勻速圓周運動模型分析及應用探討

勻速圓周運動是高中階段需要重點掌握的特殊運動，分析該類運動需把握“不變”與“變”“不變”，即線速度、向心加速度、向心力的大小不變，角速度、周期、頻率恒定；“變”，即線速度、向心加速度、向心力的方向時刻改變.教學中建議解讀常見模型，梳理解題思路，結合典型探究模型的應用，讓學生掌握方法，并能夠靈活解題.

1模型解讀及解題思路

1. 1 模型解讀

勻速圓周運動模型中，車輛轉彎較為常見.教學探究中，建議以火車或汽車的轉彎為例進行模型梳理指導，重點關注以下內容：彎道特點、向心力來源、速度要求、軌道壓力與速度的對應關系.

1. 1. 1 軌道特點與向心力

圖1所示為火車轉彎的圖示模型，在彎道處通常外彎道比內彎道高，在轉彎過程中車輛的重心高度不變.在重心軌跡所在的平面上，火車轉彎時做勻速圓周運動，對應的向心加速度、向心力均指向圓心.軌道的“外高內低”特點，是為了降低側滑風險.

以圖1所示的火車轉彎模型為例，對其進行受力分析.水平方向上，支撐力 F_N 的水平分量提供向心力，即 F=F_?Nsinθ ；豎直方向上受力平衡，即F_?Ncosθ=mg .整合兩式，可求得向心力 F=mgtanθ

1. 1. 2 模型速度分析

對于火車或汽車轉彎模型，速度分析是探究的重點，包括規定速度要求及軌道壓力與速度的關系.

對于轉彎的規定速度，以上述圖1所求模型為例，若對象只受重力和軌道對其的支持力，則向心力大小為 F=mgtanθ ，轉彎時做勻速圓周運動，要求 表示勻速圓周運動的速度 Ω，R 表示軌跡圓的半徑)，因此可推得轉彎的規定速度為

而對于軌道壓力與速度的關系，主要對比車輛轉彎的實際速度 v 與規定速度 v₀ 的大小關系：若兩者相等，則車輛轉彎時對軌道無擠壓；若 ，表示實際轉彎速度大于規定速度，則擠壓外軌道；若 v< v₀ ，表示實際轉彎速度小于規定速度，則擠壓內軌道.

1.2 解題思路

常用的動力學方法同樣適用于勻速圓周運動，解析時可以按照“一審、二定、三分、四列”的思路來分步構建.在這一過程中，需靈活運用運動學規律，理清問題中涉及的軌道平面、軌跡圓的圓心和半徑.

“一審”，即審題，明確研究對象及其做勻速圓周運動.

圖1

“二定”，確定對象做圓周運動的軌道平面.

“三分”，重點分析三個方面：（1）分析軌跡圓的幾何關系；（2）分析物理運動的特性參數，包括線速度和角速度等；（3）對物體進行受力分析，確定向心力.

“四列”，根據牛頓運動定律、圓周運動知識列出 方程，進而計算求解.

2 模型應用

例題汽車過彎時速度不宜過大，過大容易發生側滑.圖2(a）為一段彎道路面設計，其俯視圖如圖2(b)，中心點相同的圓弧形在同一平面上，半徑為 r=99m .現有一車輛沿該彎道勻速運動，輪胎與地面的最大靜摩擦力為壓力的0.6倍.

假設車輛可視為質點，過彎過程不計空氣阻力，試回答下列問題：

（1）若彎道路面設計為水平面，為確保車輛不發生側滑，求最大速度 v₁ ·（2）若將彎道設計成圖2（c）所示的內低外高的傾斜狀，路面與水平面的夾角為 θ=11.3^° ，已知tan11. 3^°=0.2 ① 若車輛過彎與路面剛好無摩擦，求速度 v₂ 的大小；② 若要確保車輛過彎不側滑，求最大速度 v₃ 的大小

圖2

解析本題目實際上為車輛轉彎模型，根據前面對模型的解讀及解題思路的總結即可完成求解.在求解過程中需注意對車輛進行受力分析，列式求解即可.

（1）不發生側滑，則摩擦力提供向心力，有 kmg=

解得

(2） ① 與路面剛好無摩擦，建立受力分析模型，如圖3(a）所示，則重力與支持力的合力提供向心

解得 業

圖3

② 車輛不側滑，如圖3（b）所示，則在水平方向上，有 豎直方向上，有 又 F_f=kF_N ，整理可解得 v₃=30m/s

3結語

本文對勻速圓周運動示例模型進行深入解讀，并對此類題型的解題思路進行總結.在模型示例教學中，建議結合圖示；解題分析時嚴格按照“一審、二定、三分、四列”的流程，同時注意對研究對象進行受力分析，引導學生理解問題本質.