基于解題思想指引 破解高考情境問題

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2025）20-0001-03

一、問題的提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調數學考試命題應選擇合適的問題情境，設置不同復雜程度的問題，以考查學生的數學學科核心素養.在日常教學中，筆者常聽到學生反饋：“一碰到情境問題我就害怕，經常讀不懂題目”“情境問題都是難題，是給高手做的”.學生害怕數學情境問題已成為普遍現象.

數學高考試題不僅注重考查學生的“四基”，更注重考查學生的“四能”與數學學科核心素養.情境問題作為創新型問題，是考查學生這些能力的重要載體.如何針對情境問題給出一般性思維策略，讓學生在思考和解決問題時有具體抓手，是教學中教師值得思考的問題.實際上，波利亞的解題思想因系統性與普適性已被廣泛應用，對處理情境問題有顯著借鑒價值.本文將探討如何利用波利亞解題思想破解高考數學情境問題，以促進學生學會系統地分析和解決復雜的數學問題，提升問題解決能力.

二、借助解題思想，引導問題解決

波利亞解題思想內涵豐富，最具代表性的是波利亞“怎樣解題表”，其基本步驟包括理解問題、擬訂計劃、執行計劃和回顧反思（見表1）.這一解題步驟不僅適用于常規數學問題，對情境問題的分解與重構也有指引作用.

表1波利亞“怎樣解題表”的四個步驟與任務分析

2019年，國務院辦公廳印發的《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》提出，創新試題形式，加強情境設計，注重聯系社會生活實際，增加綜合性、開放性、應用性、探究性試題.此后，試題情境化命題趨勢愈發明顯.表2呈現了2022—2024年新高考全國I、Ⅱ卷中情境問題的統計情況.

表22022一2024年新高考全國I、Ⅱ卷情境問題統計

續表

由表2可知，2022—2024年新高考全國I卷、Ⅱ卷情境問題呈現以下特點：（1）背景真實多元，信息貼近學生生活；（2）內容豐富，涵蓋科技文化、生產最優、比賽概率、容器體積、新定義等情境；（3）分值比重上升，題量與分值均呈現遞增趨勢；（4）注重對學生綜合能力的考查，要求學生具備良好的心理素質和多種知識技能.

總體而言，高考情境問題在形式和內容上不斷創新，將知識融入情境，同時剝離方法，要求學生具備較好的數學學科核心素養，對數學知識能靈活應變、舉一反三.目前，教師普遍認同注重情境教學、加強跨學科融合、培養學生應用能力的重要性，但學生破解情境問題時仍感無從下手.深入挖掘波利亞解題思想的內涵，能助力學生讀懂情境、抽象問題、明確方向、選擇方法.

三、破解高考情境問題的教學策略

（一）構建思維范式，促進合情推理

波利亞解題思想中，除“怎樣解題表”外，其合情推理的思考方法對情境問題處理啟發頗大.該方法主要借助聯想、直覺等思維形式，通過觀察、實驗、歸納、類比等猜想數學結論.用合情推理分析情境問題的思維范式如圖1所示.

合情推理對思維的指引，不僅是解題步驟清單，更是思維訓練工具，能讓學生系統、高效、有條理地應對問題，形成有效的思維范式.

（二）結合生活常識，揭示情境規律

近年來，高考數學注重選取貼近生活的真實問題情境，彰顯人本主義精神，請看例1：

[例1]（2023年新高考全國Ⅱ卷第12題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立，發送0時，收到1的概率為 α（0lt;αlt;1） ，收到0的概率為1-α ；發送1時，收到0的概率為 β（0lt;βlt;1） ，收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到 1，0，1 ，則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發送 1，0，1 ，則依 次收到 1，0，1 的概率為 （1-α）（1-β）² B.采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到 1，0，1的概率為 β（1-β）² C.采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的 概率為 β（1-β）²+（1-β）³ D.當 0lt;αlt;0.5 時，若發送0，則采用三次傳輸 方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼 為0的概率

本題作為多選壓軸題，不少學生卡在D選項，解析如下：三次傳輸發送0譯碼為0的概率 P₁= （1-α）³+C₃¹α（1-α）² ，單次傳輸發送0譯碼為0的概率 P₂=1-α，P₁-P₂=（1-α）³+C₃¹α（1-α）²- （1-α）=α（α-1）（2α-1） ，當 0lt;αlt;0.5 時， P₁-P₂gt; 0，即 P₁gt;P₂ ，知D正確

根據生活常識，單次傳輸錯誤是小概率事件，多次傳輸確認可進一步減少誤判.高考試題問題情境與生活常識結合，能引導學生關注生活、社會，突出綜合素養考查.

