圖解法解動力學臨界問題舉例探究

圖解法是解析動力學臨界問題最直觀的方法，核心知識是力的平行四邊形定則與矢量三角形建模.總體分兩步進行：第一步，分析系統受力，利用平行四邊形定則進行多邊形建模；第二步，根據物體的臨界狀態來確定條件范圍求解.圖解法適用于多類型動力學臨界問題，教學中建議結合實例指導學生掌握圖解法的解題思路.

1彈力輕繩類

彈力輕繩類臨界問題，即以輕繩連接為基礎的動力學問題，該類問題的臨界點有兩類：一是繃緊狀態；二是繃斷狀態.其中繃緊狀態的彈性力要求為F_T>0 ，不繃斷狀態的彈性力要求為 F_T?F_Tm .因此，問題中若要求輕繩處于繃緊且不斷裂的情形中，其彈性力的范圍為 0T?F_Tm .圖解分析時，建議對物體進行受力分析，明確重力和彈力，再結合平行四邊形法則建模，結合臨界點來求解.

例1如圖1所示，質量為 ψ_m 的小球用繩 AC 和

BC拴在豎直桿上，已知 AC 繩長為l.現以角速度 ω

轉動豎直桿，使得繩 AC 和繩 BC 繃直，此時兩繩與

桿的夾角分別為 30^° 和 45^° ，則 ω 的取值范圍為.（重力加速度取 g ）

解析對小球進行受力分析，如圖2所示，受重力 mg ，以及輕繩的拉力 F_T1 和 F_T2 .使用力的平行四邊形法則進行分析， F_T1 和 F_T2 可以合成 ，方向在 CA 和 CB 之間，使用平行四邊形法則建模，可形成如圖3的三角形模型.結合 可確定 ma 的范圍，即 mgtan30^°?ma?mgtan45^° ，其中 a= ω²lsin30^° ，整理可得

圖1

圖2

圖3

2 彈力支持類

彈力支持類，即以接觸面為載體的物體擠壓接觸問題，如平面滑動、斜面滑動問題.解析時需要明確接觸或擠壓的兩物體的彈力臨界狀態，即兩者之間的彈力需滿足 F_N?0 .使用圖解法解析該類臨界問題時，同樣需要圍繞對象來受力分析，再結合力的平行四邊形法則來建模.

例2如圖4所示，一傾角為 θ 的光滑斜面放置在水平面上，一輕質彈簧的一端連接一質量為 ψ_m 的小球，另一端固定在斜率頂端，用木板 A 將小球擋住.已知彈簧勁度系數為 k .初始時彈簧未形變，如果使木板A以加速度 a 沿著斜面勻速下滑 (a< （204號 gsinθ )，直到木板與小球分離，則木板開始運動到與小球分離的時間為

圖4

解析對小球進行受力分析，如圖5所示，受重力 mg ，斜面的支持力 F_N1 ，彈簧拉力 F=kx ，木板的支持力 F_N .圖解法建立力的三角形模型，如圖6所示.其中 mg，F_N1，ma 不變， F=kx 和 F_N 的方向不變.木板運動時，分析可知 F=kx 增大， F_N 減小.若小球與木板分離時，則有 F_N=0 ，因此 F=kx= mgsinθ-ma .進一步分析可知小球做勻速加速度運動與木板分離時的位移為

結合運動學公式 ，可知從運動到分離的時間可表示為

圖5

圖6

3摩擦力臨界類

摩擦力臨界類，即涉及存在摩擦力的動力學臨界問題，根據摩擦力的性質可分為滑動摩擦力和靜摩擦力.圖解法分析滑動摩擦力問題時，可將研究對象所受的彈力和滑動摩擦力合為方向確定的等效力.而靜摩擦力問題分析中，需要把握其靜摩擦力的變化范圍：-Ffm≤Ff≤Ffm·

例3如圖7所示，一傾角為 θ 的粗糙斜面固定在水平面上，一質量為 ψ_m 的物體放置在斜面上，在拉力 F 的作用下沿斜面方向向上做勻加速直線運動，設物體與斜面之間的動摩擦因數為 μ .探究要使物體的加速度大小為 α_a ，試求力 F 的最小值.

圖7

解析對物塊進行受力分析，如圖8所示，物塊合計受到4個力.可將支持力 F_N 和滑動摩擦力合成一個力 ，由 F_f=_μF_N 可知 tanα=μ .利用圖解法建立力學三角形模型，將 按順序首尾相連，則可建立如圖9所示的力學模型.模型中 mg 、ma不變， 的方向不變，分析可知，當 F 與 的方向垂直時， F 取得最小值.如圖10所示.根據幾何關系可得 F_min=mgsin(α+θ)+macosα

圖8

圖9

圖10

4結語

綜上可知，使用圖解法解析動力學中的臨界問題的過程更為直觀簡潔，有利于學生快速把握臨界條件，高效解決問題.