立足深度學習視角 凸顯核心素養培育

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2025）20-0008-04

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱課程標準）在“教學建議\"中明確指出，數學教師要樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程.在“雙新\"背景下，為落實以核心素養為導向的數學教學，教師應轉變教學觀念，著重培養學生的知識遷移能力與高階思維.深度學習對落實數學學科核心素養、促進學生高階思維發展、提升教學質量意義重大，既能解決傳統教學模式下教與學轉變的難題，又能達成素質教育目標.本文基于深度學習理論，設計指向核心素養的教學過程，供數學教育工作者參考.

一、理論綜述

20世紀70年代，美國學者費倫斯·馬頓（Fe-renceMarton）和羅杰·薩爾喬（RogerSaljo）在合著的《學習的本質區別：結果和過程》中首次提出并闡述了深度學習的概念[2].此后，國外其他學者基于該理論對深度學習展開進一步研究.我國學者則自2005年何玲和黎加厚界定深度學習概念后，才正式開啟相關研究.安富海4指出，深度學習具有注重批判理解、遷移運用和問題解決等特點，是一種基于理解的學習；郭華[5認為，深度學習是學生積極參與具有挑戰性學習主題的有意義的學習過程；喻平認為，盡管我國各學者對深度學習的看法不盡相同，但核心是一致的，即深度理解、高階思維、知識遷移、實踐創新.基于以上研究成果，本文依托深度學習理論，探討培養學生數學學科核心素養的高中數學概念教學設計，并展開具體研究.

二、教學分析

（一）教材分析

“空間向量基本定理\"選自人教A版高中數學教材選擇性必修第一冊第一章第二節，是“幾何與代數”的主線內容.從知識角度看，它是學生在掌握了平面向量基本定理、空間向量及其運算后，對空間向量的進一步探究.從數學思想層面看，將平面向量基本定理推廣至空間向量基本定理的過程，蘊含類比、分類討論以及從特殊到一般的數學思想.從核心素養層面看，教材在構建空間向量基本定理的過程中，著重培養學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養.本節課為概念教學，教師應以問題鏈引導學生發展高階思維，落實數學學科核心素養.

（二）學情分析

本節課的授課對象為高二學生.在知識儲備方面，學生已掌握了平面向量基本定理、空間向量及其運算，具備了學習空間向量基本定理的基礎.在數學能力與核心素養方面，學生雖有一定的邏輯推理能力，能借助類比推理進行思考，但空間想象能力較弱，直觀想象素養水平參差不齊.因此，教學中教師可借助GeoGebra軟件引導學生探究空間向量基本定理的形成過程，發展學生的數學學科核心素養，實現深度學習.

（三）教學目標及重難點分析

基于教材與學情分析，結合課程標準對核心素養水平的要求，制訂如下教學目標：

（1）理解空間向量基本定理及其意義，提升數學抽象素養.

（2）經歷空間向量基本定理的探究過程，領悟類比、分類討論、從特殊到一般的數學思想，培養直觀想象與邏輯推理等核心素養.

（3）掌握基底的含義，能在具體問題中用給定基底表示已知向量，發展數學運算素養.本節課的重點是理解空間向量基本定理，難點是證明空間向量基本定理.

三、教學框架

基于深度學習理論，設計融入核心素養的“空間向量基本定理\"教學框架（如圖1）.

四、教學過程

（一）創設情境，類比引入

師：上節課，我們類比平面向量，學習了空間向量的概念及運算.那么對空間向量基本定理的學習，我們是否也能類比平面向量基本定理呢？同學們還記得平面向量基本定理的內容嗎？

（學生與教師共同回顧平面向量基本定理的具體內容.）

設計意圖：通過問題導入，搭建學習新知的橋梁，讓學生感受數學知識、方法之間的聯系，為運用類比方法對空間向量基本定理進行猜想和探究提供方法論的指導.

（二）構建模型，形成概念

師：通過回顧平面向量基本定理，我們知道平面中的任意向量都可以由兩個不共線的向量表示，那么將范圍擴大到空間中的任意向量，是否也可以用若干個向量線性運算表示呢？如果可以，那么需要幾個向量呢？

圖1“空間向量基本定理\"教學框架

【預設】學生初步猜想需要三個向量.

師：任意三個向量都能表示空間中的向量嗎？如果不能，那么這三個向量需要滿足什么條件？

生：三個向量可能會出現共面和不共面兩種情況.

【追問1如果三個向量共面，它們能否表示空間中的任意向量？如果三個向量不共面，又會出現什么情況？

（同桌討論，自由發言.）

【討論結果】

（1）三個向量共面：因為不能構成三維空間，所以不能表示空間中的任意向量.

