數學函數思想在高中物理最值問題中的應用

高中物理涉及眾多的概念、規律和方法，其中最值問題是常見且具有一定難度的一類問題.解決這類問題往往需要綜合運用物理知識和數學方法.數學中的函數思想作為一種重要的工具，為解決高中物理最值問題提供了有效的途徑.

1運用正弦函數求解位移的最值

例1軍事訓練中的火炮掩蔽所可簡化為如圖1的模型，火炮從掩蔽所下向外發射炮彈，掩蔽所的頂板與水平地面成 α=37^° 角，炮位 O 與掩蔽所頂點P 相距 l=10m ，火炮口離地高度可忽略，炮彈可視為質點，不計空氣阻力， g 取 10m/s² ， 取2.45，sin37^°=0.6 cos37^°=0.8

圖1

（1）若從 o 處發射的炮彈運行軌道恰好與PA相切，且發射時速度方向為右偏上，與水平地面成θ=53^° 角，求發射速度 v₀ 的大?。?/p>

（2）若炮彈發射的初速度為（1）中所求 v₀ ，向右上方發射的速度方向可調，試求炮彈的最遠射程 x ：

解析 (1)以 O 點為坐標系原點，取平行于PA方向為 x 軸方向，垂直于掩蔽所頂板的方向為 軸方向.在此坐標系中，炮彈在 y 方向的初速度和加速度分別為 v_y=v₀sin(θ-α) ， α_y=-gcosα .若炮彈運動軌道與掩蔽所相切，則相切點 A 的 坐標值為y_A=h ，滿足 得v=35m/s.

（2）設炮彈拋出速度與水平方向的夾角為 β ，豎直方向有 20，水平方向有x=v_?0cosβ?t ，可得 當 β=45^° 時， β<53^° ，能取到 x_max=122.5m

點評本例第(2）問求炮彈的最遠射程 x ，可運用物理規律，將炮彈的最遠射程 x 表示為關于角度的正弦函數，通過正弦函數的最值解得炮彈的最遠射程.

2運用復合三角函數求解力的最值

例2如圖2所示，質量為 m₁=0.1kg 的小環 A 套在粗糙的豎直桿上，小環 A 與桿間的動摩擦因數 m₂=0.2kg 的小球 B 與 A 用不可伸長的細線相連，整個裝置在外力 F 作用下恰好保持靜止.下列說法正確的是（ ）

圖2

（A）外力 F 的最小值為

（B）外力 F 的最小值為

（C）外力 F 最小時，其方向與水平方向的夾

角 θ=30^° ·

(D）外力 F 最小時，其方向與水平方向的夾角 θ=45^° ：

解析當外力 F 為最小值時， A，B 整體具有向下運動的趨勢，桿對小環有向上的靜摩擦力，令 F 與水平方向的夾角為 θ ，桿對小環的彈力為 N ，對A，B 整體進行分析有 Fsinθ+f=(m₁+m₂)g ，Fcosθ=N .當外力 F 為最小值時，摩擦力達到最大靜摩擦力，則有 f=μN ，解得 in+cy=sinθ+μcosθ ，對該函數求導數有 y^′=cosθ- μsinθ ，當導數等于0時，解得 ，則有 θ=60^° ，將該夾角代入上述函數式，解得外力 F 的最小值為 ，故選（A）.

點評本題求解外力 F 的最小值時，先經過受力分析，根據平衡條件將 F 表示成關于 θ 的復合三角函數，通過求導解得其最值，進而解得 F 的最小值.

3運用二次函數求解速度的最值

例3如圖3所示，一質量為 m=1×10^-6kg ，帶電荷量 q=-2×10^-8C 的微粒以初速度 v₀ 豎直向上從 A 點射入一方向水平向右的勻強電場中，當微粒運動到比 A 高 20cm 的 B 點時速度大小也是 v₀ ，方向水平向左，且AB兩點的連線與水平方向的夾角為 45^°，g 取 10m/s² ，則（ ）

(A)AB兩點間的電勢差 U_AB 為 100V (B)勻強電場的電場強度 E 的大小為 250V/m (C）該微粒初速度 v₀ 為 5m/s (D）該過程中微粒的最小速度為

圖3

解析 從A點到 B 點，根據動能定理得 qU_AB ，代入數據解得 U_AB= -100V ，（A）選項錯誤； AB 兩點的連線與水平方

向的夾角為 45^° ，則有 d=h ，電場強度 E 的大小為 E= d= 500V/m，(B)選項錯誤;在豎直方向，根據運動學公式 v₀²=2gh ，可得 v₀=2m/s ，(C)選項錯誤；由（A）選項可知，電場力等于重力，微粒從 A 點到 B 點，在豎直方向上做勻減速直線運動，其速度為 v_y= v₀-gt ，在水平方向上做初速度為零的勻加速直線運動，其速度為 ，則任意一點的速度大小為 v= ，化簡得 v= ，，由數學知識可知，二次函數在對稱軸處取得最值，即 時，可得Umin = ，（D）選項正確.

點評本題(D)選項中，得出了速度關于時間的函數表達式，即 ，求速度的最小值，設 y=2g²?t²-2v₀g?t+v₀² ，運用二次函數的性質即可求出其最值.

4結語

數學函數思想在解決高中物理最值問題中具有重要的應用價值.通過培養函數思維，學生能夠更深入地理解物理概念和規律，提高解決物理問題的能力.在教學中，教師應注重引導學生將數學思想與物理知識有機結合，使學生能夠靈活運用函數思想解決各類物理最值問題，為學生的物理學習和未來的發展打下堅實的基礎.總之，數學函數思想為高中物理最值問題的解決提供了有力的工具，教師和學生都應充分認識其重要性，并在教學和學習中不斷探索和實踐，以提高物理學習的效率和質量.

【基金項目：本文系江蘇省中小學教學研究第十四期重點課題“普通高中跨學科學習的實踐研究\"（編號：2021JY14一ZA04）階段性研究成果之一.】

參考文獻：

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