波利亞的合情推理強調先猜測結論再論證.例1的解決既需要生活直覺，也需要論證素養.波利亞主張數學教育應遵循兩個原則：一是讓每個學生都從數學學習中有所收獲，不論其未來職業；二是鼓勵和吸引有數學天賦的學生，避免不當教育使其厭惡數學.這種普及、實用的教育理念與常識教育目標契合，旨在讓更多學生掌握基本知識和技能.

數學與生活結合，能讓學生更深刻地理解數學的應用和意義，激發學生的學習興趣，培養學生的實踐能力和創新能力.

（三）抓取關鍵信息，提升表征能力

抓取與表征關鍵信息是波利亞解題思想的重要環節.比如，做應用題時，學生要理解問題情境、數字含義及關系；解新定義題時，需明確條件、原理、方法、步驟和結論并推理運算；做科技文化題時，要善于去粗取精，從已有知識中找出對應的數學模型.情境問題中關鍵信息的處理框架如圖2所示.

圖2情境問題中關鍵信息的處理

[例2]（2024年新高考全國I卷第8題）已知函數 f（x） 的定義域為 且當 xlt;3 時 f（x）=x ，則下列結論中一定正確的是.

A.f（10）gt;100B.f（20）gt;1000 C.f（10）lt;1000D.f（20）lt;10000

本題作為單選壓軸題，初看較抽象.若學生僅浮于問題表面、不敢嘗試，便會誤判其難度.通過思維指引聚焦關鍵信息，梳理路徑如圖3所示，

圖3聚焦梳理關鍵信息

梳理問題時，采用視覺化、模型化方法可讓學生更直觀地理解問題.一方面，用圖示、模型將問題可視化，如借助草圖或模型明確各元素間的關系；另一方面，將問題與生活情境結合，借助學生已有生活經驗引導其理解問題.

（四）關注自我狀態，培養冷靜、堅韌品質

除了以上所述，波利亞解題思想還是培養學生冷靜、堅韌品質的重要途徑.學生冷靜審視問題、堅韌面對挑戰，可提高自我調節和應對各類情境的能力.

[例3]（2024年新高考全國I卷第11題）造型gt;可以做成美麗的絲帶，將其看作圖（如圖4）中曲線 C 的一部分.已知 c 過坐標原點 o ，且 c 上的點滿足橫坐標大于-2，到點 F（2，0） 的距離與到定直線 x=a（alt;0） 的距離之積為4，則（ ）.

A. a=-2 圖4B.點 在 C 上C. C 在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點 （x₀，y₀） 在 C 上時，

本題屬于新定義類情境問題，是學生較畏懼的題型.答案為ABD.其問題情境類比圓錐曲線，基于距離定義.學生可仿照圓錐曲線研究路徑探索方程 ，再數形結合研究性質.

本題難點在C與 D 選項.對于C選項，可用特殊值驗證；對于 D 選項，由于 當點 （x₀，y₀） 在 C 上時 故D正確.

本題不僅考查學生對圓錐曲線知識的掌握，更是對學生解題策略與心理素質的全面檢驗.波利亞解題思想中關注自我的部分意義重大，它強調學生解題時的主體性與自我探索，有助于培養學生的創新思維和自主學習能力，讓學生成為優秀學習者，勇于面對生活挑戰.

四、結束語

“教師不僅是知識的傳遞者，更是學生思維的引導者和啟發者”，波利亞的這一理念已體現在課標中.就現階段高考情境問題而言，其承擔著拔尖創新人才的選拔功能，使得“啟發者”的角色愈發關鍵.借助波利亞的思維指引方法，能有效破解復雜情境問題，讓學生有跡可循、有法可依.教師做好學生的“啟發者”，最終目的是讓學生成為自己的“啟發者”

[參考文獻]

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法M].涂弘，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

[3」王智宇，張維忠.高考數學情境化試題分析與教學啟示：以2022—2023年全國高考數學試題為例[J].中小學課堂教學研究，2023（9）：57-60，65.

（責任編輯 黃春香）