（2）三個向量不共面： ① 選取空間中兩兩垂直的 三個向量作為基底（如圖2）.

設 Φ_a，b，c 是空間中兩兩垂直的三個向量，且起點均為 O，p 是空間中的任意向量.令 等于 p ，過點 P 作面 AOB 的垂線，垂足為

P^′ ，連接 PP^′ 在三角形 POP^′ 中，OP=OP+ 根據向量共線定理得： ，因此 p=xa+yb+zc

圖2 兩兩垂直向量

圖3 兩兩不垂直向量

② 選取空間中任意三個向量作為基底（如圖3）.

設 a，b，c 是空間中任意三個不共面的向量，且起點均為 o. 令 為空間中的任意向量 p. 過點 P 作OC的平行線，交面 AOB 于點 P^′ ，連接 OP^′ .根據向量加法法則和平面向量基本定理對 p 進行分解，可得p=xa+yb+zc

設計意圖：引導學生類比猜想，借助“最近發展區”創造思維突破口.設置問題鏈，讓學生在小組合作驗證猜想的過程中實現知識的深化與拓展，體會分類討論思想，培養數學運算素養；借助GeoGebra軟件構建數學模型，讓學生經歷從特殊到一般的驗證過程，在立體幾何中研究空間向量，實現淺層學習向深度學習的躍遷，發展直觀想象素養.

【追問2】類比平面向量基本定理的內容，你能寫出空間向量基本定理嗎？

生：根據上述結論以及對平面向量基本定理的逐句類比，可得出空間向量基本定理：如果三個向量 a，b，c 不共面，那么對于任意一個空間向量 p ，存在唯一的有序實數組 （x，y，z） ，使得 p=xa+yb+zc 其中 {a，b，c} 叫作空間中的一個基底， a，b，c 叫作基向量.

設計意圖：讓學生獨立闡述空間向量基本定理的內容，體會平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯系與區別.在此過程中，教師著重強調“不共面”“存在唯一”等詞匯，使學生體會到數學語言的規范嚴謹，從而培養學生的數學抽象素養.

（三）合作證明，深化概念

師：類比平面向量基本定理，我們如何證明空間向量基本定理？

（學生小組合作討論，從唯一性和存在性兩個方面進行證明.教師巡視指導，鼓勵學生積極參與證明活動.討論結束后，選取兩組學生的證明過程并投影展示，師生共同分析.）

【證明過程】

（1）唯一性證明（反證法）：設除 （x₁，y₁，z₁） 外，還存在有序實數組 （x₂，y₂，z₂） ，且 （x₁，y₁，z₁）≠（x₂，y₂， z₂， ，使得 p=x₁±y₁b+z₁c，p=x₂±y₂b+z₂c ，則 若 x₁≠x₂ ，則 （x₁- x₂）a=（y₂-y₁）b+（z₂-z₁）c ，即 c.由平面向量基本定理可知，a，b，c共面，這與已知的 a，b，c 異面矛盾，所以有序實數組 （x₁ y₁，z₁） 是唯一確定的.

（2）存在性證明（構造圖形法）：如圖4，設 Φ_a，b，c 是有公共交點 o 但不共面的三個向量，其中 ， 為空間中的任意向量，且 過點 P 作 PP^′// oc ，交面 AOB 于點 P^′ ，所以 過點 P^′ 作 P^′B^′//OA，P^′A^′//OB ，四邊形 OB^′P^′A^′ 為平行四邊形， 因此， 由向量共線定理可知，存在三個確定的實數 x，y，z 使得 zc ，所以 ，即有序實數組 （Φ_x，y，z） 存在．

圖4

設計意圖：引導學生對空間向量基本定理進行證明，幫助其挖掘概念的本質，加深對概念的理解；類比平面向量基本定理的證明方法，為空間向量基本定理的證明提供思路；經歷嚴謹的證明過程，促使學生在合作中實現由低階思維向高階思維的轉變，突破學習難點，拓展認知的深度和廣度，達成深度學習目標，落實并發展邏輯推理素養.

（四）歸納比較，提煉升華

師：你能分析一下平面向量基本定理與空間向量基本定理的異同點嗎？

（學生自主歸納，得出結論.）

【結論】相同點：給定范圍內的任意向量都可以用有限的向量的線性運算來唯一表示；不同點：基向量不同，維數不同.

設計意圖：通過對平面向量基本定理和空間向量基本定理進行對比和歸納，加深對知識間內在聯系的理解，實現向量從二維到三維的跨越，促使學生在構建空間向量基本定理的認知結構的過程中，不斷完善數學知識體系，夯實數學知識基礎，提高數學歸納能力，促進深度學習，培養核心素養.

