萬有引力定律在常見不同題型的應用與分析
2025-09-09 00:00:00趙歡歡
數理天地(高中版) 2025年16期
1宇宙速度問題
宇宙速度可以分為第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度，分別對應繞地球運行的速度、脫離地球的速度以及離開太陽系需要的速度.應用方有引力定律能夠推導、計算出具體的速度及相關表達式，根據參照物不同選擇提供的向心力和加速度等式，可對其速度進行分析解答.
例1圖1為某宇宙飛船運行軌道變化示意圖，飛船先進入近地圓軌道，以第一宇宙速度做勻速圓周運動，再經橢圓軌道2，最終進入圓軌道3，設飛船在軌道1、2、3上運行的周期分別為 T1，T2，T3 ，軌道2分別與軌道1、3相切于 A，B 兩點，則
圖1
（20（B）飛船在軌道2上穩定運行時， A 點和 B 點加
速度大小相同.（C）飛船在軌道2上穩定運行時，經過 A 點的
速度小于第一宇宙速度.（D） 
分析 軌道1、2、3分別對應不同宇宙速度，結合開普勒公式和軌道半徑對運行周期進行判斷，其次分析經過特定點的加速度需要根據萬有引力定律得到加速度表達式并根據具體情況判斷正誤，
解設地球半徑為 R ，飛船在軌道3上運行的
半徑為 R3 ，則飛船在軌道1、2上運行的軌道半徑分
別為 R1=R 
可得 R123 ，根據開普勒第三定律 
，有復 
可知 T123 ，聯立可得 
，故選項（A）錯
誤，選項（D）正確.根據 
，
（20可得
由于飛船在軌道2上穩定運行時，A點到地球球心距離小于 B 點到地球球心距離，可知 A 點加速度大于 B 點加速度，選項（B）錯誤.
飛船在軌道1上穩定運行時，速度等于第一宇宙速度，在 A 點時需要加速從而進入軌道2運行，可知飛船在軌道2上穩定運行時，經過 A 點的速度大于第一宇宙速度，選項（C）錯誤.綜上，正確答案為選項（D）.
2 人造衛星問題
人造衛星是指圍繞地球表面以恒定速度運行的衛星，與人造衛星有關的問題涉及變軌、軌道比較問題，利用萬有引力定律解答問題應結合題意列出方程，進而確定其他物理量的比.變軌則涉及加速和減速過程，需要結合萬有引力公式進行動態分析.
例2假設有 A，B 兩顆衛星圍繞地球做勻速圓周運動，其中衛星 A 距地球表面的高度等于地球半徑，衛星 B 距地球表面的高度等于地球半徑的6倍，若 A，B 兩顆衛星的動能相等，則下列說法正確的是
（A）A、 B 兩衛星的線速度之比 
（B）A ??B 兩衛星的周期之比 
（C）A ??B 兩衛星的向心加速度之比 αA：αB=7：2 （D）A，B 兩衛星的向心力之比 FA：FB=49：4 分析兩顆衛星都是圍繞地球運動的軌跡半徑不一致的人造衛星，應結合萬有引力公式進行比較分析，還應該結合動能相等時質量與速度的關系分別對選項做出判斷.解根據 
可得 
可知 A，B 兩衛星的線速度之比 
：
，選項（A）錯誤.根據開普勒第三定律 
可得 A，B 兩衛星的周期之比 
，選項（B）正確.根據 
，可得 
可得 
兩衛星的向心加速度之比 aA：aB= 49：4 ，選項（C）錯誤.根據 
，可得 A，B 兩衛星的向心力之比FA：FB=7：2 ，選項（D）錯誤.綜上，正確答案為（B）.
3 多星問題
多星問題是指兩個或兩個以上的星體做勻速圓周運動的問題，運用萬有引力定律解題應始終圍繞萬有引力提供向心力這一重點，若一個天體受到多個天體對它的引力作用，則需要矢量合成，合成后的萬有引力提供向心力.
例3如圖2所示，兩天體 P?Q 繞球心 O1…O2 連線上的點 O 分別作勻速圓周運動，已知 O1O2= L1，O1O-O2O=L2 ，兩球體的半徑遠遠小于球體球心之間的距離，求兩天體的質量之和與質量之差的比值.
圖2
分析首先根據雙星模型確定兩天體受到的萬有引力一致，其次根據萬有引力的公式列式，聯合兩天體各自的質量表達式并化簡，可得到質量之和質量之差的比值表達式.
解由題意可得，兩天體受到的萬有引力大小
相等，設天體 P?Q 質量分別是 m1…m2 ，天體 P?Q 離
O 點距離為 r1…r2 ，雙星系統角速度相同為 w ，萬有引力提供向
心力.由題意有 r1+r2=L1，r1-22=L2 對 P 則有 
可知 
ω2L2r1，同理可得m1 
由 r1gt;r2 可知 m2gt;m1 ，
故 
4結語
三類問題均是天體運動的常見考查題型，萬有引力定律在解題過程中具有核心地位和關鍵作用.面對不同題型，萬有引力定律的側重點不同，需要學生準確理解與分析.
參考文獻：
[1]劉文彬.淺談萬有引力定律常見考查題型特點及解題思路[J].數理天地（高中版），2024（6）：15一16.
[2]董浩.例析萬有引力定律及其應用[J].試題與研究，2021（7）：31-32.
