x） 擬定類似結論，同樣能實現本題的考查目標.例如，將第一問變式為：已知 f（x）=e^x 一 且 求 f（x）?0 時 x 的取值范圍.具體如圖3所示.

圖3

四、再論數學解題教學

數學解題教學是一個永恒的話題.在前文，筆者基于波利亞解題理論，運用波利亞怎樣解題表對八省聯考數學壓軸題第一問進行了完整闡述.由此可總結出，完整高效的數學解題教學應包括四個環節：理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧反思，其中教師應特別重視前兩個環節.在理解題目環節，教師不僅要教導學生怎樣挖掘、轉化題目的已知條件和結論，還要讓學生領會到怎樣才算有效的題目理解．在擬訂方案環節，教師要引導學生根據已知條件擬訂解題方案，此環節是探索解題思路的發現過程.波利亞特別建議，在該環節要努力找出已知和未知的直接聯系；若找不到，則對原問題進行必要變更，引進輔助問題，即努力誘發思路、改造問題，這一過程能讓學生全程體驗數學問題的分析、化解與解決，也有助于學生對數學產生積極情感，

本文為探尋契合新高考評價與新課標教學目標、兼具可操作性與指引性的解題教學范式提供了指引與啟發，也為利用數學高考題引導數學教學、落實數學學科核心素養提供了借鑒，對數學教學及育人工作意義重大.

總之，好的數學解題教學應讓學生學會用數學眼光觀察世界、會用數學思維思考世界、會用數學語言表達世界.唯有進行有效的教學與引導，數學題才能成為體現學生數學學科核心素養的最佳載體.否則，學生將深陷以基本知識和技能訓練為主的題海，各級各類數學考試也難以有效考查學生的數學學科核心素養、選拔出拔尖創新人才.

正如《新高考背景下的數學教學散思》3所言，幾乎所有現有的關于八省聯考數學壓軸題第二問的參考答案都偏向于采用套路和技巧解題，令人費解.這表明當前解題教學仍側重單純強調基本知識和技能，未充分體現新課標要求和真正的數學教育目的.鑒于該文獻已給出該題第二問極佳的解題思路和教學思路，本文不再贅述.

［參考文獻]

[1]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]曹廣福.新高考背景下的數學教學散思[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（6）：5-8.

（責任編輯 黃春香）