（五）遷移應用，鞏固概念

[例1]如圖 5，M 是四面體OABC的棱 BC 的中點，點 N 在線段OM上，點 P 在線段 AN 上，且 請嘗試用向量 表示 業

圖5

[例2]如圖6，在四面體ABCD中， G 為 ΔABC 的重心， P 是 CD 上的一點， DP=2PC ，請嘗試用向量 表示 業

圖6

設計意圖：通過兩道例題考查學生運用給定基底表示已知向量的掌握程度，深化學生對空間向量基本定理的理解，為后續深入學習用空間向量解決立體幾何問題的常用方法“基底法”奠定基礎.同時，在進行向量線性運算過程中，發展學生的數學運算素養，提高學生的問題解決能力.

（六）總結歸納，提升素養

【師生活動】教師引導學生回顧本節課的重難點內容，借助思維導圖系統梳理空間向量基本定理的探究過程，幫助學生在深化定理理解的過程中搭建知識結構框架.

設計意圖：引導學生整體把握學習內容，構建結構化的空間向量基本定理認知框架，利用思維導圖提供清晰且可視化的數學學習路徑；全面梳理空間向量基本定理的研究歷程，促使學生在回顧反思中完善知識體系，掌握數學基本思想，積累數學活動經驗，實現空間向量基本定理的深度學習，推動數學學科核心素養的發展.

（七）建立體系，量化評價

基于深度學習理論與數學學科核心素養在“空間向量基本定理\"教學中的應用，設計以下學習評價表（見表1）.

表1“空間向量基本定理”學習評價表

五、教學反思

（一）重視問題引領，促進深度學習

問題是數學的核心，也是引領學生思維進階的關鍵.教師要設置遞進式問題鏈，由淺人深地串聯不同難度梯度的學習內容，整合孤立、碎片化知識點，引導學生逐步深化對空間向量基本定理本質的理解，構建完整的數學知識體系，提升學習能力.在問題驅動下，學生發揮主體意識，通過猜想和證明主動探究空間向量基本定理，并借助教師用GeoGebra軟件進行的動態演示驗證猜想，在直觀感知數學知識生成的過程中完成學習閉環.隨著問題的解決，學生厘清知識脈絡，實現數學思維從低階到高階、從表層到深層的跨越，真正落實深度學習，促進數學學科核心素養的發展.

（二）類比轉化舊知，搭建知識結構

類比是創造力的源泉.深度學習要求學生依據已有知識與新學習內容的關聯，搭建知識結構，融會貫通整合新知識，形成自身的知識體系.教師在進行教學設計時，應注重將學生已有知識基礎與新主題相聯系.借助研究方法類比，教師能發現學生的“學困點”，合理創設高效學習活動，降低學習難度，激發學生主體意識，提高課堂參與度.此外，在類比遷移中，教師應引導學生挖掘新的學習資源生長點，引發學生對學習內容的新思考，讓學生在構建知識結構的過程中逐步解決學習障礙、突破瓶頸.在探究空間向量基本定理時，教師引導學生類比平面向量基本定理的研究內容與證明方法進行知識轉化，讓學生感受學科知識的內在聯系，促使學生在思維碰撞中持續建構數學知識體系，實現學習內容深度內化，進而有效培養學生的數學學科核心素養，提升學生的問題解決能力，

（三）構建師生共同體，完善教學評價體系

在深度學習理論的指導下，數學教學應重視師生合作互動.高中數學知識抽象，學生難以深刻理解并靈活運用，因此需借助合作突破認知局限以達成學習自標.在“空間向量基本定理”教學中，師生、生生合作可助學生完善知識體系.教師要依據教學目標設置評價任務，借助預先設計的空間向量基本定理學習評價表，多維度分析、評價學生的學習表現，發揮教學指導作用.同時，構建“教師評價 + 小組評價 + 學生自評”三位一體評價體系，采用多元評價方式，尊重學生的評價主體地位，鼓勵學生自我診斷學習過程.借助評價結果引導學生深度思考，提升數學認知，發展高階思維，培養數學學科核心素養．

［參考文獻］

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]MARTON F，SALJO R. On qualitative differencesinlearning：I-Outcome and process[Jl.British journal ofeducational psychology，1976（46）：4-11.

[3」何玲，黎加厚.促進學生深度學習[J].現代教學，2005（5）：29-30.

[4]安富海.促進深度學習的課堂教學策略研究[J].課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

[5]郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[6]喻平.學科核心素養導向的教學理論嬗變[J].教育發展研究，2020，40（15/16）：78-85.

（責任編輯 羅艷）