結合碰撞模型的多物體多過程運動問題探究

1彈簧模型 + 碰撞模型

例1如圖1所示，在足夠大粗糙水平面上有一質(zhì)量 m=1kg 的長木板 C ，木板與水平面間的動摩擦因數(shù)為 μ₁=0.1 、木板左端一小物塊 A 以初速度v₁=30m/s 滑上木板，此時木板上與 A 相距 27m 處有一小物塊 B，A 與 B 的質(zhì)量均是 m=1kg，A，B 與木板間的動摩擦因數(shù)均為 μ₂=0.5 ，當 A，B，C 共速時，長木板右端恰好與自然伸長的水平輕彈簧的左端接觸，假設 A 與 B 的碰撞時間極短， A，B 碰后粘在一起.已知彈簧彈性勢能的表達式為 （Δx） ² ，其中 k 為彈簧的勁度系數(shù)， Δx 為形變量，最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力，重力加速度為g=10m/s² ·

圖1

（1）當 A 滑上木板 C 時，求 c 的加速度大小；（2）求 A，B，C 共速時的速度大小；（3）若木板壓縮彈簧的過程中， A，B 與 c 恰不發(fā)生相對滑動，求彈簧的勁度系數(shù)和長木板 c 最終靜止時其右端到初始時木板右端的距離 s

解析如圖2所示，作出 A 滑上長木板到三者共速過程 A 和 B 的 v-t 圖像，更易分析出每階段不同物體的運動情況.

圖2

（1）對A進行受力分析，有fcA=μmg=ma1，此時 B，C 加速度相同，對 B，C 這一整體進行受力分析，則有 f_AC-3μ₁mg=2ma₂ ，可解得 a₂=1m/s² ：

（2）由于 A 與 B 相距 x=27m ，則有 Δx=x_A-Δ x_BC ，其中 at，可解得t₀=1s 或 t₀=9s（ （舍去）. A 與 B 相碰前瞬間 A 的速度為 v₂=v₁-a₁t₀，E B 的速度為 v^′₂=a₂t₀.A 與 B 碰撞瞬間， A 和 B 組成的系統(tǒng)動量守恒， mv₂+mv^′₂= 2mv₃ .碰撞后對 AB：2μ₂mg=2ma₃ ，對 C：2μ₂mg- 3μ₁mg=ma₄ ，可解得 a_?4=7m/s² ， v₄=a₂t₀=1m/s ABC共速時： ，可解得 t₁= 1s ，v_#=8m/s

（3）與彈簧作用過程中，對 ABC 整體： _;f?+F??= 3μ₁mg+kΔx=3ma₅.AB 與 c 相對滑動的臨界加速度為 α_5m=5m/s² ，則 相對 C 恰不滑動，則彈簧壓縮到 Δx^′ 時， AB 和 C 的速度恰好減到零，根據(jù)功能關系可得知，－μ1·3mg△x-1。 ，聯(lián)立上式可解得 Δx^′= .由上述分析可得知，此后長木板與 AB 仍不發(fā)生相對滑動，共同向左運動，假設最終C 能脫離彈簧，則令最終靜止時長木板右端到彈簧左端距離為 x₁ ，對 ABC 整體： -μ₁?3mg?（Δx^′+ ，可解得 ，所以假設成立.令初始時長木板右端與彈簧左端的距離為x_Π2 ，由 v-t 圖可知，碰撞前長木板與 B 一起運動，碰撞后長木板加速運動到共速，則有 x₂=x_BC+v₄t₁+

點評本題是彈簧模型與碰撞模型相結合的多物體多過程動力學問題，考查了彈性勢能、功能關系、動量守恒定律等知識點，有助于培養(yǎng)學生的模型建構能力與綜合分析能力.解決此類問題的過程中，需要明確其中包括了多少個物理過程，且每個過程中都具體做了怎樣的運動，并結合相應的物理原理與定律進行仔細分析.

2 板塊模型 + 碰撞模型

例2如圖3所示，光滑水平平臺上鎖定一滑塊 D ，滑塊 D 右側(cè)面是半徑為 R 的四分之一光滑圓弧，圓弧面在最低點與平臺相切，滑塊 B 在平臺右端.平臺右側(cè)有一足夠長的木板 C 放在光滑水平地面上，木板上表面與平臺平齊，水平地面右端有一豎直彈性墻（木板與墻發(fā)生碰撞后原速率返回），墻與木板 C 右端的初始距離是 2R .小球 A 從滑塊 D 的最高點沿圓弧面從靜止釋放，小球在水平面上與滑塊 B 發(fā)生彈性碰撞（碰后小球即被取走）.已知 A 、B_?C_?D 的質(zhì)量分別是 m.2m.m.3m ，滑塊 B 和木板間的動摩擦因數(shù)為 μ=0.2 ，小球與滑塊 B 均可視作質(zhì)點，重力加速度為 g ·

圖3

（1）倘若解除滑塊 D 的鎖定，求小球剛滑到圓弧面底端時，小球水平方向的位移大小；（2）滑塊 D 鎖定時，求滑塊 B 第一次與木板共速時，木板的運動距離 d ;

（3）滑塊 D 鎖定時，求木板運動的總路程.

解析（1）小球在下滑的過程中，水平方向上小球與滑塊 D 組成的系統(tǒng)動量守恒.假設小球與滑塊 D 的速度大小分別為 v_A?v_D ，則有 m_Av_A= m_Dv_D ，對時間累積求和可得 m_Ax_A=m_Dx_D .由幾何關系可得 x_A+x_D=R ，進而可解得

（2）小球從滑塊 D 上滑下，則有 m_AgR= v_?0= .小球和滑塊 B 碰撞過程中，根據(jù)動量守恒定律可得知 m_Av₀=m_Av₁+m_Bv₂ ，根據(jù)機械能守恒定律可得知 ，聯(lián)立兩式可解得滑塊 B 的速度為 .滑塊 B 在木板上滑行，假設二者第一次共速時木板未與墻發(fā)生碰撞，則有 m_Bv₂=（m_B+m_C）v_?1 ，對木板有 ，故假設成立，則木板的運行距離

（3）第一次與墻發(fā)生碰撞后，木板 c 向左運動的路程 .從木板 c 與墻碰撞后瞬間到B，C 第二次共速，根據(jù)動量守恒定律可得知 -mv_#1=（2m+m）v_#2 ，可解得 .經(jīng)分析后可得知， B，C 第 （n+1） 次共速時的速度大小U共（n=1，2，3，.）；第（n+1）次與墻發(fā)生碰撞后，木板 C 向左運動的路程 2，3，…） ；木板 c 的運動總路程 s=2R+ 2（s₁+s₂+…+s_n） ，可解得

點評本題是板塊模型與碰撞模型相結合的多物體多過程動力學問題，考查了直線運動、動量守恒定律、機械能守恒定律等知識點，有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力與審題分析能力.解決此類問題的關鍵，除了對多個物理過程進行逐一分析，還需要學會善用等比數(shù)列等數(shù)學的理論知識，這樣可以對復雜的計算過程進行簡化.

3結語

通過對多體碰撞系統(tǒng)的研究，可對結合碰撞模型的多物體多過程動力學問題的解題方法進行如下總結：通過采用“程序分析法”按照物理過程發(fā)展的前后順序，利用運動與力之間的關系，進行分段式求解.在解題的過程中，還可運用圖像法、假設法等解題方法，同時還需明確關鍵時刻或位置對應的物體狀態(tài)，這是解決此類問題的重要突破口.